第二十七章 相 似 27.2.1 相似三角形的判定 第4课时 两角分别相等的两个三角形相似

问题1 观察学生与老师的直角三角板（30°与60°），会相似吗？测量一下，得出你的猜想. 导入新课 观察与思考 问题1 观察学生与老师的直角三角板（30°与60°），会相似吗？测量一下，得出你的猜想.

问题2 两个人画出两个三角形 ，使三个角分别为60°，45°, 75° . ①分别量出两个三角形三边的长度； ②这两个三角形相似吗?

一 两角分别相等的两个三角形相似 合作探究 如图，△ABC与△A′B′C′中，∠A=∠A′, ∠B=∠B′，探究下列问题： A 讲授新课 两角分别相等的两个三角形相似 一 合作探究 如图，△ABC与△A′B′C′中，∠A=∠A′, ∠B=∠B′，探究下列问题： （1）请你借助刻度尺度量AB,BC,AC, A′B′, B′C′, A′C′的长，并计算出它们的比值.由此，你能得到什么？ A A' 我发现这两个三角形是相似的 B B' C' 55 C （2）试证明△ABC∽△A′B′C′.

证明：在△ABC的边 AB（或AB的延长线）上，截取AD=A′B′，过点 D 作DE//BC，交AC于点 E，则有△ADE∽△ABC，∠ADE=∠B. ∵∠B=∠B′， ∴∠ADE=∠B′. 又∵ AD=A′B′，∠A=∠A′， ∴△ADE≌△A′B′C′， ∴△A′B′C′∽△ABC. A A' D E B B' C' C

由此得到相似三角形的判定定理： 两角分别相等的两个三角形相似.

练一练 如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB， 求证：△ADE∽△EFC. A E F B C D 证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB， ∴∠AED＝∠C， ∠A＝∠FEC. ∴ △ADE∽△EFC. （两角分别相等的两个三角形相似）

典例精析 例1.如图，△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°, ∠E=80 ° , ∠F=60 ° ．求证：△ABC∽△DEF. A 证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40 ° ，∠B=80 ° ， ∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=60 °. ∵ 在△ DEF中，∠E=80 °，∠F=60 °. ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F. 　 ∴ △ABC∽△DEF（两角分别相等的 两个三角形相似）. B C D E F

例2 如图，弦AB和CD相交于⊙O内 一点P,求证:PA·PB=PC·PD. 证明:连接AC，DB. ∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角 ∴ ∠A= _______ 同理 ∠C= _______ ∴ △PAC ∽ △PDB ∴______ 即PA·PB=PC·PD ∠D ∠B

做一做 如图， ∠ABD=∠C, AD=2，AC=8，求AB的长. 解： ∵ ∠ A= ∠ A ，∠ABD=∠C， ∴ △ABD ∽ △ACB . ∴ AB : AC=AD : AB. ∴ AB2= AD · AC. ∵ AD=2，AC=8， ∴ AB =4. A D B C

二 判定两个直角三角形相似 探究归纳 如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C′=90°. 根据前面的判定定理，不难得知当 或 根据前面的判定定理，不难得知当 或 时，Rt△ABC∽Rt△A'B'C'. ∠A=∠A′ ∠B=∠B′ C A A' B B' C'

由此得到一个判定直角三角形相似的方法： 有一个锐角相等的两个直角三角形相似.

思考：对于两个直角三角形，我们还可以用“HL”判定它们全等，那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？ 如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=90°,∠C′=90°, . 求证: Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. C A A' B B' C' 目标：

证明：设____________= k . 由 ，得 ∴ ∴＿＿＿＿＿＿＿＿ ∴Rt △ABC∽Rt △A′B′C′. 勾股定理 C A A' B B' C'

斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似. 由此得到另一个判定直角三角形相似的方法： 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.

1．如图，已知AB∥DE，∠AFC＝∠E，则图中相似三角形共有( ) 当堂练习 1．如图，已知AB∥DE，∠AFC＝∠E，则图中相似三角形共有(　　) A．1对 　　B．2对 C．3对 　　D．4对 C

2.如图，△ABC 的高AD、BE交于点F． 求证： 证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F， ∴ ∠FEA=∠FDB=90°,∠AFE =∠BFD(对顶角相等). ∴ △FEA ∽ △ FDB， ∴

3.如图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，BD⊥AC于D. 若 AB=6, AD=2, 则AC= . BD= . BC= . 18 A D B C

4.如图，∠1=∠2=∠3， 求证：△ABC∽△ADE． 证明： ∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC , ∠DAE= ∠3+ ∠DAC， ∵ ∠1=∠3，∴ ∠BAC=∠DAE. ∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ，∠E=180°－∠3－∠AOE. 又∵ ∠DOC =∠AOE（对顶角相等）， ∴ ∠C= ∠E. ∴ △ABC∽△ADE

课堂小结 利用两角判定三角形相似 两角分别相等的两个三角形相似 直角三角形相似的判定