第二章 逻辑和证明 2.2 命题等价 命题演算：用真值相同的命题取代另一个 在证明时广泛使用 定义1. 永真式（重言式）：真值总是真 2.2 命题等价 命题演算：用真值相同的命题取代另一个 在证明时广泛使用 定义1. 永真式（重言式）：真值总是真 矛盾（式）：真值总是假 可能式：真值可真也可假 真值表判定法 例1 pp和pp 表2-1 永真式和矛盾的例子
定义2 命题逻辑等价：两个复合命题在所有可能的情况下 都有相同真值 是永真式 记为 真值表判定法 例2 证明命题 和 逻辑等价 解 在表2-2 中构造了这两个命题的真值表，由于 和 的真值相同，它们是逻辑等价的。（接下页）
表2-2 和 的真值表
例3 证明命题p∨(q∧r)和(p∨q)∧(p∨r)逻辑等价。这是析取对合取的分配律。 证明： 表1-11 中构造了这两个命题的真值表。因为p∨(q∧r)的真值和(p∨q)∧(p∨r)的真值一样，它们是逻辑等价的。
（3）交换律：A B = B A, A B = B A （4）结合律：(A B) C = A ( B C) 基本的逻辑等价关系 （1）双重否定律： A = A （2）等幂律：A A = A，A A = A （3）交换律：A B = B A, A B = B A （4）结合律：(A B) C = A ( B C) (A B) C = A (B C) （5）分配律：(A B) C = (A C) (B C) (A B) C = (A C) (B C) （6）德.摩根律：(A B) = A B (A B) = A B
（7）吸收律：A (A B) = A A (A B) = A （8）零律： A F = F A T = T （9）一律： A F = A A F = A （10）排中律：A A = T （11）矛盾律：A A = F （12）蕴涵等值式：A→B = A B （13）假言易位：A→B = B → A （14）等价等值式：AB = (AB) (BA)
基本(p1p2…pn ) (p1 p2… pn ) 命题逻辑等价关系与基本的集合恒等式的相似性 的结合律与pqrs的含义 的结合律与p q r s的含义 德摩根律的扩展 (p1 p2… pn ) (p1 p2… pn ) 等值演算：将复合命题中的一个子命题用与它逻辑等 价的另一个命题替换，不会改变原命题的真值，从而 得到新的逻辑等价的命题
例5 证明（p（pq））和pq逻辑等价 证明： 我们有下列等价关系 （p（pq））= p（pq） 由第二得摩根定律 = p（（p）q） 由第一得摩根定律 = p（pq） 由双非律 =（pp）（pq） 由分配律 = F（pq） = pq 由 F的恒等律
例6 证明(p∧q)→(p∨q)为永真式。 证明 ： 为证明这个命题是永真式，我们将用逻辑等价证明它逻辑上等价于T。（注意：这也可以用真值表来完成。） (p∧q)→(p∨q) = ¬(p∧q)∨(p∨q) = (¬p∨¬q)∨(p∨q) = ¬(p∨p)∨(¬q∨q) = T∨T = T
对偶原理：若两个命题等价，则它们的对偶命题也等价 只含逻辑运算符 、 和的命题的对偶命题： 、 TF 主析取范式和主合取范式 范式：具有某种特殊形式（结构）的命题公式 文字：命题变量或命题变量的否定（如p、p） 主析取范式：析取式，其中的每个析取项都是极小项 极小项： 由文字构成的合取式，且原命题公式中的每个命题变量都在合取式中出现一次 主合取范式：合取式，其中的每个合取项都是极大项 极大项： 由文字构成的析取式，且原命题公式中的每个命题变量都在析取式中出现一次
任意命题公式都有与之等价的主析取范式和主析取范式 从真值表构造主析取范式 对应于真值表中为真的每一行，在主析取范式中都有一个对应的合取式 行中为F的变量在相应的合取式中带有 从真值表构造主合取范式 对应于真值表中为假的每一行，在主合取范式中都有一个对应的析取式 行中为T的变量在相应的合取式中带有
例 命题公式A= 的主析取范式与主合取范式。 真值表： 主析取范式： 主合取范式：
习题 1.用真值表证明等价关系 2.证明 和 等 价 。 3.找一个只含命题p，q和r的复合命题，当p和q为真而r为假时命题为真，否则为假。 2.证明 和 等 价 。 3.找一个只含命题p，q和r的复合命题，当p和q为真而r为假时命题为真，否则为假。 （提示：用各个命题或其否定构造合取。）