隨 機 試 驗 樹 狀 圖 抽 樣 調 查 亂 數 表 自我評量

隨機試驗 未來的事會怎樣，可以預測嗎？例如：明天上學等公車，5分鐘以內公車會來嗎？運動會那天會下雨嗎？買大樂透會中獎嗎？這些未來的事情，我們通常會用「一定會發生」、「極可能發生」、「發生的機會一半一半」、「相當不可能發生」與「絕對不可能發生」等去做判斷。

在科學研究上，為預測某項事情可能發生的結果，常作多次重複的試驗。 下面是正義國中三年丁班投擲骰子試驗的情形：全班有七排，每個人投擲一粒骰子20次，各排分別記錄該排同學投擲點數如下表：

表2-12 正義國中三年丁班各排投擲點數次數分配表 次數（次） 第一排 ( 5人) 第二排 (6 人) 第三排 ( 6 人) 第四排 第五排 ( 5 人) 第六排 第七排 1 點 17 23 20 19 22 2 點 15 18 21 3 點 16 14 4 點 13 5 點 6 點 32 8 26 合計 100 120

將表2-12中各排投擲點數的統計次數相加，得到全班投擲點數次數分配表如下表： 1點 138 2點 132 3點 120 4點 118 5點 次數（次） 1點 138 2點 132 3點 120 4點 118 5點 122 6點 130 合計 760 表2-13 全班投擲點數次數分配表

將表2-13 整理成相對次數分配表如下： 點數 次數（次） 相對次數（％） 1點 138 18.16 2點 132 17.37 3點 120 15.79 4點 118 15.53 5點 122 16.05 6點 130 17.11 合計 760 100 表2-14 全班投擲點數相對次數分配表

從表2-13可以發現，各點數出現的總次數差距不大；在表2-14中，會發現每一個點數的相對次數都接近於(＝0.166666……≒ 16.67％)。如果每個學生投擲30次、40次、100次、……甚至更多，則其相對次數將會更接近。

每位同學投擲一枚硬幣20次，回答下列問題： (1)每個人記錄出現正面與反面的次數： 結果 次數（次） 正面 反面 合計 20 請學生依實際情況作答

(2) 統計每排同學出現正面與反面的次數： 次數（次） 各排投擲結果次數分配表 正面 反面 合計 結果 第一排 第二排 第三排 第四排 第五排 第六排 第七排 正面 反面 合計

(3) 將上表整理成相對次數分配表： 結果 次數（次） 相對次數（％） 正面 反面 合計 100

從隨堂練習中可以發現， 出現正面或出現反面的相對次數可能和 （＝0 從隨堂練習中可以發現， 出現正面或出現反面的相對次數可能和 （＝0.5＝50％）差距不大，表示每個面出現的機會均等。如果每個學生投擲30次、40次、100次、⋯ ⋯ 甚至更多，則相對次數將會更接近 。

當試驗次數愈來愈多時，試驗的結果將接近某一個定值。例如：投擲一粒骰子可能出現的點數有1點、2點、3點、4點、5點與6點等6種，當投擲非常多次時，每一種點數發生的機會都趨於相等，且出現次數與投擲總次數的比值接近 ，我們就說每一種點數發生的機率都是 圖2-13

相同道理，投擲一枚拾元硬幣可能出現的情形有正面或反面2種，當投擲非常多次時，正面或反面發生的機會都趨於相等，且出現次數與投擲總次數的比值接近，我們就說正面或反面發生的機率都是。 正面 反面 圖2-14

假設一個試驗所有可能出現的結果有n 種，若每一種結果發生的機會都相等，則每一種結果發生的機率是 ，若每一種結果發生的機會不完全相等時，則每一種結果發生的機率不是 。例如：投擲一枚圖釘，由於圖釘構造的關係，針尖朝上或朝下的機率不是 。 針尖朝上 針尖朝下 圖2-15

在本教材中，投擲硬幣或骰子時，都假設每一種可能出現情形的機率相等，並以「公正的」強調。 在試驗中，任何想要觀察的情況都可稱為事件，事件可能發生也可能不會發生，例如：投擲一粒公正的骰子一次，「出現偶數點」、「出現奇數點」、「出現1 點」、「出現7 點」、⋯⋯ 等都是事件。

投擲一粒公正的骰子所有可能的結果有6種，若其中A事件表示出現的點數為偶數，則投擲時如果出現的點數是2點、4點或6點，我們就說這個事件發生了。因為A事件可能的結果有3種，所以A事件發生的機率為 ＝

如果一個試驗所有可能的結果有n種，且這n種結果發生的機會都相等，若A事件包含了其中m種（m≦n）可能的結果，我們就說A事件發生的機率是 。 ＝

1 求擲骰子的機率 投擲一粒公正的骰子，回答下列問題： (1) 出現3點的機率是多少？ (2) 出現奇數點的機率是多少？ 解 (1) ∵每一面出現的機率都一樣， 故出現3 點的機率是 。 (2)出現的點數有1、2、3、4、5、6 等6種情 形，其中點數為奇數者有1、3、5 等3種， ∴出現奇數點的機率是 ＝

投擲一粒公正的骰子，回答下列問題： (1) 點數大於4 點的機率是多少？ (2) 點數小於4 點的機率是多少？ (1)大於4 點有5、6，∴機率＝ ＝ 。 (2)小於4 點有1、2、3，∴機率＝ ＝

2 求抽撲克牌的機率 從一副撲克牌中任取1張，回答下列問題： (1)抽到方塊2的機率是多少？ (2)抽到K、Q、J 的機率是多少？ 搭配習作P34基礎題3 2 求抽撲克牌的機率 從一副撲克牌中任取1張，回答下列問題： (1)抽到方塊2的機率是多少？ (2)抽到K、Q、J 的機率是多少？

解 (1)一副撲克牌有52張，每張的花色和點數都不同，從這副牌中任取1種花色和點數的機率為 ， ∴抽到方塊2的機率是 。 (2)一副撲克牌，有四種花色，每一種花色都有K、Q、J 各1 張， ∴一副撲克牌共有12張牌是K、Q、J ，故抽到K、Q、J 的機率是 ＝

從一副撲克牌中任取1張，試求抽到花色是黑桃的機率。 花色是黑桃有13張， ∴機率＝ ＝

一袋中有10個相同大小的球 ，分別是5個紅球、3 個黃球與2 個綠球，每一球被取出的機會都 相等，如果從袋中任意取出一球 ，那麼取出的球是紅球的機率是 否為 呢？ 因為每一球被取出的機會都相等，且袋中有5個紅球，所以從這10球中，任取一球是紅球的機率是 ＝ 圖2-16

一個袋子裡有10個相同大小的球，分別是7個紅球、3個白球，每個球被取出的機會都相等，從袋中任意取出一球，則此球是紅球的機率是多少？ 搭配習作P34基礎題4 3 求抽球的機率 一個袋子裡有10個相同大小的球，分別是7個紅球、3個白球，每個球被取出的機會都相等，從袋中任意取出一球，則此球是紅球的機率是多少？ 解 ∵每一球被取到的機會相等，且袋中有7 個紅球， ∴從這10 個球取出一球是紅球的機率是

一個袋子裡有一些相同大小的球，分別是3個紅球、4個白球、5個黑球，每個球被取出的機會都相等，從袋中任意取出一球，試求此球是黑球的機率。 黑球有5 個，共12 個球， ∴抽中黑球的機率＝

數學是一種別具匠心的藝術。 —哈爾莫斯（Paul Halmos，1916-2006）

樹 狀 圖 對於同時討論兩種不同事件同時出現的機率，我們可以用下面的方法來討論，例如：同時投擲1枚公正的硬幣與1粒公正的骰子，請問硬幣出現正面且骰子出現點數為3的機率是多少？

投擲1枚公正的硬幣所有可能的結果有2種，可以用圖2-17表示；投擲1粒公正的骰子所有可能的結果有6種，可以用圖2-18表示；像這樣的圖稱為樹狀圖。

而同時投擲1枚公正的硬幣與1粒公正的骰子，硬幣出現哪一面和骰子出現哪一個點數並不會互相影響，所有 可能的結果共有12種 （每一種結果出現的 機會皆均等），我們 可以用樹狀圖表示如 下： 圖2-19

也可以用數對表示如下： （正, 1）、（正, 2）、（正, 3）、（正, 4）、（正, 5）、（正, 6）、（反, 1）、（反, 2）、（反, 3）、（反, 4）、（反, 5）、（反, 6）。 所以硬幣出現正面及骰子出現點數為3，即（正, 3）的機率是 。

同時投擲一枚公正的硬幣與一粒公正的骰子，試求出現硬幣為反面且骰子點數為偶數的機率 4求兩隨機試驗的合併機率 同時投擲一枚公正的硬幣與一粒公正的骰子，試求出現硬幣為反面且骰子點數為偶數的機率 搭配習作P33基礎題1 同時投擲1枚公正的硬幣與1粒公正的骰子，所有可能的結果共有12種，其中出現硬幣為反面且骰子點數為偶數的情形有3種，即：（反, 2）、（反, 4）、（反, 6）。 ∴硬幣出現反面且骰子點數為偶數的機率是 ＝ 。 解

同時投擲1枚公正的硬幣與1粒公正的骰子，則出現硬幣為反面且骰子點數為3的倍數的機率是多少？ 出現反面且為3 的倍數有(反, 3)、(反, 6)， ∴機率＝ ＝

同時投擲兩粒公正的骰子，算一算點數和會有2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12等11種，而點數和為3 的機率是多少？ 我們用兩個特殊設計骰子來說明：一個骰子的點數都是藍色，稱為藍色骰子；另一個骰子的點數都是紅色，稱為紅色骰子。用數對（a ,b）記錄這兩個骰子出現的點數，數對前面的數字表示藍色骰子出現的點數，後面的數字表示紅色骰子出現的點數。

所以同時投擲兩粒公正的骰子，可能會出現的數對有36種如下： （1 , 1）、（1 , 2）、（1 , 3）、（1 , 4）、（1 , 5）、（1 , 6）、（2 , 1）、（2 , 2）、（2 , 3）、（2 , 4）、（2 , 5）、（2 , 6）、（3 , 1）、（3 , 2）、（3 , 3）、（3 , 4）、（3 , 5）、（3 , 6）、（4 , 1）、（4 , 2）、（4 , 3）、（4 , 4）、（4 , 5）、（4 , 6）、（5 , 1）、（5 , 2）、（5 , 3）、（5 , 4）、（5 , 5）、（5 , 6）、（6 , 1）、（6 , 2）、（6 , 3）、（6 , 4）、（6 , 5）、（6 , 6）。

其中點數和為3的事件只有（1 , 2）與（2 , 1）兩種，所以點數和為3的機率是 ＝

(1)投鄭兩粒公正的骰子，共會出現36種情形，點數和為7 的情形有： 搭配習作P33基礎題2 5 求擲兩粒骰子的機率 同時投擲兩粒公正的骰子，回答下列問題： (1)點數和為7 的機率是多少？ (2)點數和大於9 的機率是多少？ (1)投鄭兩粒公正的骰子，共會出現36種情形，點數和為7 的情形有： （1 , 6）、（2 , 5）、（3 , 4）、（4 ,3）、（5 , 2）、（6 , 1）等6 種， 故點數和為7 的機率是 ＝ 。 解

解 (2)點數和大於9的情形只有10點、11點與12點， 點數和為10的情形有： （4 , 6）、（5 , 5）、（6 , 4），共3 種， 點數和為11的情形有： （5 , 6）、（6 , 5），共2種， 點數和為12的情形有：（6 , 6），只有1種 ∴出現點數和大於9的情形共有6種，其機 率是 ＝

同時投擲兩粒公正的骰子，試求下列各點數和的機率。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 機率 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

因為任何事件可能結果的個數一定小於或等於試驗中所有可能結果的個數，所以任何事件發生的機率都是一個從0到1的數值，若事件的機率是1，表示一定會發生；若事件的機率是0，表示肯定不會發生。例如：投擲一粒公正的骰子，「點數小於7」一定會發生，故機率是1；而「點數大於7」一定不會發生，故機率是0。

抽樣調查 對研究的對象作全面性的調查稱為普查。例如：政府每十年舉行的戶口普查、每位新生入學所做的健康檢查等都是普查。

另外，如果想了解全國人民對某件事情的看法，若用普查的方式調查，則所需要的人力、物力會非常龐大。可是如果我們只從中抽取一部分來調查，而每個人被抽到的機率都相同，那麼這些人的看法就能代表全部人的看法。像這樣，對研究的對象不進行全面性的調查，只從中抽取一部分對象進行調查，稱為抽樣調查。例如：調查電視台的收視率、調查候選人的支持度等都是抽樣調查。而全體被研究的對象，稱為母群體；被抽取的對象稱為樣本。

試判斷下面何者適合用普查？何者適合用抽樣調查？ (1)新生入學時健康檢查 (2)電視臺收視率調查 (3)調查全國人民平均收入 (4)調查全國國中學生的零用錢 普查：(1)。 抽樣調查：(2)、(3)、(4)。

生物學上也常利用這樣的方法來估計某封閉區域的生物數量，例如：想知道某一個池塘內魚群的數量，因為魚在池中會任意游動，無法逐一點數，所以放入經人工標記的魚群於池中，再隨機抓取部分（代表抽樣），數數看有多少標記的魚，由此估算池中魚群的數目。

例如：從池中抓取28條魚，將其作記號，再放入池中，經一段時間後，再抓取40條魚，其中有標記的魚有5條，假設池中有x條魚， 則 ＝ x＝224 所以推估池中約有224條魚。

有一個袋子裝了若干數量的綠豆，現在將20顆紅豆放入袋中，攪拌均勻後，任意抓取一些，共抓取48顆綠豆與3顆紅豆，則此袋中原來大約有綠豆多少顆？ 搭配習作P35基礎題5 6 按照比例推算 有一個袋子裝了若干數量的綠豆，現在將20顆紅豆放入袋中，攪拌均勻後，任意抓取一些，共抓取48顆綠豆與3顆紅豆，則此袋中原來大約有綠豆多少顆？ 解 設原來大約有綠豆x 顆 ＝ 3x＝960 x＝320 所以袋中原來大約有綠豆320 顆。

有一個袋子裡裝了若干數量的白色棋子，現在將10顆黑色棋子放入袋中，均勻攪拌後，任意抓取一些，共抓取2顆黑色棋子與13顆白色棋子，則此袋中白色棋子原來大約有幾顆？ 設袋中原有白色棋子x 顆， x：10＝13：2 x＝65 故原有白色棋子約65 顆。

數學給了各種精密自然科學一定程度的可靠性，沒有數學，它們不可能獲得這樣的可靠性。 —愛因斯坦（Albert Einstein，1879-1955）

亂數表 抽取樣本時，為使母群體中每個樣本被抽中的機會均等，數學上常使用亂數表來決定被調查的對象。 亂數表的產生是將數字0∼9隨機抽取，並記錄抽取的結果，因此沒有一個標準的亂數表，通常會利用電腦產生亂數，而為了使用上的方便，常以四位為一組列出，格式如下表所示。

第三行 亂數表 1846 1703 9350 1460 2465 3442 5333 2727 7550 5185 3197 8521 9359 5423 9357 8420 6748 0855 0593 2745 8114 1012 7434 3253 6049 1274 1262 2482 0911 4107 6196 0513 8363 2656 2185 3976 1162 4267 8575 4929 0409 3120 4152 0278 8664 7446 0874 4708 3137 8875 6557 9823 6409 8454 8002 7884 5524 6923 1367 1769 9598 3662 1430 1038 0969 4152 2551 3655 6465 8846 2726 9960 5904 6314 5355 5939 3533 0820 0443 9500 4479 1694 6459 5609 9346 3967 8191 5523 3166 3660 5980 3973 4816 6033 3889 5984 8041 6336 3663 7798 第三列

亂數表 9875 9078 3677 4599 4560 5312 4007 1019 2995 7163 3414 1527 4546 5786 9260 5559 5065 9596 9527 6593 7956 2173 5799 5857 8454 8506 5172 3532 0325 7845 9362 0122 6163 4431 0909 5839 9577 1564 3592 8065 8897 7091 1065 6914 5095 3739 8917 5662 3059 5390 7102 7241 6347 1684 2037 4447 1545 5246 4420 2841 2530 6896 0005 8084 7587 8933 5700 9396 1755 0248 9810 5666 9770 6583 1349 1955 4680 0178 4299 5543 6441 9985 7487 0031 5095 5824 4609 2781 6267 9328 1584 2151 8011 7911 7148 9381 5935 4852 5909 0798

搭配習作P35基礎題6 7 使用亂數表 大信國中三年級共600位學生，從001號編到600號，校方抽出10位學生贈送免費的電影票，請利用第128頁的亂數表，自第三行第三列開始，由左向右，抽出10位學生，請問這10位學生的編號分別是多少？

解 ∵全校三年級共600位學生，因此在使用亂數表 時，以3位一組，超過600或重複出現的數字 予以刪除。 依題目要求，自第三行第三列開始，由左向右每3位一數，可得： 141、012、743、432、536、049、127、412、622、482、091、141、076、⋯⋯ 其中743、622皆超過600予以刪除，且141重複 ，只取一次 ∴這10位同學的編號分別是： 141、012、432、536、049、127、412、482、091、076。 解

三年1班共40位學生，從01號編到40號，導師想抽出5位同學打掃公共區域，請利用第128頁的亂數表，自第四行第二列開始，由左向右，每2位一數抽出5位同學，則這5位同學的編號分別是多少？ 自第四行第二列開始，由左向右每2位一數，可得： 78、52、19、35、95、42、39、35、78、42、 06、74、80、85、50、59、32、⋯⋯ ∴這5位同學的編號分別是19、35、39、06、32。

1.機率： 如果一個試驗所有可能的結果有n種，而且每一種結果發生的機會都相等，我們就說每一種結果發生的機率都是 。 2.事件： 在隨機試驗中，如果關心某一件事情會不會發生，我們將該件關心的事情稱為事件。

3.某事件發生的機率： 如果一個試驗所有可能的結果有n種，且這n 種結果發生的機會都相等，若A事件包含了其中m 種（m≦n）可能的結果，我們就說A 事件發生的機率是 。 (1) A事件發生的機率 ＝

(2)任何事件發生的機率都是一個從0到1的數值。 (3)若事件的機率是1，表示此事件一定會發生。 (4)若事件的機率是0，表示此事件肯定不會發生。

4.普查與抽樣調查： (1)針對所需要研究的對象做全面性的調查稱為普查。 (2)當研究對象的個數非常龐大，不適合做普查，而只抽取一小部分進行調查，稱為抽樣調查。 5.母群體與樣本： 全體被調查的對象，在統計學上稱為母群體，被抽取的對象稱為樣本。

2-4 自我評量 1.一個袋子中有21個大小相同的球，分別是5個紅球、7個白球、9個藍球，每個球被取出的機會都相等，從袋中任意取出一球，則此球不是白球的機率是多少？ 紅球與藍球共5＋9＝14（個）， ∴取出不是白球的機率＝ ＝

2.同時投擲兩粒公正的骰子，則點數和小於5 的機率是多少？ 點數和小於5 有（1 , 1）、（1 , 2）、（1 , 3）、（2 , 1）、（2 , 2）、（3 , 1），共6 種， ∴機率＝ ＝

3.一個袋子有20個相同大小的球，編號1、2、3、4、5、⋯⋯、19、20，每一球被取出的機會都相等，從袋中任意取出一球，則此球的號碼是3 的倍數的機率是多少？ 3的倍數有3、6、9、12、15、18，共6個， ∴機率＝ ＝

4.假設男孩與女孩出生的機會均等，在一個有2名小孩的家庭中，2名都是女孩的機率是多少？ 2名小孩可能是（男, 男）、（男, 女）、（女, 男）、（女, 女），共4 種，其中（女, 女）只有1 種， ∴機率＝

5.一袋中裝有綠豆若干顆，將30顆紅豆放入同一袋中充分攪拌，任意抓取一些，共抓取48顆綠豆與12顆紅豆，試問袋中綠豆原來大約有幾顆？ 設袋中綠豆原來大約有x 顆， x：30＝48：12 x＝120 ∴袋中綠豆原來大約有120 顆。

6.大誠電子共有員工450名，分別編號從001到450，年終歲舉行贈送獎品的活動，想利用編號抽出10位員工分別贈送1臺電視機，請利用第136頁的亂數表，自第三行第四列開始，由左向右，抽出10位員工，請問這10位員工的編號分別是多少？（抽出號碼超過450者予以刪除；若抽出同號則繼續往後面抽取）

自第三行第四列開始由左向右，每3位一數，可得： 960、513、836、326、562、185、397、611、624、267、857、549、290、409、312、041、520、278、866、474、460、874、470、831、378、⋯⋯ 故這10位員工的編號分別為： 326、185、397、267、290、409、312、041、278、378。

百分等級 在一個參加人數眾多的測驗中，用99個百分位數可以將所有測驗者的資料平均分成100個小群體，每個小群體稱為1個等級，共可分為100個等級，稱為百分等級，並以PR值表示。

最高的1個等級是PR＝99，表示這個小群體裡的成績大於或等於全體考生的99％。 習慣上我們不使用PR＝0的表示法，而是將最低的2個小群體合併為PR＝1。

PR＝63表示該群體裡的成績都大於或等於全體考生的63％，但不到全體考生的64％。 圖2-21

例如：第一次模擬考有6400人參加，彥昌的排名是第2304 名，表示他贏過6400－2304＝4096（人）， ×100％＝64％，所以彥昌的百分等級（PR 值）是64。 下表是民國96 年國中基本學力測驗的全國考生百分等級和量尺總分對照表：

表2-15民國96年國中基本學力測驗的全國考生百分等級和量尺總分對照表： 99 286 3355 98 280 6495 97 275 百分等級(PR值) 量尺分數(分) 累積人數(人) 99 286 3355 98 280 6495 97 275 10167 96 272 12717

百分等級(PR值) 量尺分數(分) 累積人數(人) 95 268 16566 94 265 19677 93 262 22976 92 260 25305 91 257 28844 90 254 32458

百分等級(PR值) 量尺分數(分) 累積人數(人) 89 252 34961 88 249 38728 87 247 41211 86 244 45161 85 242 47837 84 240 50586

百分等級(PR值) 量尺分數(分) 累積人數(人) 83 237 54655 82 235 57473 81 233 60189 ...

民國96年國中基本學力測驗的全國考生有314974人，若將總人數均分為100等分，則每一個PR值所占的人數約為3150人左右，由上表可知受到同分的影響，故每一個等級的人數可能會有些許差異。

奕萱的PR值是88，從上表知道她的量尺總分在249∼252分（含249分但不含252分），且累積人數在PR＝88為38728人，314974－38728＝276246（人），所以奕萱至少贏過276246（人）。