第六讲：阻尼、激发与束团尺寸

本节内容 辐射阻尼 纵向辐射激发、阻尼与束团长度 横向辐射激发、阻尼与横向尺寸

1. 辐射阻尼 能量振荡的阻尼 横向振荡的阻尼 辐射阻尼的时间常数和衰减分配数

能量振荡的阻尼 回忆能量振荡方程 Ω 2 = 𝛼e 𝑉 𝑇 0 𝐸 0 𝛺 2 = d𝐹 d 𝑧 𝑑 | 𝑧 𝑑 =0 = 2𝜋𝑒 𝑇 𝑐 2 𝐸 0 𝛼ℎ 𝑉 cos 𝜑 𝑠 其中 是任意电子回旋一圈的辐射能量

辐射能量的变化原因 任一偏能电子每圈的辐射能量的变化由三种因素 造成 β振荡不改变平均的辐射能量 电子能量的不同 电子在不同磁场中运动 电子的轨道长度不同 β振荡不改变平均的辐射能量

电子回旋一圈的辐射能量 𝑈 𝑟𝑎𝑑 = 1 𝑐 𝑃 𝑟 1+ 𝜂𝜀 𝜌 0 𝐸 0 d𝑠 𝑃 𝑟 d𝑡 d𝑠 d𝑠 其中 只需考虑能量偏差对闭轨的影响 𝑈 𝑟𝑎𝑑 = 1 𝑐 𝑃 𝑟 1+ 𝜂𝜀 𝜌 0 𝐸 0 d𝑠

被积函数所有的量都在设计轨道上取值 推导过程略。 能量偏差将导致轨道变化 电子看到的磁场发生变化 电子瞬时辐射功率变化 能量偏差的变化

第一项为粒子能量的贡献 第二项为磁场的径向梯度的贡献 第三项为轨道长度的贡献 1 𝑐 𝑈 0 𝜂𝑃 𝑟 1 𝜌 + 2 𝐵 𝑑𝐵 𝑑𝑥 0 d𝑠

能量振荡阻尼系数 D= 1 𝑐 𝑈 0 𝜂𝑃 𝑟 1 𝜌 + 2 𝐵 𝑑𝐵 𝑑𝑥 0 d𝑠

阻尼时间常数 D描述了导向磁场的性质，它只与导向磁场的曲率 G、磁场降落指数n以及色散函数有关。 在D很小的情况下 课本里写作 𝜏 𝑠 ，强调“纵向” 振荡能量、束团标准偏差以此系数衰减，每经过 𝜏 𝑠 ，能散 和束团标准偏差（今后可知与长度相关）衰减为1/e 能量平均损失率 𝛼 𝜀 ≈ 𝑈 0 𝑇 0 𝐸 0 = 𝑃 𝑟 𝐸 0 𝜏 𝜀 = 1 𝛼 𝜀 ≈ 𝐸 0 𝑃 𝑟 阻尼时间常数 粗略地说就是一个电子将其本身能量完全辐射掉所需的时间

等磁场矩形磁铁的情况 采用等磁场矩形磁铁 分离聚焦结构 的储存环: 能量振荡的衰减系数 只与每块铁弯转的角度有关

横向振荡的辐射阻尼 仅为近似处理 辐射阻尼不是出现在辐射光子的过程，而是发生 在高频加速过程 横向振荡的轨迹可以写成 首先考虑垂直方向

垂直振荡的辐射阻尼 暂时忽略β函数随s的变化，即β＝常数 横向振荡轨迹 ，其中 ，A为横 向振荡振幅 横向振荡角度 横向振荡振幅为

考察能量为E0的电子围绕平衡轨道的垂直振荡 辐射损失： 在任一方位元δs上， 电子辐射能量δE，其 动量改变δP。 电子轨道的位移和斜 率不会改变，A也不变 ∵ 𝛿 𝑃 ∥ 𝑃

RF加速作用 RF加速力平均来说是平行于平衡轨道的 因而在任一方位元δs上，电子动量改变δP不再 平行于动量P 𝑦 ′ =− 𝑃 ⊥ 𝑃 ∥ 垂直分量 𝑦 ′ =− 𝑃 ⊥ 𝑃 ∥ 平行分量 ∵ 𝑃 ∥ ≫ 𝑃 ⊥ ∴ 𝑃 ∥ ≈ 𝑃 =𝑃

RF对方向角的作用 RF加速作用不改变y，改变y’，因此动量的平行分 量有一个增量 y’的变化为

振幅变化 相应的振幅变化为 由于电子在s处的相振荡相位是任意的，在0到2π 之间都有可能，则A的平均变化为（考虑 ）

一圈的振幅变化 假定电子在一圈内振荡幅度由于RF加速改变为ΔA 电子在一圈内能量变化一定为U0＝δE 可见 因此振荡振幅是指数衰减的

横向的阻尼系数 垂直方向的阻尼系数是能量振荡阻尼系数的一半。 辐射阻尼不是出现在辐射光子的过程中，而是发生在高频加速的 过程中，由于电子从高频腔中得到能量而引起振荡振幅的衰减 水平方向，考虑色散等影响，得到

辐射阻尼的时间常数和衰减分配数 前面给出了任意电子在3个自由度下的辐射阻尼效 应，并给出了三种振荡模式的衰减系数

统一表示成 Ji叫做衰减分配数 本质的物理意义 存在SR损失的环形加速器，如果只有电磁场保守力，相空间状 态分布密度不变，传输行列式等于1

阻尼时间常数 定义阻尼时间常数 振幅衰减到1/e所需的时间 与微秒级的电子回旋周期相比，阻尼时间相当“漫 长”

2. 纵向辐射激发与束团长度 目前为止，在考虑同步辐射的辐射损失时，都采用 的是经典电动力学模型 它假设电子的能量损失过程是一个均匀的连续的 过程 它对平均能量损失的处理在一阶近似下是可行的 但电磁辐射的真实过程是发射光量子的过程，是 一个离散的过程 光子的量子特性对储存环中的电子的行为有着显 著的影响，必须对其量子特性进行考察

量子辐射 量子辐射特性 电子每辐射一个光子，其能量会有一个不连续的变化 其辐射覆盖了从远红外到x射线的很宽的范围，所以其光 子能量也覆盖了很宽的范围 在量子辐射过程中，电子的方向也会有一个很小的变化

准量子方法 利用准量子方法来简化处理，其前提是： 分布的平衡 量子发射的时间尺度一般小于ρ/γc，这个时间尺度远小于其它时间尺 度（如横向振荡周期、纵向振荡周期），所以可以当作瞬时作用处理 每次辐射的时间是统计随机的，相互之间是独立的 分布的平衡 持续的量子辐射导致的电子能量的不连续变化会持续影响电子轨道，大 量的扰动的累积效果产生各种振荡振幅的放大，这就是量子激发—辐射 激发 辐射激发与辐射阻尼平衡—束流平衡分布 前面考虑辐射阻尼效应时，阻尼率与平均辐射损失相关，与其统计特性 无关，所以在考虑量子特性时，可以采用同样的阻尼作用，只是将其理 解为在所有的量子损失中的平均能量损失 激发效应是由于量子辐射关于平均辐射能量的波动导致的

辐射激发 当一个能量为u的光量子辐射后，电子的能量突然 减少u，这个冲量会导致一个小的能量振荡 各个光量子之间是随机的（时间、能量） 大量这种冲量的集体效应将导致能量振荡振幅的 增长 这个振幅的增长将与能量阻尼的过程形成动态的 平衡，电子的能量振荡将围绕特定幅度进行波动

不考虑瞬时衰减，并且，没有任何扰动的情况下 考察能量振荡的均方根偏差 回忆能量振荡方程 不考虑瞬时衰减，并且，没有任何扰动的情况下 𝛺 2 = 𝛼e 𝑉 𝑇 0 𝐸 0 其中 其解

假定在瞬时时刻ti电子发射光量子，其能量突然减 少了u，时刻之后能量变化为 同时，新的能量振荡的能量偏差也可记为 时间位移 新振荡的幅度

如果每秒有N个量子随机发射，每个量子发射使A2变 化u2，则单位时间内A2的变化为 由于量子发射而使振荡的幅度变化到一个新值A1，其 变化取决于初始幅值和ti-to，但是ti不可预期，是随机 的，所以cos项的统计期望值为0。量子发射引起的最可 几幅值改变量为 如果每秒有N个量子随机发射，每个量子发射使A2变 化u2，则单位时间内A2的变化为 因为A2的最可几变化率值等于A2的最可几值变化率 最可几？ 正数 量子辐射引起振荡的激发

回顾辐射损失导致的振幅衰减 辐射损失引起的振荡衰减的衰减常数为αε

在平衡状态下，量子激发与辐射衰减应该是平衡的，即两 者互相抵消，有 对于正弦型的能量振荡，ε的期望值为0， ε2的期望值为 能量振荡中的均方能量涨落是由于所有能量为u的量子的 随机发射产生的

定义 则有 因平衡轨道上 被发射量子的临界能量 或 其中 约化普朗克常数，狄拉克常数

单位时间发射的光子数【证明略】 光量子能量均方值 其中

已知 定义量子常数 相对能散

其中 仅由导向磁场的性质决定 可以粗略估算为理想轨道的曲率/Jε 那么量子辐射决定能散的环，其能散∝γ2 等磁场 HLS I

回顾 𝛺 2 = 𝛼𝑒 𝑉 𝑇 0 𝐸 0 纵向能量振荡 能量振荡阻尼系数 对于矩形弯铁 α动量紧缩因子

束团长度，即s(=cτ)的均方根（半长度） 思考：束团长度是什么？为什么会有长度？ 由小能量振荡 束团长度，即s(=cτ)的均方根（半长度）

等磁场下的能散为 可以得到 以时间为单位的束团半长度公式（均方根值） 以长度为单位的束团半长度公式（均方根值）

纵向束团尺寸 左图为标准输出波形 500 ns 1.4 ns 左图为测到的束流不稳定现象

Break

3. 横向激发、阻尼与尺寸 束团宽度，即x的均方根（半宽度） 束团高度，即y的均方根（半高度） 实际电子轨道对平衡轨道的X方向的位移 是Beta振荡引起的位移 是由于能量分散引起的电子轨道径向偏移 是由于磁铁的缺陷、公差等引起的闭合轨道畸变，第六章进行讲述 束团宽度，即x的均方根（半宽度） 实际电子轨道对平衡轨道的y方向的位移 是垂直方向Beta振荡引起的位移 是由于磁铁的缺陷、公差等引起的垂直方向闭合轨道畸变 束团高度，即y的均方根（半高度）

用同步光测到束流截面图形

束团尺寸与耦合 Beamsize with coupling Low coupling beamsize y [mm] y [mm] 100 -100 100 -100 y [mm] y [mm] -1000 -1000 x [mm] x [mm] Beamsize with coupling Low coupling beamsize

RMS概念 RMS－Root-Mean-Square 由标准偏差定义的束团尺寸 也称为束团半尺寸

3.1.束团宽度 电子辐射的量子特性会激发随机的横向β振荡， 从而影响到束团的横向尺寸 假设： 光子方向与电子运动方向平行 电子能量突然发生变化 电子方向不发生变化

不变振幅因子 一个初始条件（x1，x1’）的粒子在s1处的横向振荡为 其中a为不变振幅因子，是对所有方位元均相同的常数

记

回顾：第三讲，系统接收度 横向振荡轨迹重写为 微商 重写成 平方相加 即 得到

α、β、γ 是s的函数，椭圆的形状是随s变化的。 椭圆方程 就可以得到 设 显见 W是一个常数，独立于变量s。 椭圆的面积不变。椭圆由α、β、γ决定。 α、β、γ 是s的函数，椭圆的形状是随s变化的。

光子对电子轨道的影响 电子发射能量为u的光子时（δE＝u），导致其参考 轨道突然变化，因而横向振荡的位移及斜率发生 变化： 这个变化不仅对辐射点的振荡造成影响，也会对 其它点的横向振荡进行扰动

能量变化对径向振荡的影响

扰动的处理方法 扰动依赖于其发生地点，同时也依 赖于其观察点，为了方便仅考察在 固定方位s2处的各种扰动造成的影 响。 方位s1发射的光子将会在观察点s2 处产生什么影响？ 对s1处所有可能的光子扰动求平均 值。 对所有可能的s1求和。 s1 s2

光子辐射的影响 假设在s1处初始振荡幅度为0，则全环的初始振荡 幅度均为0 s1处发射能量为u的光子后，横向振荡变化 横向振荡振幅也自然发生变化

s1处振幅的变化 一个能量u的光子辐射在s1处导致的振幅变化为 定义 是与导向磁场性质相关的一个函数

对具有初始振幅的情况，只要量子辐射与横向振荡的 初始相位无关，并且是完全随机的，s1处发射能量为u 的光子引起横向振荡的振幅改变量的最可几值 振幅变化可记为 脚标1表示所有与s相关的量均在s1处取值。这个结果给出了在没 有初始振幅情况下的幅度变化 对具有初始振幅的情况，只要量子辐射与横向振荡的 初始相位无关，并且是完全随机的，s1处发射能量为u 的光子引起横向振荡的振幅改变量的最可几值 这是s1处发射能量为u的光子的结果

轨道元上的变化 电子在s1处走过δs距离，所需要的时间为 则量子发射的几率为 则轨道元δs上，a2变化的最可几值为 其中N为单位时间发射光子数 则轨道元δs上，a2变化的最可几值为 脚标1表示所有与s相关的量均在s1处取值 依赖于局部的曲率

单圈结果 考虑电子绕储存环运动一周对<a2>的贡献，这个贡 献记为Δ<a2>。可以通过对轨道元δs上a2变化的 最可几值积分获得 为了方便，可以取大括号中部分的平均值与轨道 长度的乘积来表示

量子发射对不变振幅的均方值变化率的贡献 N< u2 >依赖于电子的实际轨道，每圈都会有较大 不同 但其与设计轨道区别还是较小的，对一阶的对理 想轨道的偏离，其区别的平均为0。 考察电子的长期累积效应，可以在理想轨道上取 值 Δ<a2>是一圈的变化，其时间为2πR/c

径向束团尺寸 前面定义了 辐射阻尼对不变振幅的均方值变化率的贡献（第4 讲） 稳定条件下，束团是稳定不变的，二者相加之后， 径向阻尼时间常数 s1是任意取值的

进一步讨论 τx，Qx是导向磁场特性决定的，不随s变化，唯一 随s变化的参数是β(s) 径向束团尺寸是由于量子辐射引起的横向振荡对 储存环电子束团水平方向尺寸的展宽的结果 为给出其物理意义， 重新写出τx，Qx ，将其中各 个参数带入

等磁场结果 对于等磁场G＝1/ρ，可简化为 只在弯铁中取值 与相对能散比较有 引入水平方向束流发射度

等磁场下的估算（1） 如果要精确计算σxβ，必须对<H>mag精确求解，对 其定义式进行积分 但一般只需要一个足够精确的估算值，则 取η(s)近似值为 水平方向工作点

等磁场下的估算（2） 所以 β的典型值为

举例 1GeV, β n ≈6m, 𝜎 𝜀 𝐸 0 ≈4× 10 −4 → 𝜎 𝑥𝛽 ≈1.4mm 𝐽 𝜀 =1.9765, 𝐽 𝑥 =1.0235, 𝜐 𝑥 =3.58 → 𝜎 𝑥𝛽 ≈0.53mm

束团宽度 前面只考虑了由于横向振荡引起的束团径向展宽， 总的束团径向尺寸是β振荡与能量振荡共同作用 的结果，能量偏差的作用 径向束团尺寸 也被称为束团半宽度 等磁场

束团宽度近似解 将η(s)，H的近似值带入得到 符号 → 𝜎 𝑥𝛽 ≈0.65mm

3.2. 束团高度 ηy＝0，垂直方向必须考虑角度贡献 如果电子轨道严格位于一个平面内，量子发射在 垂直方向上无一级效应，因此在垂直方向只需考 虑量子辐射的辐射角分布的影响 垂直方向发射光子的作用 θy是光子发射角在垂直方向的投影

轨道元上不变振幅变化率 电子在s1处走过δs距离，所需要的时间为 ，单位时间发射光子数 则轨道元δs上，不变振幅平方的平均值变化率为 是对辐射光子能量u（单能）角度（单角）平均则 是对所有光子能量和辐射角进行平均

垂直方向振荡振幅均方值变化率 将一圈振幅变化量写成微分形式，令 由于量子辐射引起的垂直方向振荡振幅均方值变 化率 辐射阻尼的作用

束团在垂直方向稳定分布的均方值 则当激发与衰减达到平衡状态时，有 束团在垂直方向稳定分布的均方值 引入垂直方向的束流发射度

求Qy 求Qy，必须考虑同步辐射谱随角度的变化 由于量子效应比较小，可以近似求解 因为u很小 对于 可以近似取为辐射角均方值的一半 对于 可以近似取为辐射角均方值的一半 用平均值βyn代替 为什么u很小时可以作此近似？简单的数学问题。

束团的高度 𝑄 𝑦 ≈ 𝐶 𝑞 𝑃 𝑟 𝑠 𝛽 𝑦𝑛 𝜌 0 𝐸 0 也被称为束团半高度

束团高度的估算 粗略来说

横向振荡耦合时的束团尺寸 前面求解中，不存在耦合时 实际情况下，由于储存环磁铁的加工、安装误差， 磁铁材料本身的缺陷，水平垂直之间必然存在耦 合 一般垂直为水平方向的百分之几 耦合小＝>高亮度 耦合大＝>增大束团截面尺寸，寿命提高（斜四极 铁、差共振） 束团截面增大，密度降低，损失率降低，托歇克寿命增加。利用斜四极铁增加横向耦合。合肥光源一期运行在差共振上，差共振是全耦合，束斑为圆形，发射度降为一半。

耦合作用的考虑 存在耦合时，两个方向束团尺寸不再是独立的，可 记为 k为耦合系数，其值在0～1之间，实际中一般取值 为0.01～1之间。k<0.01很难实现 考虑辐射平均效应，束团稳定时有 衰减项 激发项

耦合时束团尺寸求解（1） 存在耦合时，两个方程不再是独立的

耦合时束团尺寸求解（2） 对等磁场 忽略第二项

耦合时束团尺寸求解（3）

总结：计算束团尺寸的公式 束团尺寸的本质是什么？和什么有关？ 考虑能散和横向耦合，束团半宽度 束团半高度 束团半长度

作业四 HLS II有8块矩形弯铁，弯转半径为2.2m，动量紧缩 因子为0.02，能量为0.8GeV，高频电压为250kV， 高频频率为204MHz，高频谐波数为45。求其束团 长度（长度量纲）、能量振荡阻尼系数与衰减分配 数