111 第六章 常態分配 陳順宇 教授 成功大學統計系 陳順宇作

某次IQ測驗有1萬人參加 平均分數為100分，標準差為15分， 且IQ測驗成績直方圖呈鐘形， 陳順宇作

我們可以知道 約有6800人的成績在85分到115分之間，約有9500人的成績在70分到130分之間，約有9970人的成績在55分到145分之間， 也可由此推得IQ成績低於55分約有15人，而IQ超過145分的大約有15人 陳順宇作

中國人常講〝萬一〞， 表示〝一萬次中最多 只有可能一次發生〞的事件為意外， 統計學家則以〝20次實驗中最多 只有1次發生〞， 此種機率低於5%的事件為異常。 陳順宇作

依統計的說法， 10000人中大約會有500位是異常的， 其中優良者有250位，而不佳者有250位 陳順宇作

例如，在IQ測驗中 平均分數是100分，標準差為15分， IQ超過130分者為智優， 低於70分者為智劣 陳順宇作

IQ成績直方圖 陳順宇作

IQ成績直方圖頂邊中點連線 陳順宇作

IQ成績次數分配折線圖 陳順宇作

IQ成績常態分佈圖 陳順宇作

常態曲線(或高斯曲線) 陳順宇作

常態曲線圖 陳順宇作

平均數 陳順宇作

變異數 陳順宇作

111 鐘形分佈 陳順宇作

例6.1、燈泡壽命直方圖呈鐘形 陳順宇作

6.2 標準常態分配及查表 陳順宇作

標準常態分配密度函數 呈對稱鐘形 陳順宇作

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例6.2 求(1) (1.35) (-2.17) 陳順宇作

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圖6.8 標準常態分配函數圖 陳順宇作

標準常態分配函數有下列性質 (1) P(a  Z  b) = (b) -  (a)。 (2) ab，則 (a)  (b)，即是增函數。 (3) (-) = 0，() = 1。 (4) 利用對稱原理 陳順宇作

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例6.4、若Z ~ N(0,1)， 求下列各機率值 陳順宇作

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例6.5 陳順宇作

The teacher spent long time in explaining how to get the answer 陳順宇作

6.3 資料標準化的應用 陳順宇作

例6.6產品規格 某產品規格訂為20  1公分， 但製造的產品平均數是m =19.8公分，s=0.5公分。 試問產品中合格的比例是多少？ 又問產品中有多少比例是超過規格上界？ 陳順宇作

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例6.7 某生國文考80分，數學考60分， 是否此生在班上國文表現比數學好？ 陳順宇作

陳順宇作

例6.8成績標準化算法： 某次考試全班考的不理想， 老師想給學生加分， 如何加分才算公平呢？ 陳順宇作

傳統上有三種做法 (1)所有學生一律加a分 (2)開平方再乘以10，如某生考16分 則開平方再乘以10，加分後變成40分。 (3)分數乘a再加b分， 但問題是a,b如何取才好？ 陳順宇作

解決之道是利用標準化方式 得標準化成績後乘以a再加b y=ax+b 其中a表示老師想給的全班標準差， b表示老師想給全班的平均分數。 陳順宇作

例如原先全班平均分數50分、標準差6分 但老師想調為全班平均70分、標準差8分 則某生原先考62分，標準化分數為， 因此加分後得2×8+70=86分。 y=ax+b, b: 5070, a=68, x=(62-50)/6=2 陳順宇作

例如第五章例5.25 (其中p=0.5、0.2、0.8三個二項分配機率圖 ( 尤其是p=0.5)都像一鐘形 很多離散型隨機變數其機率分配圖 長相也有中間高、兩邊低的現象， 例如第五章例5.25 (其中p=0.5、0.2、0.8三個二項分配機率圖 ( 尤其是p=0.5)都像一鐘形 陳順宇作

當很大時，以二項分配求 此機率值不容易 陳順宇作

修正公式 陳順宇作

The teacher did explain it, about 0.5 陳順宇作

二項分配線圖 陳順宇作

P(a≦x≦b)=P(a)+P(a+1)+…+P(b) 陳順宇作

二項分配長方形面積 陳順宇作

常態分配近似二項分配 陳順宇作

The teacher did explain it, about 0.5 陳順宇作

The teacher did say 要背市公式 陳順宇作

例6.11、(例5.24續) 分別以 (1)二項分配 (2)常態分配 求 =? 陳順宇作

二項分配 陳順宇作

常態分配 陳順宇作

The teacher did say 要背公式 陳順宇作

例6.12、 有一選區選民有100000人， 抽樣1067人，調查候選人甲得票率， 若候選人甲真正得票率(開票後)是0.4 求抽樣誤差在3%以內的機率? 即求 陳順宇作

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(1) 超幾何分配求機率 陳順宇作

(2) 二項分配求近似值 陳順宇作

(3) 以常態分配求近似值 陳順宇作

上例假設 已知候選人甲的真正得票率=0.4， 計算出抽樣1067人， 抽樣誤差在3%以內的機率， 結果此機率值比95%大一點。 陳順宇作

下面討論： 不論候選人的真正得票率是多少， 若抽樣1067人， 則抽樣誤差在3%以內的機率至少是0.95 (此機率值亦稱信心水準) 陳順宇作

例6.13、 若有一選區選民有幾萬人以上， 隨機抽樣1067人， 調查某候選人甲的得票率， 則抽樣誤差在3%以內的機率至少是0.95 陳順宇作

即 陳順宇作

由於不論真正得票率是多少，恆有 陳順宇作

陳順宇作

所以抽樣人數1067人時， 不論真正得票率是多少， 抽樣誤差在3%以內的機率至少為95% 陳順宇作

為何拉斯維加斯賭場 莊家永遠是贏家？ 陳順宇作

例6.14、 請問以此種賭法 (1) 此賭客賭10000次後，莊家贏的機率? (2) 賭客賭10000次後， 莊家贏100元以上的機率? (1) 此賭客賭10000次後，莊家贏的機率? (2) 賭客賭10000次後， 莊家贏100元以上的機率? (3)此賭客賭10000次後， 莊家贏的錢之期望值 陳順宇作

表6.1 莊家贏的機率 陳順宇作

可算出贏200元、300元、…、1000元以上的機率如下 陳順宇作

賭10000次後莊家平均約贏的錢 陳順宇作

例6.15、 擲兩個骰子點數和的次數分配直方圖 陳順宇作

(a) 擲60次 陳順宇作

(b) 擲600次 陳順宇作

(c) 擲6000次 陳順宇作

(d)理論機率圖 陳順宇作

6.5.1 兩個常態母體之比較 設母體1(如男生)是 、 而母體2 (如女生)是 ， 共有四種情形 陳順宇作

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第六章 摘要 陳順宇作

常態分佈 1.日常生活中許多資料畫直方圖 其長像都像鐘形，要了解常態分佈 密度函數與平均數、變異數 陳順宇作

2.標準化： 陳順宇作

3.標準常態分配查表 了解面積與座標的關係， 並以常態分配對稱性對查表的功用 陳順宇作

4.校正公式： 以為何莊家永遠是贏家為例說明 二項分配接近常態分配。 陳順宇作

5. 兩個常態母體合併 了解兩個常態母體合併後不一定為常態， 合併後可能是常態，也可能不是常態， 以此說明當一組資料的直方圖呈雙峰時 其原因可能是某一特性造成(如性別)， 因此有必要做“層別分析” 陳順宇作