微分方程数值解 计算科学系 杨韧
第三章 椭圆型方程的差分格式
§3.1 正方形区域中的Laplace 方程 Dirichlet边值问题的差分模拟 设Ω是 xy 平面中的具有正方形边界 的 一个有界区域，考虑Laplace方程的第一边值 Dirichlet ）问题
l , m+1 l–1,m l , m l+1 , m l , m–1 网格节点（l ， m） 处的二阶中心差商代替 二阶微商
-Ul, m+1 Laplace方程的五点差分格式(3.6)为 截断误差为O(h2)。 -Ul, m–1 -Ul–1,m 4U l , m -U l+1 , m -Ul, m–1
令 则Laplac方程的五点差分格式为（3.8） 即
例1 用五点差分格式求解 Laplace方程 在区域 内的近似解，边界值为： 取 。
解 网格点如图所示 u(1,4)=180 u(2,4)=180 u(3,4)=180 U7 U8 U9 U4 U5 U6 U1 U2 U3 解 网格点如图所示 u(1,4)=180 u(2,4)=180 u(3,4)=180 U7 U8 U9 U4 U5 U6 U1 U2 U3 u(4,3)=0 u(4,2)=0 u(4,1)=0 u(0,3)=80 u(0,2)=80 u(0,1)=80 u(1,0)=20 u(2,0)=20 u(3,0)=20
矩阵方程AU=K，K由边界条件所确定，解得 U = [U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9]’=A-1K = [55.7143 43.2143 27.1429 79.6429 70.0000 45.3571 112.8571 111.7857 84.2857]T
加密网格，取 h = 0.5
定义向量 为从左到右，自下而上的自然次序排列的未知函 数值，则正方形区域Ω中的内部节点上的(M-1)2 个线性方程 写为矩阵方程 AU=K,其中K由边界条件确定.
§3.2 Neumann边值问题的差分模拟 表示函数 u 沿着边界的外法线方向导数， 在正方形的四个顶点上法向量没有定义，取平均值代替。
讨论左边界 x = 0 上的导数边值条件的差分模拟 又由点（0，m）的五点差分格式 消去U-1, m，得 0 , m+1 -1 , m 0 , m 1 , m 0 , m-1
边界 x = 0上 (3.14) 边界 x = 1上(3.15) 边界 y = 0上(3.16) 边界 y = 1上(3.17)
边界 x = 0 边界x = 1 边界y = 1 边界y = 0 -UM , m+1 -U0 , m+1 4UM , m 4U0 , m -Ul-1 , M 4Ul , M -Ul+1 , M -2Ul , 1 -2Ul , M-1 -Ul-1 , 0 4Ul , 0 -Ul+1 , 0
在顶点（0，0）,取偏导数的平均值作为外法线方向 导数 用一阶中心差商代替微商 在顶点（0，0）,五点差分格式为 故 0,1 -1,0 0,0 1,0 0,-1
在四个顶点 （0，0） （0，M） （M，0） （M，M）
Nenmann问题 解 网格节点如图所示 例1 在单位正方形区域Ω上解Laplace方程的 U7 U8 U9 顶点 U4 U5 内点
矩阵方程为
令 则矩阵方程为
§3.3 混合（Robins）边值条件
例1 用五点差分格式求解 Laplace方程 在区域 内的近似解，边界值为： 取 。
解 网格节点如图所示 u(1,4)=180 u(2,4)=180 u(3,4)=180 U10 U11 U12 U7 U8 U9 U4 U5 U6 u(0,3)=80 u(0,2)=80 u(0,1)=80 u(0,0)=80 u(4,3)=0 u(4,2)=0 u(4,1)=0 u(4,0)=0 U1 U2 U3
解矩阵方程 AU = K U= [71.8218 56.8543 32.2342 … 75.2165 61.6806 36.0412 … 87.3636 78.6103 50.2502 … 115.6276 115.1468 86.3492]T
作业: 1、 P.115例3.1取h=1/3，利用五点 差分格式写出求解节点上的Ul,m值的线 性方程组及矩阵方程。 2、P.159习题三 2