4 弯曲内力、应力 4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图 4-2 梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 4-3 平面刚架和曲杆的内力图 4 弯曲内力、应力 4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图 4-2 梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 4-3 平面刚架和曲杆的内力图 4-4 梁横截面上的正应力 正应力强度条件 4-5 梁横截面上的切应力 切应力强度条件 4-6 梁的合理设计

4.1 对称弯曲的概念及梁的计算简图 4.1.1 弯曲的概念 1）弯曲工程实例 桥式起重机的主梁 火车轮轴 F F

各类桥梁 各类横梁 受风载的塔 车削的工件

2）弯曲的概念： 受力特点： 作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线； 外力偶作用在杆轴线的某一平面内。 变形特点： 杆轴线由直线变为一条平面的曲线。 垂直于轴线的横截面绕垂直于轴线的某一轴作相对转动 主要产生弯曲变形的杆--- 梁。

3）梁的常见截面：

4）平面弯曲： 纵向对称面 包含对称轴的纵向平面 外力都作用在纵向对称面内 弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线

4.1.2 梁的计算简图 1）构件本身的简化： 不论截面形状，全部用轴线代替梁 2）梁的载荷 集中载荷 分布载荷 集中力偶

3）梁的支座 固定铰支座 活动铰支座 固定端

4）静定梁的分类（三种基本形式） FAx 简支梁 FB FAy FAx 外伸梁 FAy FB FAx 悬臂梁 MA FAy 支座之间的长度称为梁的 跨度

4-2 梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 4.2.1 梁的剪力和弯矩 弯曲内力的确定方法 ：截面法 4-2 梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 4.2.1 梁的剪力和弯矩 弯曲内力的确定方法 ：截面法 已知：如图，F，a，l。 求：距 A 端 x 处截面上内力。 F A B a l F A B FAx FAy FB 解：①求外力（支座反力）

②求内力 将梁从Ⅰ－Ⅰ位置截开，若取左侧 内力与外力平衡，内力简化为一力和一力偶。 该力与截面平行，称为截面的剪力，记为Fs ； 该力偶的力偶矩称为截面的弯矩，记为 M 。 Ⅰ x F A B a l M A FAy Fs 若取右侧 B FB F M Fs

为使左、右两段梁计算所得的同一截面上的剪力、弯矩在正负号相同，结合梁的变形，对梁的剪力和弯矩的正负符号作如下规定 弯曲内力的正负号规定: 为使左、右两段梁计算所得的同一截面上的剪力、弯矩在正负号相同，结合梁的变形，对梁的剪力和弯矩的正负符号作如下规定 ① 剪力Fs : Fs(+) Fs(–) ② 弯矩M： M(+) M(+) M(–) M(–)

例4-1：梁1-1、2-2截面处的内力。 解：（1）确定支座反力 (2) 1-1截面左段 0.8kN 1.2kN/m 2 1 A B 2m FA FB FA (2) 1-1截面左段

1.2kN/m 0.8kN A B 1.5m 3m 2m 1 2 FA FB 2-2截面右段左侧截面：

例4-2 求图示梁 1-1、2-2 截面的剪力和弯矩。 解：取整体 1-1 截面 A B C D 2m F =12 kN q =2 kN/m 例4-2 求图示梁 1-1、2-2 截面的剪力和弯矩。 A B C D 2m F =12 kN q =2 kN/m 1 2 解：取整体 FA FB 1-1 截面 M1 Fs1 FA A

集中力（包括支座反力）两侧截面的的弯矩相等； A B C D 2m F =12 kN q =2 kN/m 1 2 FA FB 2-2 截面 Fs1 FA A M1 结论： F = 12kN FA A 集中力（包括支座反力）两侧截面的的弯矩相等； M2 Fs2 集中力（包括支座反力）两侧截面的的剪力不等，突变值等于集中力的大小。

例4-3 求图示梁 1-1、2-2 截面的剪力和弯矩。 解：取整体 1-1 截面 A B C 2m 1 2 Me =12kN·m FA FB 例4-3 求图示梁 1-1、2-2 截面的剪力和弯矩。 A B C 2m 1 2 Me =12kN·m 解：取整体 FA FB 1-1 截面 Fs1 M1 FA A

集中力偶两侧截面的的弯矩不等，突变值等于集中力偶的力偶矩。 A B C 2m 1 2 Me =12kN·m FA FB 2-2 截面 Fs1 FA A M1 结论： 集中力偶两侧截面的的剪力相等； M2 Fs2 B FB 集中力偶两侧截面的的弯矩不等，突变值等于集中力偶的力偶矩。

通过以上求截面上剪力和弯矩可以看出 ，一般并不必用截面法，可直接从横截面的任一侧梁上的外力来求得该横截面上的剪力和弯矩。 求剪力和弯矩的简便方法 横截面上的 剪力 在数值上等于此横截面的 左侧 或 右侧 梁段上 外力的代数和 。 该梁段上与剪力方向相反的外力引起正值的剪力，与剪力方向相同的外力引起负值的剪力 横截面上的 弯矩 在数值上等于此横截面的 左侧 或 右侧 梁段上的 外力（包括外力偶）对该截面形心的力矩之代数和 。 该梁段上与弯矩转向相反的外力之矩引起正值的弯矩，与弯矩转向相同的外力之矩引起负值的弯矩

例4-4 求指定截面上的内力 FSA- ， FSA+， FSD- ， FSD+ ，MD-， MD+ ， FSB- ， FSB+ 。 解：求支座反力 M =3kN·m 2m 4m C A D B FA FB FA=14.5 kN FB=3.5 kN

通常，梁截面上的剪力、弯矩是截面位置 x 的函数，可表示为 4.2.2 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 通常，梁截面上的剪力、弯矩是截面位置 x 的函数，可表示为 FS = FS ( x ) —— 剪力方程 M = M ( x ) —— 弯矩方程 以梁横截面沿轴线的位置 x 为横坐标，纵坐标表示梁横截面上的剪力和弯矩值绘制的图形分别称之为 剪力图 和 弯矩图。 剪力图（ FS 图 ）： 正的剪力画在横坐标（基线）的上方； 负的剪力画在横坐标的下方。 土类 弯矩图（ M 图）： 正的弯矩画在横坐标（基线）下方，即受拉一侧； 负的弯矩画在横坐标上方，即受压一侧。 机类 弯矩图（ M 图）： 正的弯矩画在横坐标（基线）上方， 负的弯矩画在横坐标下方。

例4-5 列出梁内力方程并画出内力图。 解：①求支反力 ②写出内力方程 FS图 ③根据方程画内力图 M 图 F FAy A B MA F 例4-5 列出梁内力方程并画出内力图。 解：①求支反力 FAy F A B MA ②写出内力方程 F FS图 ③根据方程画内力图 FL M 图

例4-6 图示简支梁受集度为 q 的分布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。 l A q 解：1、求支反力 x 2、列剪力方程和弯矩方程 FA FB FS 图 3、作剪力图和弯矩图 M 图 载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称。 剪力为零的截面弯矩有极值。 l/2

例4-7 图示简支梁受集中荷载 F 作用。试作梁的剪力图和弯矩图。 B l A F a b C x1 x2 FA FB 解：1、求支反力 2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出 AC 段 CB 段

在 集中力 F 作用处，剪力图有突变，突变值为集中力的大小；弯矩图有转折。 AC 段 3、作剪力图和弯矩图 x1 B l A F a b C FB FA x2 CB 段 FS图 在 集中力 F 作用处，剪力图有突变，突变值为集中力的大小；弯矩图有转折。 M 图

例4-8 图示简支梁在C点受矩为Me 的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。 B l A C a b x FA FB 解: 1、求支反力 2、 列剪力方程和弯矩方程 剪力方程无需分段： 弯矩方程——两段： AC 段： CB 段：

集中力偶作用点处剪力图无影响，弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力偶的大小。 3、作剪力图和弯矩图 Me B l A C a b FA FB x Fs 图 集中力偶作用点处剪力图无影响，弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力偶的大小。 M 图

作业： 习题 4-2 （a）、（c）、（d）

4.2.3 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用 1）剪力、弯矩与分布荷载间的微分关系 x l A q FA FB 讨论： ？

剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。 对 dx 段进行平衡分析，有： q(x) 剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。 dx x q(x) M(x)+d M(x) Fs(x)+dFs (x) 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。 Fs(x) M(x) dx

2）微分关系的应用 —— 作Fs 图和 M 图（用于定形） 分布力 q ( x ) = 0 时 （无分布载荷） —— 剪力图为一条水平线； 弯矩图为一条斜直线。 Fs 图： M图： —— 剪力图为一条斜直线； 弯矩图为一条二次曲线。 分布力 q ( x ) = 常数时

（1）当分布力 q 的方向向上时 ——剪力图为斜向上的斜直线； 弯矩图为上凸的二次曲线。 Fs 图： M 图： （2）当分布力的方向向下时 —— 剪力图为斜向下的斜直线； 弯矩图为下凸的二次曲线。 Fs 图： M 图：

两截面上的剪力之差，等于两截面间分布载荷图的面积。 3）剪力、弯矩与分布荷载间的积分关系 x1 q(x) x2 在仅有 q ( x ) 作用时， 两截面上的剪力之差，等于两截面间分布载荷图的面积。 两截面上的弯矩之差，等于两截面间剪力图的面积。

4.2.4 简易法作剪力图和弯矩图 利用微分关系定形，利用特殊点的内力值来定值， 利用积分关系定值 基本步骤： 4.2.4 简易法作剪力图和弯矩图 利用微分关系定形，利用特殊点的内力值来定值， 利用积分关系定值 基本步骤： 1、确定梁上所有外力（求支座反力）； 2、分段 3、利用微分规律判断梁各段内力图的形状； 4、确定控制点内力的数值大小及正负； 5、作剪力图和弯矩图。 控制点: 端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。

例4-9 作图示梁的剪力图和弯矩图。 解：1、确定支反力 2、分段作剪力图和弯矩图 AB： – BC： q > 0, FS 图 M 图 例4-9 作图示梁的剪力图和弯矩图。 a qa q A B C 解：1、确定支反力 Fy M 2、分段作剪力图和弯矩图 FS 图 M 图 AB： qa – BC： q > 0, qa2

例4-10 作图示梁的剪力图和弯矩图。 解：1、求支反力 2、分段作剪力图和弯矩图 AC： q = 0，FS图水平线，M图斜直线 Fs图 例4-10 作图示梁的剪力图和弯矩图。 解：1、求支反力 M =12kN·m q=6kN/m A B C 2、分段作剪力图和弯矩图 FA FB 2m 4m AC： q = 0，FS图水平线，M图斜直线 Fs图 M 图 3m BC： q < 0，FS图斜直线，M图二次曲线 a = 3m，剪力等于零，弯矩有极值

例4-11 作图示梁的剪力图和弯矩图。 解：1、求支反力 2、分段作剪力图和弯矩图 AC： q = 0，FS图水平线，M图斜直线 FS 图 例4-11 作图示梁的剪力图和弯矩图。 F =6kN 解：1、求支反力 q =3kN/m 2、分段作剪力图和弯矩图 A B AC： q = 0，FS图水平线，M图斜直线 FA FB C D 2m 2m 2m FS 图 M 图 5kN CD： q = 0，FS图水平线，M图斜直线 1kN 7kN DB： q < 0，FS图斜直线，M图二次曲线 10kN·m 8kN·m

例4-12 作图示梁的剪力图和弯矩图。 解：1、求支反力 2、分段作剪力图和弯矩图 FS 图： M 图： A C 3m M =10kN·m 例4-12 作图示梁的剪力图和弯矩图。 解：1、求支反力 A C 3m M =10kN·m q=1kN/m 4m B F1 =2kN F2 =2kN D E 2、分段作剪力图和弯矩图 FA FB FS 图： M 图：

例4-13 作图示梁的剪力图和弯矩图。 解：1、确定约束力 2、分段作剪力图和弯矩图 Fs M qa q MA C A D B FAy a 例4-13 作图示梁的剪力图和弯矩图。 解：1、确定约束力 qa q MA C A D B FAy a a FB a 2、分段作剪力图和弯矩图 qa qa/2 qa/2 Fs qa2/2 qa2/2 M

作业： 习题 4-3 （a）、（b）、（c）、（d）、（e）、（g） 习题 4-4 （b）

4.2.5 叠加法作弯矩图 1、前提条件： 小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即在弹性范围内满足虎克定律。 2、叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。 3、步骤： 梁上的几个荷载分解为单独的荷载作用； 分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； 将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。

= + = + 例4-14 按叠加法作弯矩图。 M 图 q M A l M A B l q A B l B FA=M/l FB=M/l 例4-14 按叠加法作弯矩图。 q M A l M A B l q A B l = + B FA=M/l FB=M/l FA=ql/2 FB=ql/2 M M ql2/8 ql2/8 = + M 图 Mmax 5l / 8

= + = + 例4-15 按叠加法作弯矩图。 M 图 F M A B l/2 A B FA=F/2 FB=F/2 l/2 F B 例4-15 按叠加法作弯矩图。 F M A B l/2 A B FA=F/2 FB=F/2 l/2 F B FB=M/l M A FA=M/l l/2 = + M Fl/4 M M 图 = + Fl/4

= = + + 例4-16 按叠加法作弯矩图。 M 图 q =2kN/m A F =4kN 6m 2m B C 8kN·m 9kN·m 例4-16 按叠加法作弯矩图。 q =2kN/m A F =4kN 6m 2m B C 8kN·m 9kN·m M 图 = = q =2kN/m A 6m 2m B C 9kN·m A F =4kN 6m 2m B C + + 8kN·m

4.3 平面刚架和曲杆的内力图 4.3.1 平面刚架和曲杆的概念 4.3 平面刚架和曲杆的内力图 4.3.1 平面刚架和曲杆的概念 平面刚架是由在同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连结而组成的结构。 A B C 刚性连结处，相连杆件的夹角不会改变 刚性连结不仅能传力、而且能传递力矩 刚架截面上的内力包括：轴力、剪力、弯矩 轴线为平面曲线的构件称为平面曲杆。 平面曲杆横截面上的内力有轴力、剪力和弯矩。

4.3.2 平面刚架和曲杆的内力图 平面刚架及曲杆的内力图 可画在刚架轴线的任一侧，必须标明正负号 通常正值画在刚架（曲杆）的外侧 轴力图和剪力图： 可画在刚架轴线的任一侧，必须标明正负号 通常正值画在刚架（曲杆）的外侧 弯矩图： 画在杆件受拉一侧，可以不标明正负号

例4-17 图示下端固定的刚架，在其轴线平面内受集中力 F1 和 F2 作用，作此刚架的内力图。 a l F1 F2 A B C 解：将刚架分为 CB，AB 两段 x C CB 段： FS ( x ) FN ( x ) = 0 x1 x FS ( x ) = F1 FN ( x ) M ( x ) M ( x ) = - F1x ( 0  x  a ) C B a BA 段： FN ( x1 ) = - F1 FS ( x1 ) = F2 M ( x1 ) = - F1a- F2 x1 ( 0  x1  l )

+ FS 图 M 图 FN 图 CB 段： FN ( x ) = 0 FS ( x ) = F1 a l F1 F2 A B C x x1 + F1 F2 FS 图 F1a F2l F1a + M 图 F1 FN 图 CB 段： FN ( x ) = 0 FS ( x ) = F1 M ( x ) = - F1x ( 0  x  a ) BA 段： FN ( x1 ) = - F1 FS ( x1 ) = F2 M ( x1 ) = - F1a- F2 x1 ( 0  x1  l )

例4-18 画出图示曲杆的内力图 解：写出曲杆的内力方程

作业： 习题 4-11 （b）

4.4 梁横截面的正应力和正应力强度条件 4.4.1 纯弯曲和横力弯曲的概念 当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既有弯矩 M ， 又有剪力 FS 。 F a C D Fa A B 剪力 Fs —— 切应力 t ； 弯矩 M —— 正应力 s １.纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲（横截面上只有正应力而无剪应力的弯曲）。 2.横力弯曲（剪切弯曲） 梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲（横截面上既有正应力又有剪应力的弯曲）。

4.4.2 纯弯曲梁横截面上的正应力 综合考虑: 几何 ，物理 和 静力学 三方面 综合考虑: 几何 ，物理 和 静力学 三方面 m n M a b 1 变形几何关系：　由纯弯曲的变形规律→纵向线应变的变化规律。 实验： 变形规律： a b m n 横向线：仍为直线，只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。 纵向线：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸长。 假设： 弯曲平面假设： 梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转动了一个角度。

纵向纤维假设： 梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。 横截面的对称轴 凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长 横截面 根据变形的连续性，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层 —— 称为中性层。 中性层 中性轴 中性层与横截面的交线 －－中性轴 梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。

线应变的变化规律： B A a b c d y o o1 dx y r dq e 和 y 成正比 ，而与 z 无关 。 B1 A1 O O1

由纵向线应变的变化律→正应力的分布规律。 2 物理关系： 由纵向线应变的变化律→正应力的分布规律。 在弹性范围内， 即对给定的横截面，其上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比，在距中性轴为 y的同一横线上各点处的正应力均相等 。 z y s max 欲求横截面上一点应力必须知道中性轴的位置和中性层的曲率半径。

由横截面上的弯矩和正应力的关系→正应力的计算公式。 3 静力方面： 由横截面上的弯矩和正应力的关系→正应力的计算公式。 y x M z y z A s （中性轴 z 轴为形心轴） （ y 轴为对称轴，自然满足） ——弯曲变形计算的基本公式

横截面上各点正应力大小与各点到中性轴的距离成正比，中性轴上各点正应力为零，离中性轴最远点正应力最大。 EIz —— 梁的抗弯刚度。 纯弯曲正应力计算公式。 应用公式时，一般将 M，y 以绝对值代入。根据梁变形的情况直接判断 s 的正，负号。 以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力（ s 为正号）。凹入边的应力为压应力，（ s 为负号）。 横截面上各点正应力大小与各点到中性轴的距离成正比，中性轴上各点正应力为零，离中性轴最远点正应力最大。

中性轴 y z C M 拉 压 M 压 拉 截面关于中性轴对称 截面关于中性轴不对称 Wz —— 弯曲截面系数

几种常见截面的 IZ 和 WZ 圆截面 空心圆截面 矩形截面

4.4.3 正应力公式的推广 工程中常见的平面弯曲是横力弯曲 1 m 2 B A 实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。 弯曲正应力公式 可推广应用于横力弯曲和小曲率梁 横力弯曲梁上的最大正应力 截面关于中性轴对称 截面关于中性轴不对称 (最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内)

弯曲正应力公式适用范围 弯曲正应力分布 细长梁的 纯弯曲 或 横力弯曲 横截面惯性积 Iyz = 0 弹性变形阶段

例4-19 简支梁，求 1. C 截面上 K 点正应力 2. C 截面上最大正应力 3. 全梁上最大正应力 例4-19 简支梁，求 1. C 截面上 K 点正应力 B A l = 3m q=60kN/m C 1m 30 z y 180 120 K 2. C 截面上最大正应力 3. 全梁上最大正应力 4. 已知E=200GPa，C 截面的曲率半径 r FAy FBy 1. 求支反力 解： M 2. C 截面上 K 点正应力 （压应力）

3. C 截面最大正应力 4. 全梁最大正应力 M 最大弯矩 5. C 截面曲率半径 r B A l = 3m q=60kN/m C 1m 30 z y 180 120 K FAy FBy 4. 全梁最大正应力 M 最大弯矩 5. C 截面曲率半径 r

例4-20 求图示 T 形截面梁的最大拉应力和最大压应力。 30 110 80 解：确定中性轴的位置。 A B C D 0.3m 0.2m F =20kN F =50kN C z y2 y1 5.5kN.m 4kN.m 截面形心主惯性矩： 画梁的弯矩图 D 截面下边受拉，上边受压；B 截面上边受拉，下边受压。MD y2 > MB y1 ，最大压应力在 D 截面的上边缘； MD y1 < MB y2 ，最大拉应力发生在 B 截面的上边缘。

30 110 80 A B C D 0.3m 0.2m F =20kN F =50kN C z y2 y1 5.5kN.m 4kN.m

例4-21 受均布荷载作用的等直外伸梁。试确定支座的合理位置。 例4-21 受均布荷载作用的等直外伸梁。试确定支座的合理位置。 q D A B C a E l 解：只有当支座处截面与跨中截面之弯矩的绝对值相等时，才能使梁的最大弯矩的绝对值为最小。 对于等截面梁，其最大正应力 为最小，即 解得

4.4.4 梁的正应力强度条件 [ s ] —— 材料的许用弯曲正应力 中性轴为横截面对称轴的等直梁 拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁 C z y ytmax ycmax 为充分发挥材料的强度，最合理的设计为

弯曲正应力强度条件 1、强度校核—— 2、设计截面尺寸—— 3、确定外荷载——

例4-22 图 示梁由工字钢制成。钢的许用弯曲正应力[ s ] = 152 MPa ，试选择工字钢的型号 。 75 kN A B FA FB 解：作弯矩图 梁的最大弯矩为 抗弯截面系数为 查型钢表选 56 b 号工字钢 不到 1% 281 375 采用此工字钢时最大正应力 也不到 1% ，故可选用 56 b 号工字钢 。

例4-23 T 形截面的铸铁梁，铸铁的[ t ] = 30 MPa，[ c ] = 60 MPa。其截面形心位于 C 点，y1 = 38 例4-23 T 形截面的铸铁梁，铸铁的[ t ] = 30 MPa，[ c ] = 60 MPa。其截面形心位于 C 点，y1 = 38.2 mm， y2 = 71.8 mm，Iz = 573 cm4 ，试校核此梁的强度。 30 110 80 A B C D 0.3m 0.2m F =10kN F =25kN C z y2 y1 2.75kN.m 2kN.m 解：画梁的弯矩图 D 截面下边受拉，上边受压；B 截面上边受拉，下边受压。MD y2 > MB y1 ，最大压应力在 D 截面的上边缘； MD y1 < MB y2 ，最大拉应力发生在 B 截面的上边缘。 梁的强度符合要求

因为这样就可使材料的拉，压强度得到同等成度的利用。 例4-24 跨长 l = 2m 的铸铁梁如图 所示。已知材料的拉，压许用应力分别为[ st ] = 30 MPa， [ sc ] = 90 MPa。试根据截面最为合理的要求确定 T 字形截面梁横截面的一个尺寸 d 。 A B 1m F = 80kN 解：要使截面最合理，必须使同一截面的 O z 220 60 280 z y1 y2 因为这样就可使材料的拉，压强度得到同等成度的利用。

A B 1m F = 80kN 即得 O z 220 60 280 z y1 y2

例4-25 安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重 F1 = 6. 7 kN，起重量F2 = 50 kN ，跨度 l = 9 例4-25 安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重 F1 = 6.7 kN，起重量F2 = 50 kN ，跨度 l = 9.5 m，材料的许用应力[ s ] = 140 MPa，试选择工字钢的型号。 （1）计算简图 解： （2）绘弯矩图 （3）根据 计算 F = F1+F2 （4）选择工字钢型号 Fl / 4 36 c 工字钢

例4-26 一槽形截面铸铁梁如图所示。以知：b = 2 m ，Iz = 5493×104 mm4 ，铸铁的许用拉应力[ st ] = 30 MPa，许用压应力[ sc ] = 90 MPa 。 试求梁的许可荷载 [ F ] C b D A F B y 20 134 86 120 180 z 40 解：作弯矩图 最大负弯矩在 B 截面上，最大 正弯矩在 C 上。 C 截面 C 截面的强度条件由最大拉应力控制。

C b D A F B y 20 134 86 120 180 z 40 B 截面 取其中较小者，得该梁的最小荷载为

作业： 习题 4-23 习题 4-24 习题 4-25 习题 4-30

4.5梁横截面上的切应力 切应力强度条件 4.5.1 矩形截面梁横截面上的切应力 横力弯曲时，梁横截面即有弯矩，也有剪力，相应也必有切应力。 4.5梁横截面上的切应力 切应力强度条件 4.5.1 矩形截面梁横截面上的切应力 F2 F1 q(x) m n dx z y b h FS + dFS M + dM FS M m n x dx 横力弯曲时，梁横截面即有弯矩，也有剪力，相应也必有切应力。

横截面上各点的切应力方向与剪力的方向相同。 切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各点切应力大小相等）。 假设： 横截面上各点的切应力方向与剪力的方向相同。 切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各点切应力大小相等）。 z y b h y t FS z y y B A B ' A' n m m1 dx s2 m n dx '  1 s1 s2

公式推导 s2 B A B ' A' n m m1 dx y z 1  ' A* 由剪应力互等定理可知 注意： Fs 为横截面的剪力；Iz 为整个横截面对 z 轴的惯性矩；b为所求点对应位置截面的宽度；Sz* 为所求点对应位置以外的面积对 z 轴的静矩。

y = 0 ( 即在中性轴上各点处） ，切应力达到最大值 矩形截面切应力的分布： z y O b h/2 max y0 A* （即在横截面上距中性轴最远处) 切应力沿截面高度按抛物线规律变化。 y = 0 ( 即在中性轴上各点处） ，切应力达到最大值

4.5.2 工字型截面梁横截面上的切应力 腹板上的切应力 仍按矩形截面的公式计算。 假设 : t // 腹板侧边，并沿其厚度均匀分布 y h b x d z 腹板上的切应力 仍按矩形截面的公式计算。 假设 : t // 腹板侧边，并沿其厚度均匀分布 y ——下侧部分截面对中性轴 z 的静矩

腹板上的剪应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化。 O z y 最大剪应力也在中性轴上。这也是整个横截面上的最大剪应力。 —— 中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩 。

翼缘上平行于 y 轴的切应力很小，工程上一般不考虑。截面上的剪力基本上由腹板承担。 翼缘上的切应力 x y t h z O d b (1) 平行于 y 轴的切应力 计算表明，工字形截面梁的腹板承担的剪力 翼缘上平行于 y 轴的切应力很小，工程上一般不考虑。截面上的剪力基本上由腹板承担。

——欲计算切应力的点到截面端部（t =0 处)这部分截面的静矩 (2) 垂直于 y 轴的切应力 t h t1 t1' x y t h O d b z t —— 欲求切应力值的点所在位置的壁厚 ——欲计算切应力的点到截面端部（t =0 处)这部分截面的静矩

即翼缘上垂直于 y 轴的切应力随 按线性规律变化。 z y O tmax tmin t1max 即翼缘上垂直于 y 轴的切应力随 按线性规律变化。 通过推导可以得知，薄壁工字钢梁上、下翼缘与腹板横截面上的切应力指向构成了“切应力流”。

4.5.3 薄壁环形截面梁横截面上的切应力 薄壁环形截面梁弯曲切应力的分布特征： z y O tmax t d r0 薄壁环形截面梁弯曲切应力的分布特征： (1) d << r0→沿壁厚切应力的大小不变； (2) 内、外壁上无切应力→切应力的方向与圆周相切； (3) y 轴是对称轴 → 切应力分布与 y 轴对称；与 y 轴相交的各点处切应力为零。 最大切应力tmax 仍发生在中性轴 z 上。

4.5.4 圆截面梁横截面上的切应力 切应力的分布特征： 4.5.4 圆截面梁横截面上的切应力 切应力的分布特征： 边缘各点切应力的方向与圆周相切；切应力分布与 y 轴对称；与 y 轴相交各点处的切应力其方向与 y 轴一致。 z y O tmax k k' O' d 关于其切应力分布的假设： 1、离中性轴为任意距离 y 的水平直线段上各点处的切应力汇交于一点 ； 2、这些切应力沿 y方向的分量 ty 沿宽度相 等。 最大切应力t max 在中性轴处

4.5.5 弯曲正应力与弯曲切应力比较 当 l >> h 时，smax >> tmax

例4-27 图示简支梁由 56 a 工字钢制成。求梁的最大切应力 tmax 和同一截面腹板部分 a 点处的切应力ta B F = 150 kN 5m 10m a 166 560 21 12.5 z 75 kN 解：作剪力图

查型钢表 a 166 560 21 12.5 z a 点以外的截面面积对中性轴的静矩 为

例4 -28 一槽钢制成的梁受方向平行于其腹板的横向荷载作用。（1）分析横截面上腹板，翼缘两部分切应力t 和 t1 的变化规律；（2）确定横截面上剪力作用线的位置 m n x dx q(x) t y O z d h b 解： 分析腹板上切应力的变化规律 切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化。

取梁段 dx ，并沿翼缘厚度用纵向截面 AC 截出一体积元素 Cm 。 横截面翼缘上的剪应力 取梁段 dx ，并沿翼缘厚度用纵向截面 AC 截出一体积元素 Cm 。 在 Cm 的两个截面 Am , CD 上 分别有由法向内力元素组成的拉力 、 D C m n O z y dx u A dA A u D m C dx t B

由于翼缘很薄，故可认为 s1 , s11 沿翼缘厚度保持不变，且其值与翼缘中线上的正应力相同。 D C m n O z y dx u A dA A u D m C dx t B 由于翼缘很薄，故可认为 s1 , s11 沿翼缘厚度保持不变，且其值与翼缘中线上的正应力相同。

由于 所以在AC 截面上一定存在着由切向内力元素 u D m C dx t B

翼缘上的最大切应力发生在横截面上翼缘与腹板的中线相接处 。 m t1 沿翼缘长度按线性规律变化 。 翼缘上的最大切应力发生在横截面上翼缘与腹板的中线相接处 。 H 确定横截面上剪力作用线的位置

横截面上的剪力共有三部分组成 ，即一个 FR 和两个 H 。它们的合力的作用线位置，就是梁横截面上剪力的作用线位置 。由力系合成原理可知，上述合力的大小和方向均与 FR 相同 ，但作用线应与 FR相隔一个距离 e。 m O y z e A 由此即确定了横截面上剪力作用线的位置。 A 点称为 弯曲中心或剪切中心 。

⑴具有两个以上对称轴的截面，弯曲中心与形心重合； 几种常见薄壁截面弯曲中心的位置： A A C z A C z C z A C z y y y y ⑴具有两个以上对称轴的截面，弯曲中心与形心重合； ⑵开口圆环截面，弯曲中心在圆外对称轴上； ⑶具有两个狭窄矩形的截面，弯曲中心位于狭窄矩形中线的交点。

当外力的作用线过弯曲中心时，梁只发生弯曲；当外力的作用线不过弯曲中心时，梁不仅发生弯曲，还发生扭转。 F F F F A C z A C z A C z A C z y y y y 平面弯曲 斜弯曲 平面弯曲＋扭转 斜弯曲＋扭转 当外力的作用线过弯曲中心时，梁只发生弯曲；当外力的作用线不过弯曲中心时，梁不仅发生弯曲，还发生扭转。 当外力的作用线既过弯曲中心，又与形心主轴平行时，梁发生平面弯曲； 若外力的作用线只过弯曲中心，但不与形心主轴平行时，梁发生斜弯曲。

矩形截面 方形截面 T形截面 等边角钢 斜弯曲 平面弯曲 斜弯曲＋扭转 斜弯曲＋扭转 P P P P C C z C z z C z A A y y y y 矩形截面 方形截面 T形截面 等边角钢 斜弯曲 平面弯曲 斜弯曲＋扭转 斜弯曲＋扭转

4.5.6 梁的切应力强度条件 对于横力弯曲下的等直梁 ，其横截面上一般既有弯矩又有剪力。梁上最大正应力发生在弯矩最大的横截面上距中性轴最远的各点处 。而梁上最大的切应力发生在剪力最大的横截面上中性轴的各点处 。 梁除满足正应力强度外，还需满足切应力强度。 等直梁的最大切应力一般在最大剪力所在横截面的中性轴上各点处，这些点的正应力 s = 0 ，略去纵截面上的挤压力后，最大切应力所在的各点均可看作是处于纯剪切应力状态。 讨论全梁承受均布荷载的矩形截面简支梁 C , D , E , F , G , H 各点的应力状态 。

E G H C D F m q l FS 图 M 图 在最大弯矩截面上，距中性轴最远的 C 和 D 点处于单轴应力状态 ；在最大剪力截面上，中性轴上的 E , F 点处于纯剪切应力状态 ; 而 G , H 点处于一般应力状态。

E G H C D F m q l FS 图 M 图 C D C , D 为单轴应力状态

E G H C D F m q l FS 图 M 图 E F E , F 为纯剪切应力状态

E G H C D F m q l FS 图 M 图 G H G , H 为一般应力状态

仿照纯剪切应力状态下的强度条件公式 梁的切应力强度条件为 对等直梁，有 [ t ]为材料在横力弯曲时的许用剪应力。 在选择梁的截面时，通常先按正应力选出截面，再按剪应力进行强度校核。

梁的切应力强度条件为 1、校核强度 2、设计截面尺寸 3、确定外荷载。 需要校核切应力的几种特殊情况： 梁的跨度较短，M 较小，而 FS 较大时，要校核切应力。 铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力。 各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。

由弯矩图知，跨中截面为危险截面，最大弯矩值为 例4-29 简支梁受均布荷载作用，其荷载集度 q = 3.6 kN/m，梁的跨长 l = 3m ，横截面为b×h = 120×180 mm2，许用弯曲正应力[ s ] = 7 MPa，许用切应力[ t ] = 0.9 MPa ，校核梁的强度。 A B q 解：作梁的剪力图和弯矩图 梁的正应力强度校核 由弯矩图知，跨中截面为危险截面，最大弯矩值为 FS 图 梁横截面的的抗弯截面系数为 M 图 横截面上的最大正应力

由剪力图知，危险截面为A、B 截面，最大的剪力为 梁的切应力强度校核 A B q FS 图 M 图 由剪力图知，危险截面为A、B 截面，最大的剪力为 矩形截面的面积为 梁横截面上的最大切应力 以上两方面的强度条件均满足，所以此梁是安全的。

z y O 0.6 单位：m 0.4 0.3 2.4 A B 例4-30 简支梁由两根槽钢组成 ，受四个集中力作用，已知 F1 = 120 kN，F2 = 30 kN，F3 = 40 kN，F4 = 12 kN，梁的许用应力  = 170 MPa，  = 100 MPa 。试选择槽钢型号。 138 18 12 52 64 单位：kN 解：作剪力图和弯矩图 由正应力强度条件选择槽钢型号 由弯矩图知，最大弯矩为 梁的抗弯截面系数为 55.2 62.4 54 38.4 单位：kN .m

小于所需 Wz约 3% 。当此梁选用两根 20 a 号槽钢时，梁的最大正应力 每一根槽钢的抗弯截面系数为 查型钢表，选 20 a 号槽钢，其抗弯截面系数为 小于所需 Wz约 3% 。当此梁选用两根 20 a 号槽钢时，梁的最大正应力 超过许用正应力约 3% ，在工程上是允许的。 200 73 100 11 7 校核最大切应力 由剪力图 知，最大剪力为 根据 20 a 号槽钢截面简化后的尺寸，计算中性轴一侧的面积对中性轴的静矩

由型钢表查得 20 a 号槽钢的 Iz=1780 cm4。 梁是由两根槽钢组成 ， 故每一根槽钢分担的最大剪力为 根据切应力计算公式 选的 20 a 号工字钢满足切应力强度条件。 因而可用。

解：加强后的梁是阶梯状变截面梁。所以要校核 例4-31 简易起重设备中的吊车大梁，现因移动荷载 F 由 30kN 增加为 50kN ，故在 20 a 号工字钢梁的中段用两块横截面为120mm×10mm而长度 2.2mm 的钢板加强。加强段的横截面尺寸如图所示。已知许用弯曲正应力[s ] = 152 MPa, 许用切应力[t ] = 95 MPa 。试校核此梁的强度。 2.2m 1.4m F 2.5m 5m A B C D 200 z 220 120 10 解：加强后的梁是阶梯状变截面梁。所以要校核 F 位于跨中时跨中截面上的弯曲正应力 F 靠近支座时, 支座截面上的切应力 F 移至未加强的梁段在截面变化处的正应力

这里略去了加强板对其自身形心轴的惯性矩 。弯曲截面系数 2.2m 1.4m F 2.5m 5m A B C D 200 z 220 120 10 校核 F 位于跨中时截面时的弯曲正应力 最大弯矩值为 62.5kN·m 查型钢表得 20 a 工字钢 跨中截面对中性轴的 这里略去了加强板对其自身形心轴的惯性矩 。弯曲截面系数

校核突变截面 D 处的正应力，也就是校核未加强段的正应力强度 由弯矩图知，该截面上的弯矩为最大 F A B D 未加强段截面的抗弯截面系数由型钢表查得 这说明在未加强的部分，梁不能满足正应力强度条件，为此应将加强板适当延长 。 50.4 kN·m

校核此阶梯梁的切应力时，靠近支座的截面为不利荷载位置 梁的剪力图 E F A B 请同学们自行完成计算。 +

作业： 习题 4-32 习题 4-35

4.6 梁的合理设计 4.6.1 合理配置梁的荷载和支座，减小弯矩 按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强度条件 合理地设置支座位置 A B F/L Mmax = FL / 8 合理地设置支座位置 F/L Mmax =FL / 40 0.2L

合理地配置梁的荷载 F A B L/2 Mmax=FL / 4 F F/2 Mmax = FL / 8 L/4

4.6.2 合理选择截面形状 提高抗弯截面系数 当弯矩已定时，横截面形状，应使抗弯截面系数与面积之比尽可能地大。 矩形截面比方形截面好 4.6.2 合理选择截面形状 提高抗弯截面系数 当弯矩已定时，横截面形状，应使抗弯截面系数与面积之比尽可能地大。 z h b C a d 矩形截面比方形截面好 方形截面比圆形截面好

z z z 对矩形截面梁，横截面的正应力沿截面高度线性分布，当上下边缘的应力达到容许应力时，中性轴附近材料远比容许应力，没能充分发挥材料作用，若将这部分材料移到离中性轴较远处，就可极大地提高梁的承载能力。 工字形截面、槽形截面、T 形截面均比矩形截面好。

根据材料特性选择截面形状 对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用 T 字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。

选择放置方式 竖放比横放要好。

4.6.3 采用变截面梁 对于等截面梁，按强度条件只有Mmax截面上的最大正应力才达到[ ]，而其它截面上的最大正应力均没达到[ ]。 4.6.3 采用变截面梁 对于等截面梁，按强度条件只有Mmax截面上的最大正应力才达到[ ]，而其它截面上的最大正应力均没达到[ ]。 若采用变截面梁，使各截面上的最大正应力同时达到[ ]，此梁工程上称为等强度梁。 等强度梁的抗弯截面模量设计

变截面梁