第十章 估計

點估計與區間估計 點估計（point estimation）：根據樣本資料，求得一統計量的觀測值，作為參數（母數）的估計值。 推論統計的理論乃在根據樣本的訊息，猜測母體的特性或參數。主要 的推論型式是參數（母數）的估計與假設的檢定，參數的估計又可分 為 點估計（point estimation）：根據樣本資料，求得一統計量的觀測值，作為參數（母數）的估計值。 區間估計（interval estimation）：根據樣本資料，求得兩個數值，構成一個信賴區間（confidence interval，C. I.），概括出參數（母數）的可能範圍。 點估計之優點為算法簡單，意義簡單明瞭；但其缺點為無法判斷估計 結果的準確性，且其估計值會因樣本不同而有所差異。所以才會有區 間估計之推出。 假定，我們估計全體大學生平均每月可用零用金為5000元，那是點估 計，該估計為單一數值，可視為線上的一點；若我們估計全體大學生 平均每月可用零用金介於4000~6000元，那就是區間估計，因為涉及 兩點，可視為線上的一個區段。

母體平均數μ的估計 實務上，最常碰到對母體均數μ的估計。如：大學生的平均智商、平均 成績、平均身高、每月平均可用零用金、平均手機的使用月費；國民 平均所得、工廠的平均生產數量、百貨公司的平均營業額、每戶家庭 每月的平均支出、……。 估計母體平均數μ的方法可為：樣本中位數、中距（ ） 與平均數。其中，以樣本平均數為最優，因其具有不偏性與一致性， 且變方最小。

大樣本時 若樣本數n>30，則以其為μ的點估計。若樣本數n>30，且母體變異數 σ2已知，則以 為μ的100（1-α）%之信賴區間。 但實務上，母體變異數σ2通常未知，當樣本數n>30，可以樣本標準差 S來取代母體標準差σ。故以

而 即我們可容忍的誤差（e）。所以，我們於第四章計算樣本大小時，就是將 簡化成 來計算樣本數。 式中，Zα/2值可用Excel之NORMSINV()函數來求算（詳第三章之說明）， 其公式應為： =NORMSINV(1-α/2) 以α=0.05時為例，其Zα/2值為1.96：（詳範例Ch10.xlsx『依α査Z值』工作表）

未分組資料 若資料為未分組之數值資料，可直接以AVERAGE()與STDEV()來求 算樣本均數與標準差。續代入先前之 求得μ的點估計與信賴區間。 以範例Ch10.xlsx『飲料花費』工作表內容言，其飲料花費μ的點估計 為83.225元；μ的95%信賴區間為 即71.83～94.62元。我們可以說，有95%的信賴水準，母體（全體大 學生）的一週飲料花費會落在71.83～94.62元： 轉為媒體上所常用之口語，就是：此次調查之結果，全體大學生的一 週飲料平均花費為83.225元，於95%信賴水準之下，其誤差不會超過 ±11.39元。

其內，信賴區間之上下限的公式，於F12與G12分別為： 若依不同之顯著水準求算，其信賴區間分別為： α 信賴區間 0.10 75.20～92.54 0.05 73.54～94.20 0.01 70.30～97.44 可發現，顯著水準愈小（信賴水準愈大），信賴區間將愈大。 其內，信賴區間之上下限的公式，於F12與G12分別為： F12 =$F$2-NORMSINV(1-$E12/2)*$F$3/SQRT($F$4) G12 =$F$2+NORMSINV(1-$E12/2)*$F$3/SQRT($F$4) 然後，將F12:G12，抄給F13:G14即可。

馬上練習 以範例Ch10.xlsx『運動時間』工作表內容，求α=0.05時，大學生每 週運動時間之均數μ的點估計及其95%信賴區間。

馬上練習 續上題，求α=0.01、α=0.05與α=0.1時，運動時間之均數μ的信賴區間 分別為何？

信賴區間之範圍CONFIDENCE() CONFIDENCE(α,σ,n) CONFIDENCE(顯著水準,標準差,樣本數) 若處理對象為常態分配，母體標準差（σ）已知，其計算公式為： 實務上，很少會已知母體標準差，就以樣本標準差來替代。其計算公 式為： 故其μ的100（1-α）%之信賴區間為：

如範例Ch10.xlsx『直接以CONFIDENCE()求算飲料花費區間』工作表，其 資料內容同於前文『飲料花費』工作表。以AVERAGE()、STDEV()與 COUNT()求得均數、標準差與樣本數。然後，於F6再以 =CONFIDENCE(F5,F3,F4) 求信賴區間之範圍，可省去以=NORMSINV(1-α/2)計算Zα/2值之步驟。所求得 之95%信賴區間同樣為71.83～94.62：

馬上練習 依範例Ch10.xlsx『成績』工作表內容，求α=0.05時，成績均數μ的點 估計，並以CONFIDENCE()求其95%信賴區間。

分組資料 對問卷上，採用勾填某一區間所獲得之數字。如： 請問您整個家庭月所得狀況： □1. 5萬元以下 □2. 5至10萬元 □3. 10至15萬元 □4. 15至20萬元 □5. 20萬元以上 得將其轉為組中點（25000，75000，…，225000），再計算其均數、 變異數與標準差。然後，即可使用前文之相同公式來求其點估計及區 間估計。 以範例Ch10.xlsx『分組資料-所得』工作表之資料，其毎月所得之均 數μ的點估計為87500，其95%信賴區間為 87500 ± 11091.8 76408～98592

馬上練習 以範例Ch10.xlsx『分組資料--每月零用金』工作表內容，求每月零用 金之均數μ的點估計及其95%信賴區間。 毎月零用金之均數μ的點估計為5696，其95%信賴區間為4977.67～ 6413.64。

敘述統計 假定，以範例Ch10.xlsx『飲料花費-敘述統計』工作表之資料 擬使用『資料分析』之「敘述統計」，來計算飲料花費之各敘述統計 值。其處理步驟為： 切換到『資料』索引標籤, 點選『分析』群組『資料分析』指令按鈕, 於『分析工具』處選「敘述統計」

按 鈕 於『輸入範圍』處，以選取方式設定要處理之資料範圍（B1:B201） 於『分組方式』選「循欄」 點選「類別軸標記是在第一列上(L)」（因資料含『一週飲料花費』之字串標 記） 設定輸出範圍，本例安排於目前工作表之D1位置 點選「摘要統計(S)」 點選「平均數信賴度(N)」，設定「95%」

按 鈕結束，即可獲致詳細之相關統計數字。其內之『信賴度 （95%）』即容忍誤差，也就是本例之信賴區間應為 83. 225±11 按 鈕結束，即可獲致詳細之相關統計數字。其內之『信賴度 （95%）』即容忍誤差，也就是本例之信賴區間應為 83.225±11.46 與前文之 83.225±11.39 雖有些許誤差，但應是運算中小數點四捨五入所造成。

以資料庫統計函數求信賴區間 若要求以性別、部門、…等，分組後之母體均數的點估計與區間估計， 可使用DAVERAGE()、DSTDEV()與DCOUNT()統計函數，來依準 則求平均數、標準差與樣本數，然後即可使用前文相同之公式，來求 其母體均數μ之點估計及區間估計。 以範例Ch10.xlsx『依性別求飲料花費』工作表之資料言，其男/女之 母體均數μ及其95%信賴區間的估計值分別為： 組別 μ 95%信賴區間 男 93.29 72.93～113.65 女 77.44 63.80～91.00 全體 83.22 71.83～94.62 看起來，男性一週飲料平均費用要比女生高些，且因變異較大，其 95%信賴區間範圍也較大些。

馬上練習 依範例Ch10.xlsx『依性別求運動時間』工作表內容，計算出男/女性 及全體運動時間之母體均數μ及其95%信賴區間的估計值。

小樣本時 若母體為常態分配，樣本數n<30，仍以其為μ的點估計。若母體為常 態分配，樣本數n<30，且母體變異數σ2已知，則以 為μ的100（1-α）%之信賴區間。 但實務上，母體變異數σ2通常未知，當樣本數n<30，因為樣本太小， 樣本標準差S的變化會較大，就不可以樣本標準差S來取代母體標準差 σ。故以 為μ的100（1-α）%之信賴區間。

式中， 為查『附錄四 t方分配的臨界值』自由度為n-1時之t值。由於t 值比z值來得大，故所求得之估計區間會加大一點，可以確保原有的信賴度。 （以小樣本推估母體，本就較為不準，故得將估計區間放寬一點） 於Excel，t值可用TINV()函數來求算（詳下文說明），以n為11，自由度為 10（t分配之自由度為n-1），α=0.05時為例，其 值為2.228：（詳 範例Ch10.xlsx『t分配表』工作表）

假定，範例Ch10.xlsx『成績-小樣本』工作表內，A1:H9為全班之72人之成績 （母體），隨機抽取11人（加網底之儲存格），計算出其樣本均數（75.45）、 標準差（11.53）及其95%信賴區間： =75.45±7.74 =67.71～83.20 比於C17:C18以母體資料所計算出之73.32～79.57來得更寬，故更有把握母體 均數μ能有95%的信賴度可落在67.71～83.20：

t分配TDIST() TDIST(t,自由度,單尾或雙尾) TDIST(t,degrees_freedom,tails) 自由度（d.f.，degrees of freedom）是指一統計量中各變量可以自由 變動的個數，當統計量中每多一個限制條件（即，已知條件），自由 度就減少一個。（t分配之自由度為樣本數減1，n-1） 單尾或雙尾指定要傳回單尾或雙尾之累計機率值？為1，表傳回單尾之 累計機率值；為2，表傳回雙尾之累計機率值。 本函數在求：於某一自由度下之t分配中，求t值以外之右尾的總面積 （機率）。如為單尾，即求下圖之陰影部份：

如為雙尾，即求左右兩尾之陰影部份： t分配之圖形及機率值，將隨自由度不同而略有不同。以自由度為10之情況下， 不同t值所求得之單尾及雙尾累計機率分別為：（詳範例Ch10.xlsx『TDIST』 工作表）

t分配反函數TINV() TINV(累計機率,自由度) TINV(probability,degrees_freedom) 用以於已知自由度之t分配中，求某累計機率所對應之t值。此t為依雙 尾累計機率所求；若要求單尾之t值，得將累計機率乘以2。 由於t分配之圖形及機率值，將隨自由度不同而略有不同。範例 Ch10.xlsx『TINV』工作表，是以自由度為10之情況下，所求得之結 果。如：雙尾機率5%之t值為2.228，其求算之公式為： =TINV(5%,10) =TINV(G5,$B$1) 有了此函數，即可省去查t分配表之麻煩：

馬上練習 以範例Ch10.xlsx『t值』工作表內容，安排d.f.為1~15之情況下，單 尾機率為25%、10%、5%、2.5%、1%與0.5%之t值：

馬上練習 依範例Ch10.xlsx『外食費用-小樣本』工作表內容，計算大學生每月 在外面吃飯費用之母體均數μ及其95%信賴區間的估計值。 大學生每月在外面吃飯費用之均數為：6026.67，其95%信賴區間為： 4432.13～7621.20。

母體比例p的估計 實務上，也經常要估計母體比例p。如：估計平均失業率、產品不良率、 品牌佔有率、政策支持率、候選人支持率、政黨支持率、數位相機擁 有率、個人電腦擁有率、……。 若樣本數n>30，則以其樣本比率為母體比例p的點估計。母體比例p的 100（1-α）%之信賴區間為： 其中， 即我們可容忍的誤差（e）。所以，我們於第四章計算樣本大小時，就 是將其簡化成 來計算樣本數。

式中，Zα/2值可用Excel之NORMSINV()函數來求算，以α=0.05時為例，其 Zα/2值為1.96。 以範例Ch10.xlsx『政黨支持率』工作表之資料，調查1000位受訪者中有228 個支持執政黨，其樣本比率為22.8%，則母體比例p的95%之信賴區間為 20.20%～25.40%： =22.8%±2.60% =20.20%～25.40% 如果以口語化講，就是：此次調查民進黨的支持率為22.8%，在95%的信賴水 準下，調查的誤差不超過±2.60%。

馬上練習 以範例Ch10.xlsx『數位相機擁有率』工作表內容，求數位相機母體擁 有率p的點估計及其95%信賴區間。 此次調查位相機擁有率為33.7%，在95%的信賴水準下，調查的誤差 不超過±9.36%。

第十章 結束 謝謝！