幂函数 大连市第十六中学李秀敏

说 教 材

1、教材的地位和作用： 幂函数是人教版高中数学教材必修一的第三章《基本初等函数》第三节的内容。 通过本节课的学习，学生会理解并掌握幂函数这一基本函数模型，并在分析其性质的过程中，进一步理解函数思想,培养建模能力。 本节课是提升函数思想和理论的一个非常重要的版块。

2、教学目标： ⑴知识与技能目标： ①认识幂函数的概念，会画简单幂函数的图象。 ②结合学生已经熟悉的幂函数的图象，去分析理解并熟练掌握幂函数图象的变化特征和性质。

⑵过程与方法目标： ①通过观察图象总结幂函数的基本性质，培养学生的观察、发现能力和抽象概括能力。 ②进一步体会数形结合思想。

⑶情感、态度与价值观目标 ①通过生活实例引出幂函数概念，激发学生的学习兴趣，发展学生的应用意识。 ②让学生经历了尝试试验探索发现等从特殊到一般的探究过程，培养学生科学探究能力和创新精神。

3、教学重点与难点 ⑴教学重点：幂函数的定义、图象和性质。 ⑵教学难点：幂函数图象的位置和形状变化。 ⑶教学关键：借助研究函数图象特征发现幂函数有关性质。

说 教 法

教学中，我采用“创设情境-自主探究-合作交流-自我反思”的数学课堂教学模式，充分的启发学生、调动学生的参与积极性和主动性、充分开发学生的思维意识，去自主性学习。并在过程中适时有效地渗透数学思想方法，努力提高学生素质。

说 学 法

学生从自己熟知的生活实例去认识幂函数，借助于已有的数学经验去分析幂函数的图象和性质，通过学生自主学习、合作学习、探究学习，使学生经历从特殊到一般、尝试归纳等科学探究过程。

说 教 学 过 程

创设情境、导入新课 问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p = 元， 。 w 问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积 是S = ， 。 问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积是V = ， 。 问题4:如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a= ， 。 问题5：如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v = ， 。 w 这里p是w的函数 a² 这里S是a的函数 a³ 这里V是a的函数 S 这里a是S的函数 这里v是t的函数 t km/s

思 考 以上问题中的函数有什么共同特征？ y=x y=x2 y=x3 y=x-1 上述问题中涉及的函数，都是形如 的函数. （1）都是函数； （2）均是以自变量为底的幂； （3）指数为常数； （4）自变量前的系数为1； （5）幂前的系数也为1. 上述问题中涉及的函数，都是形如 的函数.

设计意图： 问题从学生已有的生活经验和数学经验出发，引导学生观察、发现所得到的函数解析式的共同特征，激起学生探究欲望，明确本课学习目标，导入新课。

尝试归纳、探究新知 函数 y = x 的图象和性质 定义域： 值 域： 奇偶性： 单调性：

函数y=x2的图象和性质 定义域： 值 域： 奇偶性： 单调性：

函数y=x－1的图象和性质 定义域： 值 域： 奇偶性： 单调性：

函数y=x3的图象和性质 定义域： 值 域： 奇偶性： 单调性：

函数y=x0.5的图象和性质 定义域： 值 域： 奇偶性： 单调性：

在同一直角坐标系作出 上述五个函数的图象: (-2,4) (2,4) (-1,1) (1,1) (-1,-1) 从图象能得出他们的性质吗?

几个幂函数的性质: 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 R 奇函数 增函数 (0,0),(1,1) 偶函数 非奇非偶 (1,1)

设计意图： 让学生经历从特殊到一般的探究过程，归纳总结出五个幂函数的基本性质，培养学生自主学习和初步掌握科学探究的基本方法，丰富和发展学生的数学活动经验。

类比联想、拓展探究 活动一 a < 0 a > 0 （1）图象都过（1，1）点； （1）图象都过（0，0）点和 （1，1）点； x y 1 y=x2 y=x3 y=x1/2 a > 0 活动一 x y 1 y=x-1 y=x-2 y=x-1/2 a < 0 （1）图象都过（0，0）点和 （1，1）点； （2）在第一象限内，函数值 随x 的增大而增大，即 在（0，+∞)上是增函 数. （1）图象都过（1，1）点； （2）在第一象限内，函数值随 x 的增大而减小，即在 （0，+∞）上是减函数. （3）在第一象限，图象向上与 y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近.

x 幂函数在第一象限的性质小结 y=x n>1 0<n<1 1 O (1) 图象必经过点（0 , 0）和（1 , 1）；

x 幂函数在第一象限的性质小结 y=x y 当 n < 0 1 O (1) 图象必经过点（1 , 1）； (1) 图象必经过点（1 , 1）； (2) 在第一象限内，函数值随着 x 的增大而减小 ; (3) 在第一象限内，图象向上与 y 轴无限地接近， 图象向右与 x 轴无限地接近 .

活动二

一般幂函数的性质: ★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1). ★幂函数的定义域、奇偶性，单调性，因函数式中a的不同而各异. ★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1). ★如果a>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数. ★如果a<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在(0,+∞) 上为减函数. ★当a为奇数时,幂函数为奇函数, ★当a为偶数时,幂函数为偶函数.

★幂指数的分母n为偶数时，图象只在第一象限； ★幂指数的分子m为偶数时， 图象在第一、第二象限关于y轴对称； ★幂指数的分子m、分母n都是奇数时， 图象在第一、第三象限 关于坐标原点对称。

设计意图： （1）设计层层递进的探究问题，学生在探究解答过程中知识、方法、思想被逐渐熟练与掌握，教师引导学生对上述探究问题进行归纳总结发现幂函数的基本性质。 （2）有利于学生掌握科学探究的基本方法。

运用新知、领悟本质 > > < < 例1、 比较大小： （2）0.71.5 0.61.5 （2）0.71.5 0.61.5 （4）0.15-1.2 0.17-1.2 > < > < 例2、求下列函数的定义域：

√ x x x √ 练 习 < > < < > > 1.判断下列函数哪些是幂函数： 练 习 1.判断下列函数哪些是幂函数： （1）y =5x （2）y =2x （3）y =x0.3 （4）y =x+1 （6）y =xx √ x X x x √ 2.用不等式填空： （2）0.0125___0.0115 ___ （4）1.01-0.5 ___1.001-0.5 ____ （6） ___ < > < < > >

设计意图： 设计从不同角度运用幂函数性质的层层递进的问题串，学生在解答这些问题串的过程中，知识、方法被逐渐掌握，教师引导学生对这些问题进行归纳总结，强化学生对数学本质的理解和掌握。

反思提炼、积累经验 本节知识结构: 幂函数 定义 五个特殊幂函数 图象 基本性质

设计意图： （1）引导学生梳理总结本课所学的知识、方法、蕴含的思想。 （2）引导学生提炼、总结、积累数学活动经验。

课后作业：分层作业 设计意图： （1）使学生巩固和发展课堂所学的知识、方法、思想。 （2）让能力不同的学生都获得相应的发展，从而实现真正的因材施教。

谢谢!