ZFC及选择公理 姜勇刚 李凯旭
康托的朴素集合论 把若干确定的、有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，其中各事物称为该集合的元素。
罗素悖论 罗素悖论：设集合S是由一切不属于自身的集合所组成 理发师悖论
公理化集合论 Ernst Zermelo Abraham Fraenkel
把若干确定的、有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，其中各事物称为该集合的元素。 没有把集合的概念加以限制 ZF 公理系统
从现有的集合论成果出发，反求足以建立这一数学分支的原则。这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾，另一方面，又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来”
外延公理 ？ 空集公理 无序公理 并集公理 ZF公理系统 幂集公理 无穷公理 分离公理模式 替换公理模式 正则公理
外延公理 外延公理（Axiom of extensionality）: 一个集合完全由它的元素所决定。如果两个集合含有同样的元素，则它们是相等的。
无序对公理 无序对公理（Axiom of pairing）: 任给两个集合x、y，存在第三个集合z，而w∈z当且仅当w=x或者w=y。
并集公理 并集公理（ Axiom of union）: 任给一集合x，可以把x的元素的元素汇集到一起，组成一个新集合。（对任意集合x，存在集合y，w∈y当且仅当存在z使z∈x且w∈z）。
幂集公理 幂集公理（ Axiom of power set ）： 任意的集合x，P(x)也是一集合（对任意集合x，存在集合y，使z∈y当且仅当对z的所有元素w，w∈x）。
无穷公理（ Axiom of infinity）：
分离公理 分离公理：“对任意集合x和任意对x的元素有定义的逻辑谓词P(z)，存在集合y，使z∈y当且仅当z∈x而且P(z)为真”。 Axiom schema of specification (also called the axiom schema of separation or of restricted comprehension) 用于构造集合，比如空集
替换公理 替换公理（Axiom schema of replacement）：对于任意的函数F(x)，对于任意的集合t，当x属于t时，F(x)都有定义（ZF系统中唯一的对象是集合，以F(x)必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合s，使得对于所有的x属于t，在集合s中都有一元素y，使y=F(x)。也就是说，由F(x)所定义的函数的定义域在t中的时候，那么它的值域可限定在s中。
正则公理 正则公理（ Axiom of regularity (also called the Axiom of foundation)）: 对任意非空集合x，至少有一元素y使x∩y为空集
选择公理
选择公理（ axiom of choice ）：对任意集c存在以c为定义域的选择函数g，使得对c的每个非空元集x，g(x)∈x。
每个集合元素个数有限 trivial
考虑实数的所有非空子集。这下怎么从每个非空子集中选一个元素呢……
选择公理（ axiom of choice ）：对任意集c存在以c为定义域的选择函数g，使得对c的每个非空元集x，g(x)∈x。
选择公理 良序公理 佐恩引理
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