第7章 耦合电感与理想变压器

第7章 耦合电感与理想变压器 7.1 互感 7.2 含有耦合电感电路的分析 7.3 空心变压器和理想变压器

本章要求: 1.掌握耦合电感元件的伏安关系； 2.直接列写方程法和去耦等效法分析计算耦合电感电路； 3.理解反映阻抗的概念及其应用于分析空心变压器电路； 4.掌握含有理想变压器电路的分析计算。

7．1 互感 耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。 中周线圈

半导体收音机用振荡线圈

小变压器 返 回 上 页 下 页

1 互感和互感电压 线圈1中通入电流i1时，在线圈1中产生的磁通Φ11称为自感磁通，Φ11与线圈1的N1匝交链，产生磁通链Ψ11称为自感磁通链；Φ11中的一部分或全部（互感磁通）与线圈2交链，产生磁通链Ψ21称为互感磁通链。两线圈间有磁的耦合。 当线圈周围无铁磁物质(空心线圈)时，11、21与i1成正比。 L1称为线圈1 的自感系数，单位为H（亨） M21称为互感系数，简称互感，单位为H（亨）

同样，线圈2中的电流i2也产生自感磁通链Ψ22和互感磁通链Ψ12。 L2为线圈2的自感系数 M12称为互感系数 可以证明：M12= M21= M。 当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和：

互感磁通链与自感磁通链方向一致时， M前取“+”号，称为同向耦合。表示自感方向的磁场得到加强（增磁） 耦合电感的符号 同名端：工程上将同向耦合状态下的一对施感电流（i1，i2）的入端（或出端）定义为耦合电感的同名端。 注意：线圈的同名端必须两两确定。

当耦合电感中的电流随时间变化时，磁通链将跟随电流产生变化。将在耦合电感中产生感应电压。设u1与i1，u2与i2为关联参考方向，则有 互感电压： 自感电压，当 u,i 取关联方向时，符号为正；否则，取负号 当耦合电感同向耦合（施感电流同时流进（或流出）同名端）时，则互感电压在KVL方程中与自感电压同号。

【例7.1】试写出如图所示各耦合电感元件的伏安关系。

【例7.1】试写出如图所示各耦合电感元件的伏安关系。

相量形式 用受控源表示

2. 耦合系数 用耦合系数k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。 k=1 称全耦合: 漏磁通 Φs1 =Φs2=0 满足： Φ11=Φ 21 ，Φ22 =Φ12 注意：耦合系数k与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关。

7.2 含有耦合电感电路的分析 耦合电感电路的分析依据仍然是两类约束关系，即KCL、KVL和元件的VCR。元件的VCR中应包括耦合电感的VCR。 方法： （1）直接列写方程法 （2）去耦等效法

1 直接列写方程法 该方法是不改变电路结构，直接对原电路列方程计算的方法。 注意： 一、含耦合电感电路具有含受控源电路的特点； 二、在耦合电感的电压中必须正确计入互感电压的作用； 三、只宜用回路电流法，不宜采用结点电压法，这是因为耦合电感所在支路的复导纳未知。

【例7.2】已知电路中L1＝1H，L2＝4H，R1＝1kΩ，R2＝2 kΩ，耦合系数k＝0.5， ，求电流i。 解：先求互感系数 对电路列写KVL方程，得

2 去耦等效法 1）耦合电感的串联及其去耦等效 ①顺接连接 2 去耦等效法 该方法是先画出耦合电感电路的去耦等效电路。在正弦稳态情况下，对所得的去耦等效电路可按一般交流电路来列方程。 下面讨论两个耦合电感的串联、并联和T型连接电路的去耦等效电路。 1）耦合电感的串联及其去耦等效 去耦等效电路 ①顺接连接

②反接连接 互感不大于两个自感的算术平均值。

2）耦合电感的并联及其去耦等效 ①同侧并联 去耦等效电路

①异侧并联 去耦等效电路

* 3.耦合电感的T型等效 同名端为共端的T型去耦等效 j M 2 1 2 1 j(L2-M) j(L1-M) jL1 jL2

* 异名端为共端的T型去耦等效 j M 2 1 jL1 jL2 3 2 1 j(L2+M) j(L1+M) -jM 3

结论：如果耦合电感的两条支路各有一端与第3支路形成一个仅含3条支路的共同结点，则可用3条无耦合的电感支路等效替代，3条支路的等效电感分别为 （1）支路3电感L3＝±M（同侧取“＋”，异侧取“－”）。 （2）支路1电感 ，支路2电感 ，M前所取符号与L3中的符号相反。等效电感与电流参考方向无关，这3条支路中的其他元件不变。

解：先画出去耦等效电路。 【例7.3】已知图示电路R1＝4Ω，R2＝6Ω，ωL1＝8Ω，ωL2＝13Ω，ωM＝9Ω，电压 ，求各支路的电流及线圈1、2的复功率 解：先画出去耦等效电路。

R1＝4Ω，R2＝6Ω

求复功率 复功率平衡

小结： 有互感电路的计算 在正弦稳态情况下，有互感的电路的计算仍应用前面第5、6章介绍的相量分析方法。 注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感电压：（可先去耦，画等效去耦电路，再做分析） 一般采用支路法和回路法计算。

7.3 空心变压器和理想变压器 1 空心变压器 变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈接向电源，另一线圈接向负载，变压器是利用互感来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。当变压器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器。 次级线圈 i1 初级线圈 i2  1 1' 2 2' ZL

1）空心变压器的电路分析 * j L1 j L2 j M + – R1 R2 方程法分析和等效电路法 应用KVL得方程 初级回路： ZL=RL+jXL 方程法分析和等效电路法 应用KVL得方程 初级回路： 次级回路： 令 ：初级回路自阻抗 ：次级回路自阻抗

反映阻抗： 初级的等效电路 次级的等效电路

对含有空心变压器电路的分析既可以采用列KVL方程分析，也可采用初级、次级等效电路来分析。 【例7.4】如图7-9所示空心变压器电路，已知L1=3.6H，L2=0.06H，M=0.465H，R1=20Ω，R2=0.08Ω，RL=42Ω，ω=314rad/s， ，求初级、次级电流。 解：采用初级、次级等效电路来分析

反映阻抗： 初级的等效电路

反映阻抗： 次级的等效电路

* j L1 j L2 j M + – R1 R2 j M j L1 j L2 + – R1 R2 去耦等效法分析 对含互感的电路进行去耦等效，再进行分析。 * j L1 j L2 j M + – R1 R2 ZL=RL+jXL j M j L1 j L2 + – R1 R2 ZL=RL+jXL

理想变压器也是一种耦合元件，它是从实际变压器抽象出来的。理想变压器必须满足三个条件： 2 理想变压器 理想变压器也是一种耦合元件，它是从实际变压器抽象出来的。理想变压器必须满足三个条件： （1）无损耗，即： （2）全耦合，即耦合系数k＝1； （3）参数无穷大： 但 以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实际工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理想变压器对待，可使计算过程简化。

理想变压器电路模型 i1 i2 ： n 1  u1 u2  N1 N2 理想变压器的电路模型 N1  原边的匝数  理想变压器的变比

（1）变压关系 N1 N2   i1 u1 u2 i2 n 1 ： ， 全耦合 磁通： 若 N1 N2   i1 u1 u2 i2

（2）变流关系 N1 N2   i1 u1 u2 i2 n 1 ： L1 L2   i1 u1 u2 i2 M 理想化条件： 又

若i1、i2一个从同名端流入，一个从同名端流出，则有： 注意： 若i1、i2一个从同名端流入，一个从同名端流出，则有： N1 N2   i1 u1 u2 i2 n 1 ： （3）变阻抗关系 n2ZL + – N1 N2   n 1 ： ZL n2ZL即为副边折合至原边的等效阻抗。

理想变压器的阻抗变换性质只改变阻抗的大小，不改变阻抗的性质。 i1 R 1′ 2′ 1 2 n 1   i1 u1 u2 i2 ： R11′= n2R   u1 n2R L 1′ 2′ 1 2 n 1   i1 u1 u2 i2 ： L11′= n2L   i1 u1 n2L C 1′ 2′ 1 2 n 1   i1 u1 u2 i2 ： 1′ 1   i1 u1 — C 1 n2 C11′= — C 1 n2

在电子技术中利用理想变压器的阻抗变换特性来实现阻抗匹配达到最大功率传输。 【例7.5】图示理想变压器电路，已知 ， 。（1）当 时，求RL获得的功率； （2）当 时，RL可获得最大功率，最大功率为多少？ 解：将RL等效到初级回路，其中

（2）欲使RL获得最大功率，则应使 最大功率为