第六章 狭义相对论 (4) §6.3 相对论理论四维形式 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2015年12月18日 《电动力学》第28讲 第六章 狭义相对论 (4) §6.3 相对论理论四维形式 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2015年12月18日 山东大学物理学院 宗福建

相对论的基本原理 在总结新的实验事实之后，爱因斯坦（Einstein）提出了两条相对论的基本假设： （1）相对性原理 所有惯性参考系都是等价的。物理规律对于所有惯性参考系都可以表为相同的形式。也就是不论通过力学现象，还是电磁现象，或其他现象，都无法觉察出所处参考系的任何“绝对运动”。相对论原理是被大量事实所精确检验过的物理学基本原理。 （2）光速不变原理 真空中的光速相对于任何惯性系沿任意方向恒为c，并与光源运动无关。 山东大学物理学院 宗福建

洛伦兹变换 洛伦兹变换 山东大学物理学院 宗福建

上一讲复习 速度变换公式 由洛伦兹变换式可以推出相对论的速度变换公式，设物体相对于Σ的速度 山东大学物理学院 宗福建

上一讲复习 6. 速度变换公式 山东大学物理学院 宗福建

上一讲复习 6. 速度变换公式 反变换式为 山东大学物理学院 宗福建

上一讲习题解答 4. 一辆以速度v运动的列车上的观察者，在经过一高大建筑物时，看见其避雷针上跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线上的两铁塔，求车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差。设建筑物及两铁塔都在一直线上，与列车前进方向一致。铁塔到建筑物的地面距离已知都是l0。 山东大学物理学院 宗福建

上一讲习题解答 [解] 取静止系Σ，随列车运动系Σ ‘， 列车经过一高大建筑物时避雷针上跳起一脉冲点火花，选此时为事件0，Σ（0，0），Σ ‘（0，0） 则，静止系Σ上 事件1，后面的铁塔被电光照亮，时空坐标为： 静止系Σ上 事件2，前面的铁塔被电光照亮，时空坐标为： 山东大学物理学院 宗福建

上一讲习题解答 所以随列车运动系Σ‘ 山东大学物理学院 宗福建

本讲主要内容 三维空间的正交变换 物理量按空间变换性质的分类 洛伦兹变换的四维形式 四维协变量 物理规律的协变性 山东大学物理学院 宗福建

二维空间的正交变换 设坐标系Σ‘相对于坐标系Σ转了一个角θ 设平面上一点P的坐标 在Σ系为x，y； 在Σ'系为x' , y'。 新旧坐标之间有变换关系 OP长度平方为 山东大学物理学院 宗福建

二维空间的正交变换 山东大学物理学院 宗福建

二维空间的正交变换 设坐标系Σ‘相对于坐标系Σ转了一个角θ 设平面上一点P的坐标 在Σ系为x，y； 在Σ'系为x' , y'。 山东大学物理学院 宗福建

三维空间的正交变换 Σ系的直角坐标为（x1 , x2 , x3），Σ‘系的直角坐标为（x1’ , x2‘ , x3’）。三维坐标线性变换一般具有形式 坐标系转动时距离保持不变，应有 山东大学物理学院 宗福建

三维空间的正交变换 设υ为三维空间任意矢量。υ在Σ系中的分量为υx , υy , υz ；在Σ‘系中的分量为υx’，υy‘，υz‘ 。任意矢量的变换与坐标变换具有相同形式，这些分量有变换关系, 山东大学物理学院 宗福建 15

三维空间的正交变换 Σ系的直角坐标为（x1 , x2 , x3），Σ‘系的直角坐标为（x1’ , x2‘ , x3’）。三维坐标线性变换一般具有形式 在一般情形中，当公式中出现重复下标时（如上式右边的j），往往都要对该指标求和。以后为了书写方便起见，我们省去求和符号。除特别申明外，凡有重复下标时都意味着要对它求和。这是现代物理中通用的约定，称为爱因斯坦求和约定。 山东大学物理学院 宗福建

三维空间的正交变换 由此，变换式可简写为 正交条件是 引入符号δij，定义为 则， 山东大学物理学院 宗福建

三维空间的正交变换 山东大学物理学院 宗福建 18

物理量按空间变换性质的分类 我们知道物理量可以分为标量、矢量、张量等类别，这种分类是根据物理量在空间转动下的变换性质来规定的。 标量 有些物理量在空间中没有取向关系，当坐标系转动时，这些物理量保持不变。这类物理量称为标量。如质量、电荷等都是标量。 设在坐标系Σ中某标量用u表示，在转动后的坐标系Σ’ 中用u’表示。由标量不变性有 u’ = u 山东大学物理学院 宗福建

物理量按空间变换性质的分类 矢量 有些物理量在空间中有一定的取向性，这种物理量用三个分量表示，当空间坐标按公式作转动变换时，该物理量的三个分量按同一方式变换。这类物理量称为矢量。 例如速度、力、电场强度和磁场强度等都是矢量。 有些微分算符以具有矢量的性质。例如▽算符，它在Σ系中的分量为∂/∂xi，在Σ ‘系中的分量为∂/∂x’i。根据微分公式有 山东大学物理学院 宗福建

物理量按空间变换性质的分类 二阶张量 有些物理量显示出更复杂的空间取向性质。这类物理量要用两个矢量指标表示，有9个分量。当空间转动时，其分量Tij按以下方式变换 具有这种变换关系的物理量称为二阶张量。例如应力张量，电四极矩等都是二阶张量。 山东大学物理学院 宗福建

物理量按空间变换性质的分类 二阶张量 山东大学物理学院 宗福建

物理量按空间变换性质的分类 二阶张量 山东大学物理学院 宗福建

物理量按空间变换性质的分类 二阶张量 山东大学物理学院 宗福建

物理量按空间变换性质的分类 若Tij对指标i，j对称Tij = Tji ，则变换后的张量仍然是对称的。同样，反对称张量Tij = −Tji变换后保持反对称性。 张量之迹Tii是一个标量 山东大学物理学院 宗福建

物理量按空间变换性质的分类 因此，二阶张量可以分解为三个部分： 迹 Tii ， 无迹对称张量 Tij = Tji，Tii = 0 , 山东大学物理学院 宗福建

洛伦兹变换的四维形式 洛伦兹变换是满足间隔不变的四维时空线性变换。如果形式上引入第四维虚数坐标 则间隔不变性可写作 山东大学物理学院 宗福建

洛伦兹变换的四维形式 以后在下角指标中用拉丁字母代表1-3，希腊字母代表1-4，间隔不变式可写为 洛伦兹变换是满足间隔不变性的四维线性变换 由此，洛伦兹变换形式上可以看作四维空间的“转动”，因而三维正交变换的关系可以形式上推广到洛伦兹变换中去。 山东大学物理学院 宗福建

洛伦兹变换的四维形式 沿x轴方向的特殊洛伦兹变换的变换矩阵为 山东大学物理学院 宗福建

洛伦兹变换的四维形式 沿x轴方向的特殊洛伦兹变换的变换矩阵为 山东大学物理学院 宗福建 30

洛伦兹变换的四维形式 逆变换矩阵为 山东大学物理学院 宗福建

洛伦兹变换的四维形式 逆变换为 山东大学物理学院 宗福建

四维协变量 在四维形式中，时间与空间统一在一个四维空间内，惯性参考系的变换相当于四维空间的“转动”。由于物质在时空中运动，描述物质运动和属性的物理量必然会反映出时空变换的特点。把三维情形推广，我们也可以按照物理量在四维空间转动（洛伦兹变换）下的变换性质来把物理量分类。 在洛伦兹变换下不变的物理量称为洛伦兹标量或不变量。 山东大学物理学院 宗福建

四维协变量 具有四个分量的物理量Vμ，如果它在惯性系变换下与坐标有相同变换关系，它就成为四维矢量。 满足变换关系的物理量Tμν称为四维张量。 这些物理量（标量、矢量和各阶张量）在洛伦兹变换下有确定的变换性质，称为协变量。 山东大学物理学院 宗福建

四维协变量 例如间隔 为洛伦兹标量。 固有时 也是洛伦兹标量。 山东大学物理学院 宗福建

四维协变量 因物体的位移dxμ为四维矢量，dτ为标量，所以 是一个四维矢量。这个四维矢量称为四维速度矢量。而通常意义下的速度是 （下角指标用拉丁字母表示由1-3。）ui不是四维矢量的分量。因为当坐标系变换时，dxi按四维矢量的分量变换，但dt亦发生改变，因此ui就不按矢量方式变换。 山东大学物理学院 宗福建

四维协变量 因为 所以四维速度的分量是 Uμ的前三个分量和普通速度联系着，当υ << c时即为u，因此Uμ称为四维速度。参考系变换时，四维速度有变换关系 山东大学物理学院 宗福建

四维协变量 山东大学物理学院 宗福建

四维协变量 山东大学物理学院 宗福建

四维协变量 山东大学物理学院 宗福建

四维协变量 山东大学物理学院 宗福建

四维协变量 山东大学物理学院 宗福建

四维波矢量 设有一角频率为ω，波矢量为k的平面电磁波在真空中传播。在另一参考系Σ'上观察，该电磁波的频率和传播方向都会发生改变（多谱勒效应和光行差效应）。以ω'和k'表示Σ'上观察到的角频率和波矢量。现在我们研究k和ω如何变换。 山东大学物理学院 宗福建

四维波矢量 我们知道，计算辐射场的基本公式是推迟势公式 若电流J是一定频率的交变电流，有 山东大学物理学院 宗福建

四维波矢量 电磁波的相位因子是 在另一参考系观察的相位因子是 山东大学物理学院 宗福建

四维波矢量 设参考系Σ和Σ’的原点在时刻t=t’=0重合， 在该时刻位相 Φ=Φ’=0，取此事件为第1事件。 在参考系Σ上n个周期后，第n个波峰通过原点， Φ=-2nπ,取此事件为第2事件。 因为某个波峰通过某一时空点是一个物理事件，而位相只是计数问题，不应随参考系而变。 相位是一个不变量。 山东大学物理学院 宗福建

四维波矢量 我们知道x与ict合为四维矢量xμ，因此，若k与iω /c合为另一个四维矢量kμ，它们按四维矢量方式变换，有 我们得到一个四维波矢量 山东大学物理学院 宗福建

四维波矢量 山东大学物理学院 宗福建

四维波矢量 山东大学物理学院 宗福建

四维波矢量 设波矢量k与x轴方向的夹角为θ，k’与x轴方向的夹角为θ’，有 这就是相对论的多普勒效应和光行差公式。 山东大学物理学院 宗福建

四维波矢量 若Σ'为光源的静止参考系，则ω' = ω0，ω0为静止光源的辐射角频率。有 这就是相对论的多普勒效应。 山东大学物理学院 宗福建

四维波矢量 在垂直于光源运动方向观察辐射时，经典公式给出ω = ω0 ，而相对论公式给出 即在垂直与光源运动方向上，观察到的辐射频率小于静止光源的辐射频率。这现象称为横向多谱勒效应。横向多谱勒效应为Ives-Stilwell实验所证实，它是相对论时间延缓效应的证据之一。 山东大学物理学院 宗福建

四维波矢量 设在参考系Σ上观察,由光源辐射出的光线在xy面上,在x轴有夹角θ,则 设Σ '系相对与Σ以速度υ沿x轴方向运动,在Σ '系上观察到光线与x'轴有夹角θ’ , 山东大学物理学院 宗福建

四维波矢量 光行差较早为天文观察所发现（Bradley于1728年）。地球相对于太阳参考系Σ的运动速度为υ，在Σ上看到某恒星发出的光线的倾角为α = π − θ，在地球上用望远镜观察该恒星时，倾角变为α '= π − θ '。由于υ << c， 山东大学物理学院 宗福建

四维波矢量 光行差较早为天文观察所发现（Bradley于1728年）。地球相对于太阳参考系Σ的运动速度为υ，在Σ上看到某恒星发出的光线的倾角为α = π − θ，在地球上用望远镜观察该恒星时，倾角变为α '= π − θ '。由于υ << c， 由于地球绕太阳公转，一年之内地球运动速度的方向变化一个周期，因此，同一颗恒星发出的光线的表现方向亦变化一个周期。天文观测证实了这种周期变化，并且由光线表现方向的改变比较准确的导出光的传播速度。 山东大学物理学院 宗福建

物理规律的协变性 如果一个方程的每一项属于同类协变量，在参考系变换下，每一项都按相同方式变换，结果保持方程形式不变。在参考系变换下方程形式不变的性质称为协变性。相对性原理要求一切惯性参考系都是等价的。在不同惯性系中，物理规律应该可以表为相同形式。如果表示物理规律的方程式协变的话，它就满足相对性原理的要求。 山东大学物理学院 宗福建

物理规律的协变性 设某方程具有形式 其中Fμ和Gμ都是四维矢量。在参考系变换下，有 山东大学物理学院 宗福建

课下作业 课下作业： 无 山东大学物理学院 宗福建