具有幂条件的矩阵类的研究与Jordan标准形 杨忠鹏 陈梅香

一、问题的来源 1. 教学 2. 学生毕业论文选题 3. 考研试题

二、问题的内容 1. 若A2=A，则称A为幂等矩阵。 近年来，J.koliha[1] 和 Y.Tian[2,3]等一批学者对幂等矩阵的性质进行了深刻的研究，他们探讨了两个幂等矩阵的和、差、乘积、换算子、线性组合的等一系列的秩等式关系，并得到了在约束条件 下幂等矩阵的线性组合的可逆性与组合系数a,b选择无关的结果。 1. 若A2=A，则称A为幂等矩阵。

2.若 A3=A，称 A为三幂等矩阵。 文献[5]研究了幂等矩阵与三幂等矩阵线性组合的幂等性. 文献[6]利用秩的恒等式来判定矩阵的幂等、3幂等或m幂等性. 文献[7]讨论了三个两两可交换的三幂等矩阵的线性组合的可 逆性.

m幂等矩阵的研究引起很多人的关注： 文献[8-10]讨论了m幂等矩阵的线性组合的幂等性, ［11，12］研究了m幂等矩阵的一些代数性质.

　　由上可以看出，具有幂条件的矩阵形式多样，可否有一个统一的形式？

三 问题的解决

定义1与[13]的(m,l)幂等矩阵的规定相同，[13]还研究了(m,l)幂等矩阵性质与判定，如：

这说明作为本质(m,l)幂等矩阵判定的充分必要条件的命题2和3都不成立 这说明作为本质(m,l)幂等矩阵判定的充分必要条件的命题2和3都不成立.[15]应用最小多项式来刻划本质(m,l)幂等矩阵的两个充要条件都是不成立的.出现问题主要原因，可能在于没有从内部结构上把握这类矩阵特点. 从[16，命题5]和[15,定理7]可得应用矩阵秩的恒等判定(m,l)幂等矩阵的充要条件.事实上，要得到为本质(m,l)幂等矩阵的结果，与[14-16]相比不仅要求Am=Al，还要证明m是这个等式成立的最小正整数.

由[14,引理2.1]知A∈Fn×n的幂等性与数域的扩大无关, 因此问题可归结为A在复数域上的Jordan标准形的幂等性.这样 总设A∈Cn×n，满足

我们在[18]中应用矩阵A∈C n×n的Jordan标准形得到了 本质(m,l)幂等矩阵的特征刻画. 作为应用，可给出本质m对合、 本质m幂等矩阵的充要条件.

四、进一步的讨论 在[19]、[20]和[11]等关于含幺结合环上的k次幂等矩阵正交 与代数等价的讨论基础上，最近[12]研究了数域F上的相关情况， 使得讨论深入到了特征多项式和特征值等矩阵理论的核心问题。

我们在文献[22]中应用数域上(m,l)幂等矩阵与m幂等矩阵的 关系，得到了数域上(m,l)幂等矩阵的l次方幂的代数等价、相似 和特征多项式相等是互为确定的结论。

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Jordan标准形的内容与相应的空间分解是高等代数课程中 研究线性空间结构理论的最高境界与最优美的结论。 　　　　　　　　　　——————《高等代数思想与方法》

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