第七章 平面电磁波的反射和折射, 导行电磁波 §7.1 平面波对平面边界的垂直入射 §7.2 平面波对多层边界的垂直入射 §7.1  平面波对平面边界的垂直入射   §7.2  平面波对多层边界的垂直入射  §7.3  沿任意方向传播的平面波  §7.4  平面波对理想导体的斜入射  §7.5  平面波对理想介质的斜入射  §7.6  全折射和全反射  §7.7  传输系统中的导行波  §7.8  矩形波导  §7.9  谐振腔

§7.1 平面波对平面边界的垂直入射 一、 概念 入射波：投射到分界面上的波。 反射波: 从分界面返回，与入射波在同一媒质中传播的波。 §7.1 平面波对平面边界的垂直入射 一、 概念 入射波：投射到分界面上的波。 反射波: 从分界面返回，与入射波在同一媒质中传播的波。 透射波：进入分界面另一侧传播的波。 垂直入射: 入射波的传播方向与分界面的法线平行。 反射波与折射波的特性由分界面两侧媒质的参数确定。

二、平面波对理想导体表面的垂直入射 入射波: 反射波: 在介质空间内任一点的电场： 边界条件：理想导体表面上电场强度切向分量为零。 时

反射波电场可表示为： 相应的反射波磁场为： 在 的空间内，合成电场强度和磁场强度分别为： 瞬时形式为：

当 时，即 波节点：在任意时刻，电场强度的值总为零的点。 当 时，即 波腹点：任意时刻，电场强度的值为最大的点。

驻波：这种波节点和波腹点位置固 定的波称为驻波。 纯驻波：节点处值为零的驻波称为 纯驻波。 平均坡印廷矢量 在纯驻波情况下，只有电能和磁能的相互交换而无能量传输。

图7-3 驻波和行驻波的电磁场振幅分布

三、对理想介质的垂直入射 入射波表示为： 反射波表示为： 透射波表示为： 根据边界条件： 在 处有：

则： 解得： 反射系数 ：分界面上反射波电场强度与入射波电场强度之比。 令： 透射系数 ：分界面上透射波电场强度与入射波电场强度之比。 与 之间的关系为： 反射波为： 透射波为：

①区中任一点的合成电场强度和磁场强度可表为 ②区中任一点的电场强度和磁场强度分别为 在介质1中，平均坡印廷矢量为： 在介质2中，平均坡印廷矢量为：

无耗介质中无能量的损耗： 说明：入射、反射和透射能量三者之间符合能量守恒规律。 入射波向z方向传输的平均功率密度为 反射波的平均功率密度为

§7.2 平面波对多层边界的垂直入射 在工程实际中，多层介质的应用很广：如雷达罩、频率选择表面、吸波涂层等。 入射波 透射波 反射波

① 区:

② 区: ③ 区: 在z=0处有 二式相除知

z=0边界处的反射系数如下: 在z = -d处： 二式相除得 ηd是z=-d处的切向电场和切向磁场之比, 称为z=-d处的等效波阻抗 其中：

由式(7-21)得 z = -d 处的反射系数为 结论： 一定厚度的介质插入另两种介质中间，可起到阻抗变换作用。 引入等效波阻抗ηd后, 对①区的入射波来说, ②区和后续区域的效应相当于是接一个波阻抗为ηd的媒质。

§7.3 沿任意方向传播的平面波 电场强度复矢量可简单地表示为 §7.3 沿任意方向传播的平面波 电场强度复矢量可简单地表示为 波的等相面是z=const.的平面, 垂直于z向, 设等相面上任意点P(x, y, z)的位置矢量(矢径)为 , 则它相对于原点的相位 。 因而P点的电场矢量也可表示为

实际上, 由图直接可得 。 这样, P点的电场矢量可表示为 则

在无源区, 麦氏方程组(6-17)化为 即

§7.4 平面波对理想导体的斜入射 一、 概念 斜入射: 电磁波的入射方向与分界面的法线有一定夹角的 入射方式。 §7.4 平面波对理想导体的斜入射 一、 概念 分界面 入射面 斜入射: 电磁波的入射方向与分界面的法线有一定夹角的 入射方式。 入射面：均匀平面波的传播方向与分界面法线所构成的平面。

反射角：反射波的传播方向与分界面法线的夹角。 入射面 折射角：透射波的传播方向与分界面法线的夹角。 入射角：入射波的传播方向与分界面法线的夹角。 垂直极化波：电场强度垂直于入射面的波。 平行极化波：电场强度平行于入射面的波。

二、垂直极化波的斜入射 1、入射波 电场强度表示为： 其中：

（2）反射波 电场强度为： 其中：

若为理想导体, 其内部无电磁场。根据理想导体表面切向电场为零的边界条件, 入射角等于反射角 （3）折射波 电场强度为： 折射波电场强度为：

图 7-8 垂直极化波斜入射的合成电场

反射定律 在z=0的分界面上，边界条件为： 对任意x值成立，当x=0时： 由于 欲使上式对任意x都成立，则有 斯涅耳反射定律:入射角等于反射角。

折射定律 由： 得： 该式称为斯涅耳折射定律。 、 分别为均匀平面波在介质1和介质2中的波速。 对非铁磁性材料有： 所以：

7.4.2 平行极化波的斜入射 入射场: 反射场:

由于②区为理想导体, 其内部无交变电磁场。 由z=0处边界条件知 即 上式要求两个项的相位因子相等, 故有θi=θr=θ1, 并得 即

于是得①区入射场和反射场的合成场分量为 可见,合成场在z向是驻波, 沿x向为行波。因此在z向只有虚功率而沿x向有实功率流。它在传播方向 上有电场分量Ex, 但磁场仍只有横向分量Hy, 故称之为横磁波,记为TM波或E波。如果在z=-nλ1/2cosθ1处(例如n=1)放置一无限大理想导电平板, 由于此处Ex=0, 它不会破坏原来的场分布。

例7.5 一均匀平面波由空气斜入射至理想导体表面, 如图7-10所示。入射电场强度为 试求: (1) 常数a, 波长λ, 入射波传播方向单位矢量 及入射角θ1; (2) 反射波电场和磁场; (3) 入射波和反射波各是什么极化波。

图 7-10 圆极化波的斜入射

［解］ (1) 入射波传播矢量为

(2) 反射波传播方向单位矢量为 故反射波传播矢量为 相应地反射波电场也有两部分:

故

(3) 参看图7-10, 入射波的. 分量引前. 分量90°且大小相等(均为 ）, 故为左旋圆极崐化波; 反射波的. 分量落后 (3) 参看图7-10, 入射波的 分量引前 分量90°且大小相等(均为 ）, 故为左旋圆极崐化波; 反射波的 分量落后 分量90°且大小相等, 它是右旋圆极化波。 可见, 经导体平面反射后, 圆极化波的旋向改变了。

§7.5 平面波对理想介质的斜入射 7.5.1 相位匹配条件和斯奈尔定律 图 7-11 平面波的斜入射

入射波、 反射波和透射波的传播矢量可表示为 式中

三种波的电场强度复矢量可写为 根据边界条件, 分界面(z=0)两侧电场矢量的切向分量应连续, 故有 式中上标tg表示切向分量。此式对分界面上任意一点都成立, 因而有 (7-59)

由于式(7-59)对不同的x和y均成立, 必有 取入射面为y=0平面, 即入射线位于xoz面内。应用式(7-60a)和式 由此

这说明, 反射线和折射线也位于入射面(xoz面)内。 于是有(参看图7-11) (7-64) 由上式第一等式得

式(7-64)的后一等式给出(令θt=θ2) 当μ1=μ2即有 (7-66b) 它就是光学中的斯奈尔(snell)折射定律, 它说明折射角正弦与入射角正弦之比等于介质1与介质2的折射率之比。 这里基于电磁场边界条件导出了与光学中完全相同的反、折射定律。这是光波为电磁波的又一佐证。

例 7.6 地球上空的电离层分布如图7-12所示, 图中崐也示出了夏季白天电离层电子密度N与高度h的关系。电子密度有4个最大值, 每一最大值所在的范围称为一层, 由下而上依次称为D、E、F1和F2层。 (1) 试利用折射定律说明电磁波在其中的传播轨迹, 并导出电磁波从电离层反射回来的条件。 (2) 设F2层的最大电子密度为Nmax= 2×1012(电子数/m3), 求电离层反射的最高频率。

图 7-12 电离层分布及对电磁波的反射

［解］ (1) 电离层每一层中电子密度都是随高度变化的。 我们可把它处理成由许多具有不同电子密度的薄层组成。 每一薄层中电子密度可认为是均匀的, 设由下而上依次为N1, N2, …, Nm,如图7-13所示, 且0＜N1＜N2＜ … ＜Nm。由式(6-77)知, 第i层对频率为f的电磁波的折射率为 因此 1＞n1＞n2＞ … ＞nm 。 把折射定律(7-66b)应用于薄层界面, 得

从而有 当θm=90°, 由上面的公式知 (7-67) 这正是频率f、入射角θ0的电磁波从电离层反射回来的条件。我们看到, 若θ0一定, 则f越高, 要求Nm越大。当Nmax小于该值时, 电磁波不能反射回来, 而要穿透这一层进入更上一层, 或穿透大气层一去不返。

(2) 式(7-67)也表明, 若f一定, 则θ0越小, 反射条件要求的Nm越大。因此电离层能反射的最高频率对应于θ0=0而Nm=Nmax时, 即 该频率称为电离层的临界频率。对本题, 代入Nmax值得fP = 12.7 MHz。这属于短波波段, 因此频率更高的微波都不会被电离层反射而能穿透大气层, 从而可用来进行地球的星际通信和卫星广播等。

7.5.2 菲涅耳公式 图 7-14 两种极化波对理想介质平面的斜入射

1. 垂直极化波 入射场: 反射场:

于是有折射场: 根据边界条件, 在z=0平面上①区的合成电场强度切向分量(y分量)应与②区电场强度切向分量相等, 同时①区和②区的磁场强度切向分量(x分量)也相等。

因有相位匹配条件 k1 sinθ1 = k2 sinθ2, 上二式化为 式中

这里已设 (7-71b)

2. 平行极化波 入射场: 反射场:

折射场:

联立此二式得 式中 (7-75a)

例 7.7 均匀平面波自空气斜入射于εr = 2.25的理想介质平面, 试求分界面上单位面积的反射功率百分比γ和透射功率百分比τ。 ［解］ 设分界面法向单位矢量为 , 则得

对垂直极化波和平行极化波, 利用式(7-71)和式(7-75)后, 有

图 7-15 n1=1, n2=1.5时的反射功率百分比γ和透射功率百分比τ

§7.6 全折射和全反射 7.6.1 全折射 (7-79) 代入菲涅耳公式(7-75a)得 (7-80)

可见, Γ∥ = 0发生于

得 此角度称为布儒斯特角(Brewster angle), 记为θB。当以θB角入射时, 平行极化波将无反射而被全部折射。对图7-15情况有 对于垂直极化波, 将式(7-79)代入式(7-71a)得 (7-82)

Γ⊥ = 0发生于 图7-16所示为由空气入射到(a)蒸馏水(εr=81)和(b)铅玻璃(εr=10)上的垂直极化波和平行极化波反射系数模值|Γ⊥|和|Γ∥|。 平行极化波都有|Γ∥|=0的角度(即布儒斯特角), 对应于: Γ⊥的相角总是π, 而Γ∥的相角在θB处由0跳到π。

图 7-16 反射系数模值随入射角的变化

7.6.2 全反射 当θ1＞θc, 则有sin2θ1＞ε2/ε1, 此时式(7-80)和式(7-82)化为

从而 可见, 两种情况下反射系数的模值都是1。又, 这时式(7-79)应表为 (7-86) 相应地, 媒质②中折射波的z向指数因子化为

设入射波是垂直极化波, 这表明, 合成场沿z向呈驻波分布, 而沿x向传播。 由于是在无耗媒质中, 其振幅沿传向(传播方向)是不变的, 而沿与之垂直的z向是变化的。因此这是一种非均匀平面波。其等幅面(z=const.)与等相面(x=const.)互相垂直, 如图7-18所示。

图 7-18 全反射时垂直极化波电场

把式(7-86)代入式(7-71b)知, 全反射情况下的透射系数为

于是, 媒质②中的场为 (7-91) 媒质①中的x向相位常数为 因全反射条件下θc＜θ1＜90°, 故 该非均匀平面波的相速vp = ω/β有如下关系:

例 7.8 一垂直极化平面波由淡水(εr1=81, μr1=1, σ1≈0)以45°入射角射到水-空气界面上, 入射电场强度为Ei0 = 1V/m, 求: (1) 界面处电场强度; (2) 空气中离界面λ0/4处的电场强度; (3) 空气中的平均功率流密度。

［解］ (1) 临界角为   可见θ1=45°＞θc, 此时发生全反射。 故界面处电场强度为

(2) 由式(7-91), Np/m 离界面λ0/4处的透射电场为 V/m

(3) 据式(7-90), 空气中电场矢量为

平均功率流密度为 代入本题数据得 W/m2

例 7.9 光导纤维(optical fiber)利用纤芯界面处的全反射效应来传输光通信讯号。为减小外界影响, 其实际设计采用多层结构。 纤芯大多是高纯度石英玻璃(SiO2), 低损耗, 包层是折射率低些的玻璃或塑料。其外面是加强强度用的涂层, 最外面为尼龙套。 工作波长一般为1.2~1.6μm(“长波长”)或0.8~0.9μm(“短波长”)。 嘉定上海新沪玻璃厂生产的一种单模光纤芯径为50μm, 包层直径为125μm, 尼龙套外径为1.4mm, 在1.56μm波长的衰减仅为0.2dB/km 。

图 7-19 光纤中的射线

［解］ 设入射角为φ的射线在光纤内的折射角为θt, 折射线对纤芯界面的入射角为θi 。为使纤芯界面处产生全反射, 应有 由折射定律知, 在临界情况下 θi = θc, 因而由上得 式中已取n0=1 。代入本题数据得