三角形的內角與外角 n 邊形的內角和 三角形的外角和定理 n 邊形的外角和 三角形的內角和定理 正n邊形的內角與外角 三角形的外角定理 自我評量

我們在國小時曾利用測量及剪裁拼補的方式，發現三角形中三個角的度數和為180°。現在我們將利用另一個方式來說明這個事實，說明前我們先介紹兩個名詞：三角形的內角與外角。

由三角形的一個頂點與兩邊所夾的角稱為三角形的內角，所以每個三角形都有三個內角，國小時，我們所學三角形的角即為三角形的內角。如圖3-1中，∠A、∠B、∠C 即為三角形的內角。

如圖3-2，∠1 是由 邊的延長線和 邊所形成的角，稱為∠A 的一個外角。同樣地，∠2 是∠B 的一個外角，∠3 是∠C 的一個外角。每一個內角與其一個外角的和為180 度，也就是說，∠1＋∠A＝180°，∠2＋∠B＝180°，∠3＋∠C＝180°。 圖3-2

一個內角有兩個外角，因為它們互為對頂角，所以相等。如圖3-3，∠4、∠5、∠6 也分別是∠A、∠B、∠C 的外角。習慣上，我們提到三角形一內角的外角時，是指其中的一個外角。圖3-3 中，∠1、∠2、∠3 稱為△ ABC的一組外角，∠4、∠5、∠6 是另一組外角。 圖3-3

如圖3-4，有一個三角形造型的公園，翰翰從公園邊的P 點出發，依序經過 A、B、C 三頂點，繞公園一圈回到P 點。

如圖3-5，翰翰自P 點沿著 前進至A 點時，行進方向從面對D 點的方向轉一角度，再朝著B 點的方向前進，所要轉的角度就是∠A 的外角∠1。

如圖3-6，到達 B 點時，行進的方向從面對E 點的方向轉一角度，再朝著 C 點的方向前進，所要轉的角度就是∠B 的外角∠2。

如圖3-7，到達C 點時，行進的方向從面對F 點的方向轉一角度，再朝著 A 點的方向前進，所要轉的角度就是∠C 的外角∠3。

圖3-8 如上頁圖3-8，翰翰從公園邊的P 點繞公園一圈回到出發點，所轉的角度分別為∠1、∠2、∠3，就是三角形的一組外角。我們將三角形公園慢慢縮小（如圖3-9），發現∠1、∠2、∠3 合起來剛好是一圈，也就是360°。

圖3-9

我們得到三角形的外角和定理： 三角形的一組外角和為360°。

1 三角形的外角和 △ABC 中，∠1、∠2、∠3 分別為∠A、∠B、 ∠C的外角，若∠1＝120°，∠2＝130°，求∠3 。

因為∠1、∠2、∠3 分別為∠A、∠B、∠C 的外角，所以 ∠1＋∠2＋∠3＝360° 120°＋130°＋∠3＝360° ∠3＝110° 解 因為∠1、∠2、∠3 分別為∠A、∠B、∠C 的外角，所以 ∠1＋∠2＋∠3＝360° 120°＋130°＋∠3＝360° ∠3＝110°

△ABC 中，∠1、∠2、∠3 分別為∠A、∠B、∠C 的一組外角，若∠C＝70°，求∠1＋∠2。 因為∠1＋∠2＋∠3＝360° ∠1＋∠2＋110°＝360° 所以∠1＋∠2＝250°

在國小時，曾經以切割拼補的方式得知三角形的內角和為180°，現在我們可以用三角形的外角和360°，導出三角形的內角和。 圖3-10

如圖3-10，△ABC 中，∠1、∠2、∠3 分別為∠A、∠B、∠C 的外角，因為內角與其一個外角的和形成一個平角，所以∠A＋∠1、∠B＋∠2、∠C＋∠3 皆為180°， 　　　　　　　　 ∠2）＋（180°－∠3） ＝ （180°＋180°＋180°）－ （∠1＋∠2＋∠3） ＝540°－360° ＝180° 三角形的外角和定理

我們得到三角形的內角和定理： 三角形的內角和為180°。

2 三角形的內角和 如右圖，△ABC 為等腰三角形， ＝ ， 若∠B＝70°，求∠A。

因為△ABC 為等腰三角形， ＝ ，所以∠B＝∠C＝70°。 因為∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＋70°＋70°＝180°， 解 因為△ABC 為等腰三角形， ＝ ，所以∠B＝∠C＝70°。 因為∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＋70°＋70°＝180°， ∠A＝40°。

如右圖，△ABC 為等腰直角三角形， ＝ ， 求兩底角∠B、∠C。 因為∠A＝90°，且∠A＋∠B＋∠C＝180°， 所以∠B＝∠C＝45°。

△ABC 中，若∠A＝70°，∠B＝（3x＋10）°，∠C＝（2x＋20）°，求∠B、∠C。 3 三角形的內角和 △ABC 中，若∠A＝70°，∠B＝（3x＋10）°，∠C＝（2x＋20）°，求∠B、∠C。 解 因為∠A、∠B、∠C 為△ABC 的三內角，所以 ∠A＋∠B＋∠C＝180° 70＋（3x＋10）＋（2x＋20）＝180 5x＋100＝180，5x＝80，x＝16 所以∠B＝58°，∠C＝52°。

△ABC中，∠A＝60°，若∠B的度數是∠C的 2 倍，求∠B、∠C。

因為∠A、∠B、∠C 為△ABC的三內角，所以∠A＋∠B＋∠C＝180°。 ∠B 的度數是∠C 度數的2 倍，設∠C＝x°，則∠B＝（2x）°。 x＋2x＝120，x＝40 所以∠B＝80°，∠C＝40°。

4 三角形內角和的應用 如右圖，△ABC 中，∠B 與∠C 的角平分線 交於P 點，若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°， (1)求∠1、∠2。 (2)求∠BPC。

∠B與∠C的角平分線交於P點，且∠ABC ＝ 50°，∠ACB＝70°， 所以∠1＝25°，∠2＝35°。 解 ∠B與∠C的角平分線交於P點，且∠ABC ＝ 50°，∠ACB＝70°， 所以∠1＝25°，∠2＝35°。 (2) 因為三角形的內角和為180°，所以∠BPC ＝180°－∠1－∠2 ＝180°－25°－35° ＝120°

如右圖，△ABC 中，∠BAC＝90°， ⊥ ，試問∠CAD 和∠B 有何關係？ △ABC 中，∠BAC＝90°，所以∠B＋∠C＝90°。 因為 ⊥ ，所以∠CAD＋∠C＝90°。 ∠B＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90° 所以∠CAD＝∠B。

在一個三角形中，與一個外角不共頂點的兩個內角，稱為這個外角的內對角。 圖3-11

如圖3-11，外角∠1的兩個內對角為∠ABC 和∠ACB。同理，外角∠2的兩個內對角為∠BAC 和∠ACB，外角∠3的兩個內對角為∠BAC和∠ABC。 因為∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180° ∠BAC＋∠1＝180° 所以∠BAC＋∠1＝∠BAC＋∠ABC＋∠ACB 則∠1＝∠ABC＋∠ACB，同理 ∠2＝∠BAC＋∠ACB ∠3＝∠BAC＋∠ABC

我們得到三角形的外角性質： 三角形任一外角等於兩個內對角的和。

數學是科學的大門和鑰匙。 ——培根（Roger Bacon，1214-1292）

5 三角形外角的應用 如右圖，△ABC中，D、E 兩點分別在 與 上，若∠ADB＝89°，∠BED＝52°，∠C＝62°，∠ABE＝27°，求∠1、∠2。

利用三角形的外角性質， ∠ADB＝∠1＋∠C 89°＝∠1＋62° ∠1＝27° ∠BED＝∠2＋∠ABE 52°＝∠2＋27° 解 利用三角形的外角性質， ∠ADB＝∠1＋∠C 89°＝∠1＋62° ∠1＝27° ∠BED＝∠2＋∠ABE 52°＝∠2＋27° ∠2＝25°

如右圖，E、F 為 上的兩點，若∠1＝140°， ∠2＝150°，∠C＋∠D＝170°，求： (1)∠A＋∠C。 (2)∠B＋∠D。 (3)∠A＋∠B＋∠C＋∠D。 (4)∠A＋∠B。

(1) 利用三角形的外角性質，∠A＋∠C ＝∠1 ＝140° (2) 利用三角形的外角性質，∠B＋∠D＝ ∠2 ＝ 150°

(3) ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝（∠A＋∠C）＋（∠B＋∠D） ＝140°＋150°＝290° (4) 因為∠C＋∠D＝170°， 所以∠A＋∠B＝290°－170°＝120°

如圖3-12，在任意四邊形ABCD 內部任取一點P，連接 、 、　、 ，形成四個三角形。因為三角形的內角和為180°，所以這四個三角形的內角和為180°× 4。

因為圍繞 P 點的四個角形成一個周角，即∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°，而四邊形ABCD的內角和並不包含這四個角，所以四邊形ABCD的內角和為： （4 個三角形的內角和）－（1 個周角）＝ 4 × 180°－360°＝360° 亦即四邊形的內角和為360°。

如圖3-13，在任意五邊形ABCDE 內部任取一點 P，連接 、 、 、 、 ，形成五個三角形。因為三角形的內角和為180°，所以這五個三角形的內角和為180°× 5。

仿照前面的推論過程，我們可以在 n 邊形的內部找一個點，形成 n 個三角形，再利用 n 個三角形的內角和減去一個周角（ 360°），得到 n 邊形的內角和，故我們可以知道 n 邊形的內角和為：

亦即， n 邊形的內角和為（n－2）× 180°。

(1) 自 n 邊形的一個頂點作對角線，並完成下表。

4 1 2 2×180°＝360° 5 6 2 3 3×180°＝540° 3 4 4×180°＝720° 邊數 圖形 對角線數目 三角形數目 內角和 4 1 2 2×180°＝360° 5 6 2 3 3×180°＝540° 3 4 4×180°＝720°

邊數 圖形 對角線數目 三角形數目 內角和 7 … n 略 4 5 5×180°＝900° n－3 n－2 (n－2) × 180° …

(2) 算出這些三角形的內角和，並與上面所得 n 邊形的內角和公式比較。 任意一個 n 邊形，都可分成（n－2）個三角形，所以 n 邊形的內角和＝（n－2） × 180°。 雖然推導過程不一樣，但是與公式的結果相同。

四邊形ABCD 中，∠A＝80°，∠B＝90°，∠C＝100°，求∠D。 6 四邊形的內角和 四邊形ABCD 中，∠A＝80°，∠B＝90°，∠C＝100°，求∠D。 解 設∠D＝x°，因為四邊形的內角和為360°， 所以 80＋90＋100＋x＝360 x＝90 所以∠D＝90°。

四邊形ABCD中，∠A＝70°，∠B＝80°，若∠C＝x°，∠D＝（x＋10）°，求∠C、∠D。

因為四邊形的內角和為360°，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°。 70＋80＋x＋（x＋10）＝360 2x＝200 x＝100 所以∠C＝100°，∠D＝110°。

7 n邊形內角和 求七邊形的內角和。 解 七邊形的內角和為（7－2）× 180°＝900°

求十一邊形的內角和。 十一邊形的內角和為（11－2）× 180°＝1620°

8 四邊形內角和的應用 四邊形ABCD中，∠A＝120°，設∠B＝x°，∠C＝y°，∠D＝z°，且x：y：z＝1：2：3，求∠B、∠C、∠D。

因為x：y：z＝1：2：3，所以 設x＝k，y＝2k，z＝3k，得 120＋k＋2k＋3k＝360 6k＝240 k＝40 解 因為x：y：z＝1：2：3，所以 設x＝k，y＝2k，z＝3k，得 120＋k＋2k＋3k＝360 6k＝240 k＝40 所以∠B＝40°，∠C＝80°，∠D＝120°。

(1) 四邊形ABCD 中，∠A＝70°，∠B＝90°，若∠C 的度數是∠D 度數的3倍，求∠C、∠D。 設∠D＝x°，則∠C＝（3x）°。 因為四邊形的內角和為360°，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°。 70＋90＋x＋3x＝360，4x＝200，x＝50 ∠C＝150°，∠D＝50°。

(2) 四邊形ABCD中，設 ∠C＝x°，∠D＝y°，若 ∠A＝120°，∠B＝90°，且 2x＋3y＝380，求 ∠C、∠D。

因為四邊形內角和為360°，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°。 120＋90＋x＋y＝360 x＋y＝150………… 又2x＋3y＝380….... 式 × 3－式得x＝70 代入式得y＝80 所以∠C＝70°，∠D＝80°。

9 四邊形內角和的應用 如右圖，四邊形ABCD中，E 在 上， 若 ＝ ，求： (1)∠1。 (2)∠2。 (3)∠B。

(1)因為四邊形ADCE 的內角和為360°，所以 65°＋75°＋90°＋∠1＝360° 230°＋∠1＝360° ∠1＝130° 解 (1)因為四邊形ADCE 的內角和為360°，所以 65°＋75°＋90°＋∠1＝360° 230°＋∠1＝360° ∠1＝130° (2)∠2＝180°－130°＝50° (3) △ABE 中，因為 ＝ ， 所以∠3＝∠2＝50°。 ∠B＝180°－50°－50°＝80°

如右圖，四邊形ABCD中，∠B 的平分線交 於 E 點，求： (1)∠ABC。 (2)∠2。 (3)∠1。

(1) 因為四邊形的內角和為360°， 所以∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＝360°。 ∠ABC＝360°－∠A－∠C－∠D ＝360°－110°－70°－60°＝120° (2) 因為 是∠B 的角平分線，所以∠2＝60°。 (3) ∠1＝180°－∠2－∠C ＝180°－70°－60° ＝ 50°

和前面的討論一樣，如圖3-14，有一個四邊形造型的公園，翰翰從公園邊的 P 點出發，依序經過A、B、C、D 四個頂點，繞公園一圈回到P 點。所轉的角度分別為∠1、∠2、∠3、∠4（如圖3-15），就是四邊形的一組外角，我們將說明這四個外角合起來也剛好是一圈360°。

圖3-14 圖3-15

因為內角與其一個外角的和形成一個平角，所以其一組外角和∠1＋∠2＋∠3＋∠4 為： （4 個180°）－（四邊形的內角和） ＝4 × 180°－360°＝360°

如圖3-16，五邊形ABCDE中，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5 分別為∠A、∠B、∠C、∠D、∠E 的外角，因為內角與其一個外角的和形成一個平角，所以其一組外角和∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5 為： （5 個180°）－（五邊形的內角和） ＝5 × 180°－（5－2） × 180° ＝900°－540° ＝360° 圖3-16

仿照前面的推論，我們可以知道 n 邊形的一組外角和為： （n 個180°）－（n 邊形的內角和） ＝n × 180°－（n－2） × 180°＝360° 亦即， n 邊形的一組外角和為360°。

因為 n 邊形的一組外角和皆為360°，所以七邊形的一組外角和為360°。 求七邊形的一組外角和。 解 因為 n 邊形的一組外角和皆為360°，所以七邊形的一組外角和為360°。

求十一邊形的一組外角和。 因為 n 邊形的一組外角和皆為360°，所以十一邊形的一組外角和為360°。

11 n邊形外角和的應用 四邊形ABCD 中，∠1、∠2、∠3、∠4 分別為∠A、∠B、∠C、∠D的外角，設∠1＝90°，∠2＝100°，∠3＝（2x）°，∠4＝（x＋20）°，求∠3、∠4。

因為∠1、∠2、∠3、∠4 分別為∠A、∠B、∠C、∠D 的外角， 所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360° 解 因為∠1、∠2、∠3、∠4 分別為∠A、∠B、∠C、∠D 的外角， 所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360° 90＋100＋2x＋（x＋20）＝360， 3x＋210＝360， 3x＝150，x＝50 所以∠3＝100°，∠4＝70°。

五邊形ABCDE中，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5 分別為∠A、∠B、∠C、∠D、∠E 的外角，若∠1＝60°，∠2＝70°，∠3＝80°，∠4＝2x°

因為∠1、∠2、∠3、∠4、∠5 分別為∠A、∠B、∠C、∠D、∠E 的外角， 所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360° 60＋70＋80＋2x＋3x＝360，5x＝150，x＝30 所以∠4＝60°，∠5＝90°。

一個 n 邊形若是每一個內角都相等，且每一個邊長也都相等，就稱這個 n 邊形為正 n 邊形。因為內角都相等，故其每一個外角也都相等，所以正 n 邊形的每一個外角皆為 。又因為一內角與一外角的和為180°，所以正 n 邊形的每一個內角皆為180°－

12 正n邊形的外角 正九邊形的每一個外角是多少度？ 解 正九邊形的每一個外角為 ＝40°。

正十邊形的每一個外角是多少度？ 正十邊形的每一個外角為　　 ＝36°。

13 正n邊形的內角 正十邊形的每一個內角是多少度？ 解 正十邊形的每一個內角為180°－ ＝180°－36°＝144°。

正五邊形的每一個內角是多少度？ 正五邊形的每一個內角為180°－ ＝180°－72°＝108°。

1.三角形外角和定理：三角形的一組外角和為360°。 2.三角形內角和定理：三角形的內角和為180°。 3.三角形外角性質：三角形的任一外角等於兩個內對角的和。

4. n 邊形的內角和性質：n 邊形的內角和為（n－2）‧180°。

3-1 自我評量 1.△ABC 中，若∠A＝80°，∠B＋2∠C＝160°，求∠B、∠C。 △ABC 中，∠A＋∠B＋∠C＝180°。 因為∠A＝80°，所以∠B＋∠C＝100°。 又∠B＋2∠C＝160°， 所以∠B＝40°，∠C＝60°。

2.求十四邊形的內角和。 十四邊形的內角和為（14－2） × 180°＝2160°。

3.設一個正 n 邊形其一個外角是40°，求 n。 正 n 邊形的每一個外角為 。 ＝40 n＝9

4.四邊形ABCD中，設∠A＝x°，∠B＝y°，∠C ＝z°，∠D＝t°，若x、y、z、t 形成公差為10 的等差數列，求∠A、∠B、∠C、∠D。

4. 設∠A＝x°，則∠B＝（x＋10）°， ∠C＝（x＋20）°，∠D＝（x＋30）°。 因為四邊形的內角和為360°， 所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°。 x＋（x＋10）＋（x＋20）＋（x＋30）＝360°。 4x＋60＝360 x＝75 所以∠A＝75°，∠B＝85°， ∠C＝95°，∠D＝105°。

5.右圖為五角星形ABCDE，試利用「外角等於 兩個內對角的和」，以含有∠1、∠2 的算式 完成下面的填充。 (1)∠C＋∠E＝______ (2)∠B＋∠D＝______ (3)∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E ＝∠A＋（∠C＋∠E）＋（∠B＋∠D） ＝∠A＋______＋______ ＝______ 度 ∠1 ∠2 ∠1 ∠2 180

6.如右圖，四邊形ABCD中，∠B 和∠C 的平分 線交於P 點，若∠A＝110°，∠D＝100°，求 ∠BPC。

6. 因為四邊形的內角和為360°， 所以∠A＋∠ABC＋∠BCD＋∠D＝360°。 ∠ABC＋∠BCD＝360°－∠A－∠D ＝360°－110°－100°＝150° 因為∠B 和∠C 的平分線交於P 點， 所以∠PBC＝ ∠ABC，∠PCB＝ ∠BCD ∠PBC＋∠PCB＝ （∠ABC＋∠BCD）＝ × 150°＝75° ∠BPC＝180°－∠PBC－∠PCB ＝180°－（∠PBC＋∠PCB） ＝180°－75° ＝105°