218吳昀昕 222許晉婕 223游凱婷 指導老師：桂雪萍老師、蔡芸蘭老師 台北市立敦化國民中學資源丙班 多邊形的重心 218吳昀昕 222許晉婕 223游凱婷 指導老師：桂雪萍老師、蔡芸蘭老師

研究動機 在上了基本幾何作圖後，桂老師向我們介紹了「重心」這個概念。在課中同學間的討論及老師的講解之後，我們決定要利用這次獨立研究的機會，好好的探討這個重心的延伸主題─多邊形的重心。

研究目的 1.蒐集各種尋找平面圖形的重心的方法 2.利用尺規作圖，找出多邊形的重心，並整理出最佳方式

方法討論─尋找重心的方法 ※方法一─鉛垂法 〈做法〉假定有一塊如右圖所示 般形狀不規則的木板，其重心在 G點上。首先，用繩子穿過A點而 將木板懸吊起來，木板就會如圖 般往右移動，直至重心G點在A點 的正下方才穩定下來。此時，如 果我們從A點畫一條鉛垂線，G點 必在這條鉛垂線上。同樣的我們 把繩子穿過B點而將木板懸吊起 來，等到木板穩定下來，自B點 引一條鉛垂線，重心G仍會在這條鉛垂線上。由A、B二點分別所畫的鉛垂線的交點，正是這塊木板的重心G。

〈分析〉不管是什麼樣的形狀，這個方法都適用。因為不管是通過A點或B點的鉛垂線，當此木板在懸吊並達到平衡(也就是不會晃動)時，鉛垂線左右的重量必相同，才可達到平衡。而由A、B兩點所做的兩條鉛垂線的交點，可使兩組被鉛垂線切成兩塊的木板都達到平衡。因此交點G便是此木板的重心─頂著它可以達到平衡的點。這是個較偏向理化做法的方式。

※方法二─三角形的重心 〈做法〉任兩中線(連三角形任一邊的中點至對頂點的線段)的交點，即為此三角形之重心。 〈分析〉一中線可以平分此三角形的面積(等底同高)，若此三角形是一張紙，厚度忽略不計，則中線也可平分重量。因此，兩中線的交點便是重量的平衡點─重心。 p.s 課內教材，不再多說

※方法三─正多邊形及圓形的重心 〈做法〉正多邊形─取兩條線對稱軸的交點(奇數邊形之對稱軸為點與對邊中點的連線；偶數邊形的對稱軸為點與對點的連線)，即為重心。圓形─圓心即為重心。 〈分析〉正多邊形的線對稱軸便是面積平分線，也就是質量平分線；圓形亦同。(同上) →感覺上，似乎在平面圖形上找出兩條可平分面積(質量)的線，在找出其交點即可找到重心。

方法展示 在參考過以上的重心找法後，我們試著自己用尺規作圖找出多邊形的重心，以下是我們的討論： §四邊形 1.長方形、菱形、正方形、平行四邊形的重心均是兩對角線的交點。

2.任意四邊形(包括鳶形、梯形)： 《分割法》連一條對角線將其切成兩個三角形，分別找出重心，連兩重心之線段(以下我們在本文均統稱為「重心線」)；再連另外一條對角線，畫出兩個不同於上一次的三角形，也分別找出兩個三角形的重心，連重心線。則此兩條重心線會交於一點，此點即為重心。

【分析一】重心，可視為此圖形的質量中心(p 【分析一】重心，可視為此圖形的質量中心(p.s重心又稱為「質心」)，因此，在作第一條三角形重心連線時，我們可以確定此四邊形的重心一定會在此線段上。利用同樣的思考再換個方向做一次，則重心會同時在這兩條重心線上，即為兩重心線的交點。 ﹝例一﹞以圖一四邊形ABCD中，求做重心： 1.先連BD，得∆ABD、∆CBD 2.分別作∆ABD、∆CBD之重心g1、g2 3.同理，連AC作出∆ACD、∆ACB之重心g3、g4 4.直線g1g2與直線g3g4之交點即為四邊形ABCD之重心 (圖一)

《槓桿法》連一條對角線將其切成兩個三角形，並分別畫出它們的高及重心。連兩重心線段，以高的反比平分此線段，則平分點即為重心。 【分析二】這用到了理化的槓桿原理：重量1X臂長1=重量2X臂長2。用對角線切出來的三角形，它們有同底的性質，所以面積比就會等於高的比；而面積比又會等於其質量比，因此，兩個三角形的重心連線，就可以視為一個槓桿；而這個槓桿的兩端─也就是兩三角形的重心，就可以視為兩三角形的質量中心。又兩三角形的高的比等於面積比等於質量比，則若兩三角形的高之比為a：b，則兩個三角形的質量比也就是a：b。而重心是整個四邊形的平衡點，就相當於槓桿上的支點一樣。

所以，綜合上面的比例，我們不難了解：兩三角形重心的連線─也就是整支槓桿─，必須以b：a(a：b的反比)的比例來分，配合上兩端質量a：b，才可以符合槓桿原理：重量1X臂長1=重量2X臂長2。 ﹝例二﹞以圖二中之四邊形ABCD：1.連AC得∆BAC、∆DAC 2.作∆ACD、∆ABC之重心g1、g2 3.作DF⊥AC於F，BE⊥AC於E 4.在g1g2上運用「平行線裁等比例線段」的性質(取g2D’=DF，D’B’=BE，連g1B’再過D’做一直線平行於g1B’交g1g2於G，則g2G：Gg1=DF：BE)，畫出G點即為四邊形ABCD之重心 圖二

§任意五邊形 《分割法》連一條對角線，將其切成一個四邊形及一個三角形。分別用以上的方法找出重心後連線；再換另外一條對角線，再畫出一條兩重心連線，則此兩線段的交點即是此五邊形的重心。 【分析一】此想法與四邊形類似，只是邊數增加，畫起圖來比較複雜。

﹝例一﹞在圖三的五邊形ACBDE中：1. 連EC，得∆EDC及四邊形ABEC 2. 分別作∆EDC及四邊形ABEC的重心g1、g2 3 ﹝例一﹞在圖三的五邊形ACBDE中：1.連EC，得∆EDC及四邊形ABEC 2.分別作∆EDC及四邊形ABEC的重心g1、g2 3.同理，連AD做∆AED及四邊形ABCD的重心g3、g4 4.連g1g2、g3g4，則兩線段交點即為五邊形ACBDE的重心G 圖三

《槓桿法》連一條對角線，將此五邊形切成一個三角形與一個四邊形，分別找出重心並做一重心線。利用四邊形做法二的想法，將四邊形轉化為一個同底(底即為對角線)且面積相同的三角形，再用此兩三角形的高的反比去分重心線，則分點即為重心。 【分析二】這種做法利用到四邊形形變成等底等面積三角形，而簡化了原題。因為在同底的情況下，只有三角形的高的比可以利用尺規作圖在重心線上直接畫出反比例，四邊形主要是由於它不能以某一線段比上另一三角形的高代替質量、體積比例，因而需採取這個較間接方式。不過，需注意的是剛開始所做的重心線乃五邊形一對角線所切成的一三角形與一四邊形之重心線，而不是四邊形形變成三角形後與原三角形的重心線。

﹝例二﹞在下圖四的五邊形ABCDE中：1. 連AC，分別作∆ABC及四邊形CDEA的重心g1、g2，並連重心線g1g2 2 ﹝例二﹞在下圖四的五邊形ABCDE中：1.連AC，分別作∆ABC及四邊形CDEA的重心g1、g2，並連重心線g1g2 2.連EC並延長射線AE，做一直線過D平行於EC，交射線AE於F。∵等底(EC=EC)同高(兩平行線中垂距相等)，∴∆ECF的面積同於∆ECD 3.做FI⊥AC，BJ⊥AC 4.連線段g1g2，在g1g2上運 用「平行線裁等比例線段」 的性質 (可將五邊形ABCDE 視為四邊形ABCF，但重心線 仍以五邊形ABCDE為主) ─ 取g2J’=BJ，J’I’=FI，連g1I’再 過J’做一直線平行於g1I’交 g1g2於G，則g2G：Gg1= BJ：IF，畫出G點即為五邊形 ABCDE的重心 圖四

§任意六邊形 《分割法》連一對角線，將其切成兩個四邊形，分別用四邊形的重心找法找出重心並連線；再連另外一條對角線，再畫出一條兩四邊形的重心的連線，則此兩重心連線之交點即為此六邊形的重心。 【分析一】此方法的想法與四邊形、五邊形均同。找出兩重心線的交點即為重心。

﹝例一﹞在下圖五的六邊形ABCDEF中：1 ﹝例一﹞在下圖五的六邊形ABCDEF中：1.連BE，分別作四邊形ABEF及BCDE的重心g1、g2(方法請參考上面的說明)並連出重心線g1g2 2.連AD，分別作四邊形ADEF及ABCD的重心g3、g4並連出重心線g3g4 3.兩重心線的交點G即 為此六邊形的重心 圖五

《槓桿法》連一條對角線，將此六邊形切成兩個四邊形，並分別找出重心及重心線。再利用形變將兩個四邊形轉為兩個同底且與原來的四邊形同面積的三角形，最後用此兩個三角形的高的反比去分兩個四邊形的重心線，分點即為此六邊形的重心。 【分析二】此方法大致上與五邊形類似，只是五邊形的形變只是針對唯一一個四邊形來做，而六邊形必須對兩個由對角線切成的四邊形各做一次形變，才能利用兩形變後的三角形的高之反比，找出分重心線的比例而求出重心。

﹝例二﹞在下圖六的六邊形ABCDEF中：1. 連BE，分別作四邊形ABEF、BCDE的重心g1、g2，並做重心線g1g2 2 ﹝例二﹞在下圖六的六邊形ABCDEF中：1.連BE，分別作四邊形ABEF、BCDE的重心g1、g2，並做重心線g1g2 2.延長EF，並過A做一直線平行於BF且交EF延長於H，則三角形的面積等於四邊形ABEF的面積 3.延長ED，過C做一直線平行於BD且交ED延長於I，則三角形BIE的面積等於四邊形BCDE的面積 4.做HK、IJ垂直於BE 5.在重心線g1g2上運用「平行線裁等比例線段」的性質，做出一點G，使g1G：Gg2=JI：KH，則G點即為此六邊形的重心 圖六

方法討論 在這裡，我們要針對任意四、五、六邊形的主要兩種方法─分割法(以上的方法一)及槓桿法(以上的方法二)做討論。討論項目分為：1.作圖中所需重心線條數 2.在相同大小的多邊形上作圖時，哪一種方法所佔空間較大 3.當多邊形邊數增加時，是否可通用

§四邊形 分割法 槓桿法 分割法 槓桿法 重心線 2 1 大小 小 大 邊數增加適用？ 是 不一定

§五邊形 槓桿法 分割法 分割法 槓桿法 重心線 4 2 大小 小 大 邊數增加適用？ 是 不一定

§六邊形 槓桿法 分割法   分割法 槓桿法 重心線 10 3 大小 小 大 邊數增加適用？ 是 不一定

結論 經由我們一連串對重心的探討，我們做出了以下的結論： 1.在平面上，重心可以是兩條面積平分線(須為直線)的交點，因其平分面積就等於平分質量 2.在圓形及正多邊形中，兩對稱軸的交點即為重心 3.鉛垂法是最好用的找重心方式，利用自然的地球引力使物體平衡後找其兩垂線交點，沒有作圖的麻煩及複雜

4.尺規作圖法有兩種─分割法及槓桿法。感覺上槓桿法是比較有技巧的，因其有利用到以一長度代替左右兩圖形的質量比，使題目簡化；而分割法則是一小塊一小塊的切，再去找許多重心線的最後一個交點，有點「暴力法」的味道。不過，分割法不管在哪種多邊形上均可採用，只是邊數越多越困難；而槓桿法則要再繼續討論如何利用形變找出兩線段比再去分一重心線 5. n邊形槓桿法的重心線公式：n-2-1→可切成n-2個三角形，而重心線條數為三角形個數-1

參考資料及網站 ※觀念物理(二) ※牛頓科學研習百科 ※http://pei.cjjh.tc.edu.tw/chem_6_9.htm

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