Short Version : 28. Alternating Current Circuits 短版 : 28. 交流電電路

28.1. Alternating Current 交流電 Reminder: All waves can be analyzed in terms of sinusoidal waves (Fourier analysis Chap 14). 提醒你：所有波動都可以用正弦波來分析 (傅里葉分析 ，14 章) 。 Sinusoidal wave (Chap 13) : 正弦波 (13 章) ： Vp sin  Angular frequency : 角頻（率） ： [] = rad/s  =  / 6  = phase 相位

Example 28.1. Characterizing Household Voltage 為住宅電壓定性 Standard household wiring supplies 110 V rms at 60 Hz. 標準住宅線路的電源是 60 Hz 和 110 V 均方根。 Express this mathematically, assuming the voltage is rising through 0 at t = 0. 以數學表達它，並假設電壓在 t = 0 開始從 0 上升。  

28.2. Current Elements in AC Circuits AC 線路的電流元件 Resistors 電阻器 Capacitors 電容器 Inductors 電感器 Phasor Diagrams 相位子圖 Capacitors & Inductors: A Comparison 電容器和電感器：對比

Displacing Functions 移動函數 g is moved to the right (forward) by  to give f. g 往右(前)移  以得 f. f x   x Displacement: sin is cos moved forward by /2. 位移： sin是cos 往前移 /2. Phase: sin lags cos by /2. 相位： sin 落後 cos /2. sin cos Derivative: moves sinusoidal functions backward by /2. 導數：將正餘弦函數往後移 /2 。 phase is increased by /2. 相位增 /2. Integral: moves sinusoidal functions forward by /2. 積分：將正餘弦函數往前移 /2 。 phase is decreased by /2. 相位減 /2.

Resistors 電阻器 When V(t) > 0 : V(t) > 0 時 : I I & V in phase +  + VR  I & V in phase I & V 同相

Capacitors 電容器 When V(t) > 0 : V(t) > 0 時 : I +  + VC  I leads V by 90 I 超前 V 90 I peaks ¼ cycle before V I 比V 早 ¼ 週期達峰值 Capacitive reactance 電容電抗 DC: open ckt. 直流電：斷路 HF: short ckt. 高頻：短路

Inductors 電感器 When V(t) > 0 : V(t) > 0 時 : I L + I trails V by 90 I 落後 V 90 I peaks ¼ cycle after V I 比V 晚 ¼ 週期達峰值 Inductive reactance 電感電抗 DC: short ckt. 直流電：短路 HF: open ckt. 高頻：斷路

Table 28.1. Amplitude & Phase in Circuit Elements 線路元件的幅度與相位 Peak Current vs Voltage 電流對電壓峰值 Phase Relation 相位關係 Resistor 電阻器 V & I in phase V & I 同相 V lags I 90 V 落後 I 90 Capacitor 電容器 Inductor 電感器 V leads I 90 V 領先 I 90

Example 28.2. Equal Currents 一樣的電流? A capacitor is connected across a 60-Hz, 120-V rms power line, & an rms current of 200 mA flows. 一個電容器接在一條 60-Hz, 120-V rms 的電力線上，其電流為 200 mA rms 。 Find the capacitance. 求其電容量。 What inductance, connected across the same powerline, would result in the same current? 如果用電感器接在同樣的電力線上，電感量要多少才能達到同樣的電流？ How would the phases of the inductor & capacitor currents compare? 電感器和電容器的相位有何差別？ (a) (b) Capacitor: IC leads V by 90. 電容器： IC 領先 V 90 Inductor: V leads IL by 90. 電感器： V 領先 IL 90. (c) IC leads IL by 180. IC 領先 IL 180.

Phasor Diagrams 相位子圖 V leads I by 0. V 領先 I 0. ( same phase ) (同相位) Phasor = Arrow (vector) in complex plane. Length = mag. Angle = phase. 相位子 = 複數平面上的箭 (向量) 。箭長 = 大小。角度 = 相位。 電阻器 電感器 電容器 V leads I by 0. V 領先 I 0. ( same phase ) (同相位) V leads I by 90. V 領先 I 90. V leads I by 90. V 領先 I 90. ( V lags I by 90 ) (V 落後 I 90 )

Capacitors Revisited 電容器再探 + VC  Vp e i t I leads V by 90 I 超前 V 90 Taking the real part as physical 取實數部份為物理量： Taking the imaginary part as physical 取虛數部份為物理量： Impedance 阻抗

Inductors Revisited 電感器再探  L + Vp e i t I lags V by 90 I 落後V 90 Taking the real part as physical 取實數部份為物理量： Taking the imaginary part as physical 取虛數部份為物理量：

Capacitors & Inductors: A Comparison 電容器和電感器：對比 C  L translator 轉換: E  B q  B V  I Z  Y Impedance = Resistance + i Reactance 阻抗 = 電阻 + i 電抗 Admittance = Conductance + i Susceptance 導納 = 電導 + i 電納

Table 28.2. Capacitors & Inductors 電容器和電感器 Defining relation 定義 Defining relation; derivative form 定義；導數形式 Opposes change in 抵抗何者改變 V I Energy storage 所儲能量 Behavior in low freq limit 低頻時性能 Open circuit 斷路 Short circuit 短路 Behavior in high freq limit 高頻時性能 Short circuit 短路 Open circuit 斷路 Reactance 電抗 Admittance / Impedance電導納 / 阻抗 Phase 相位 I leads by 90 I 領先 90. V leads by 90 V 領先 90.

Application: Loudspeaker Systems 應用：喇叭系統 C passes high freq C 讓高頻波通過 Loudspeaker system with high & low frequency filters. 有高和低頻濾波器的喇叭系統 L passes low freq L 讓低頻波通過

28.3. LC Circuits LC線路 I  V + 全是電能， 在電容器內 全是磁能， 在電感器內 全是磁能， 在電感器內

Analyzing the LC Circuit 分析 LC 電路  V + 

Resistance in LC Circuits – Damping LC電路中的電阻 – 阻尼 + VR  I  VC +  L +  (see next page) 見下頁

Resistance in LC Circuits – Damping LC電路中的電阻 – 阻尼 + VR  I  VC +  L +  (see next page) 見下頁

Solutions to Damped Oscillator 阻尼振蕩器的解 Ansatz:

28.4. Driven RLC Circuits & Resonance 驅動式 RLC 電路和共振 + VR  I +   L +  VC + Driven damped oscillator 驅動式阻尼振蕩器: Long time: oscillates with frequency d. 長期：以頻率 d 振蕩。 Resonance if d = 0. 如 d = 0 則共振。

Resonance in the RLC Circuit RLC 電路的共振 VC & VL are 180 out of phase. VC 和 VL 相差 180。 共振 d = 0 時電容器與電感器的電壓互相抵消。 低頻 d < 0 時電容器為主。 高頻 d > 0 時電感器為主。  if i.e.,

Frequency Response of the RLC Circuit RLC 電路的頻率反應 Series circuit  same I phasor for all. 串聯電路  全部元件的 I 相位子都一樣。 VR in phase with I. VR 與 I 同相位。 VC lags I by 90. VC 落後 I 90。 VL leads I by 90. VL 領先 I 90。 High Q Low Q See Prob 73 for definition of Q. 有關 Q 的定義請參考Prob 73。 At resonance 共振時,  = 0.

Example 28.4. Designing a Loud Speaker System 設計一個揚聲器系統 Current flows to the midrange speaker in a loudspeaker system through a 2.2-mH inductor in series with a capacitor. 電流通往揚聲器系統的中音喇叭時，需經過一個與另一電容器串聯的 2.2-mH電感器。 What should the capacitance be so that a given voltage produces the greatest current at 1 kHz ? 若要在 1 kHz ，某一電壓下得到最大電流，所需電容量為何？ If the same voltage produces half this current at 618 Hz, what is the speaker’s resistance ? 如果在 618 Hz ，同一電壓下電流減成一半，喇叭的電阻為何？ If the peak output voltage of the amplifier is 20 V, what will be the peak capacitor voltage be at 1 kHz ? 如果擴大器的輸出峰壓為 20 V ，電容器的峰壓在 1 kHz 時何？ Greatest I is at resonance: I 的最大值位於共振 ：

If the same voltage produces half this current at 618 Hz, what is the speaker’s resistance ? At resonance: 共振時： If the peak output voltage of the amplifier is 20 V, what will be the peak capacitor voltage be at 1 kHz ? 如果擴大器的輸出峰壓為 20 V ，電容器的峰壓在 1 kHz 時何？ Peak voltage is at resonance (1 kHz). 峰壓位於共振 (1 kHz) 。

28.5. Power in AC Circuits AC 線路的功率 Capacitor 電容器: I leads V by 90 ,  P  = 0 Average power 平均功率 Resistor 電阻器: I & V in phase ,  P  > 0 Power factor 功率因子 I & V out of phase ,  P   Leading pf (  < 0 ) : I leads V 領先功率因子 (  < 0 ) : I 領先 V Dissipative power = I2 R 熱損功率 = I2 R large power factor reduces I & hence heat loss. 功率因子大時 I 較小，熱耗損也較低。

Conceptual Example 28.1. Managing Power Factor 管理功率因子 You’re chief engineer of a power company. 你是一間電力公司的總工程師。 Should you strive for a high or a low power factor on your lines? 你應該設法提高還是降低你的輸出功率因子? Power factor功率因子 Apparent power表觀功率 Generator : fixed Vrms . 發電機 : Vrms 固定。 To maintain fixed <P>, Irms cos  = const. 要維持固定 <P> ， Irms cos  = 定值 Smaller power factor  higher Irms . 功率因子較小  Irms 較大  higher power loss.  熱耗損較大 Ans.: keep power factor close to 1. 答案 : 盡量把功率因子維持在 1 左右

Making the Connection 連起來 Transmission losses on a well-managed electric grid average about 8% of the total power delivered. 一個管理得好的電力網，其輸送損耗平均約為總功率的 8%。 How does this figure change if the power factor drops from 1 to 0.71? 這數據在功率因子由 1 降至 0.71 時會有何變化? To deliver the same power 要提供同樣功率 Transmission losses : 輸送損耗 :  ( doubles to 16% ) 加倍至 16%

28.6. Transformers & Power Supplies 變壓器和電源 主 次 Transformer: pair of coils wound on the same (iron) core. 變壓器：一對繞在同一鐵芯上的線圈。 Works only for AC. 祗能用於交流電 電力線 市內分輸線

Direct-Current Power Supplies 直流電的電源 Diode passes + half of each cycle 二極體讓週期 + 的一半通過。 Diode 二極體 Diode cuts off  half of each cycle 二極體砍掉週期  的一半。 R 的電壓 RC (low freq) filter RC (低頻) 濾波器 從變壓器來的 AC 電壓