第三章 词项逻辑 一、直言命题 二、直接推理 三、三段论 四、直言命题的存在含义问题 五、文恩图解法

一、直言命题 直言命题的定义 一个主谓式命题，它断定了某个数量的对象具有或者不 具有某种性质，因此也叫做“性质命题”。其基本结构是 （量项）＋主项＋（联项）＋谓项 如果直言命题的主项是普遍词项，用大写字母S表示； 如果主项是单称词项，即专名和摹状词，用小写字母a表 示。谓项始终用大写字母P表示。

直言命题的类型 全称肯定命题：所有S都是P。 全称否定命题：所有S都不是P。 特称肯定命题：有的S是P。 特称否定命题：有的S不是P。 单称肯定命题：a是P。 单称否定命题：a不是P。

当讨论直言命题推理时，单称命题常被当成全称命 题的特例。 直言命题因此只剩下全称肯定、全称否定、特称肯 定和特称否定四种形式，它们被缩写为 SAP、SEP、 SIP、SOP，其中的A、E、I、O 分别来自拉丁文 affirms（肯定）和 nego（否定）中的元音字母，相 应的这四种直言命题亦被缩写为A、E、I、O。

直言命题中主谓项的关系 直言命题的主项和谓项合称“词项”（term）。 词项各有内涵和外延。其内涵是该词项所指称的对象所具 有的特有属性或本质属性。词项的外延是该词项所表示或 指称的那个对象或对象的类别。 用欧拉图表示，两个词项的外延之间有并且只有以下五种 关系：

所有的中国56个民族是生 活在960万平方公里土地上的 民族。 同一关系 S P 所有的中国56个民族是生 活在960万平方公里土地上的 民族。 北京 中华人民共和国首都 氧 原子量为16的元素

包含关系 S P 学生 大学生 国家 发展中国家 法律 婚姻 法 监狱 南昌监狱 运动员 女运动员 树 白杨树

包含于关系 p s 大学生 学生 发展中国家 国家 婚姻 法 法律 南昌监狱 监狱 女运动员 运动员 白杨树 树

交叉关系 S P “学生”与“青年”的关系， 就是交叉关系。具有交叉关系的概 念还有很多。比如“食物”与“植 物”、“党员”与“干部”、“间 谍”与“军官”等等，都是交叉关 系。

“动物”与“火车”、“金 属”与“非金属”、“红色 ”与“白色”等等，都是不 相容关系，它们之间的外延 都是没有任何重合的。 全异关系 S P “动物”与“火车”、“金 属”与“非金属”、“红色 ”与“白色”等等，都是不 相容关系，它们之间的外延 都是没有任何重合的。

任意两个概念S与P之间的外延关系，有且只有五种欧拉图： P S 图2-1 图2-2 图2-3 S P S P 图2-4 图2-5

包含关系和包含于关系合称“种属关系”，其 中外延大的概念叫做“属概念”，外延小的概念叫 做“种概念”。根据种属关系，产生了一种非常重 要的定义形式，叫做“属加种差定义”。

如果S和P之间没有共同的外延，并且它们的外延之和等于 它们的属概念的外延，则称这两个概念之间是矛盾关系。 有矛盾关系的概念可以分成正概念和负概念。一般地，正 概念表示为S，相应的负概念表示为S。

如果S和P之间没有共同的外延，并且它们的外延之 和小于它们的属概念的外延，例如“数学”和“物 理学”相对于“自然科学”，“大学生”与“小学 生”相对于“学生”，则它们之间是反对关系。

矛盾关系和反对关系图示如下：

直言命题间的对当关系 直言命题之间的对当关系，是指有相同素材 （即相同主项和谓项）的直言命题之间的真假 关系。如果没有相同的主谓项，则无法比较它 们的真假。

根据此表，A、E、I、O之间有如下四种关系：

反对关系 指A与E的关系，它们之间不能同真，但可以同 假。于是，若一个为真，则另一个必为假；若一个 为假，则另一个真假不定。

矛盾关系 指A与O、E与I的关系，它们之间既不能同真， 也不能同假，因而必有一真，也必有一假。于是， 由一个为真，就可以推出另一个为假；由一个为假， 就可以推出另一个为真。

也可以用否定词、等值把矛盾关系表述如下： （1）SAPSOP （2）SEPSIP （3）SIPSEP （4）SOPSAP

差等关系 亦称“从属关系”，指A与I、E与O之间的关系。我们可 以把它概括为：如果全称命题真，则相应的特称命题真； 如果特称命题假，则相应的全称命题假；如果全称命题假， 则相应的特称命题真假不定；如果特称命题真，则相应的 全称命题真假不定。

下反对关系 指I与O的关系，它们之间可以同真，但不能 同假。于是，由一个为假，可以逻辑地推出另一个 为真；但从一个为真，不能确切地知道另一个的真 假。

对当方阵

若考虑到单称命题与其他直言命题之间的真假关系， 上述对当方阵应扩展成下图：

直言命题中词项的周延性 在直言命题中，若断定了一个词项的全部外延， 则称它是周延的，否则是不周延的。由此可知，直 言命题中词项的周延性有下述特点：

（1）只有直言命题的主项和谓项才有周延与否的问题， 离开直言命题的一个单独词项，无所谓周延和不周延。 （2）主、谓项的周延性是由直言命题的形式决定的，而 不是相对于直言命题所断定的对象本身的实际情况而言的。

根据词项周延性的上述定义及其解释，我们有如下 结论： （1）全称命题的主项都是周延的。 （2）特称命题的主项都是不周延的。 （3）肯定命题的谓项都是不周延的。 （4）否定命题的谓项都是周延的。

二、直接推理 直接推理是从一个直言命题出发，推出一个直言 命题结论的推理。

换质法 将一个直言命题由肯定变为否定，或者由否定 变为肯定，并且将其谓项变成其矛盾概念，由此得 到一个与原直言命题等值的直言命题，就是换质法。

换质法有以下有效形式： （1）SAPSEP （2）SEPSAP （3）SIPSOP （4）SOPSIP

换位法 将一个直言命题的主项和谓项互换位置，但让 它的质保持不变，原为肯定仍为肯定，原为否定仍 为否定，并相应地改变量项，由此得到一个新的直 言命题，这就是换位法。

换位法有以下有效形式： （1）SAP→PIS （2）SEP→PES （3）SIP→PIS （4）SOP不能换位。

换质位法 对一个直言命题先换质，再换位，由此得到一 个新的直言命题，这就是换质位法。换质位法是换 质法和换位法的相继运用，当然要分别遵守它们的 程序和规则。

换质位法有以下有效形式： （1）SAP→SEP→PES （2）SEP→SAP→PIS （3）SIP不能换质位。 （4）SOP→SIP→PIS

换质法和换位法可以结合进行，只要在换质、换位 时遵守相应的规则即可。可以先换质，再换位，再 换质，再换位，……。 如果从一个全称命题出发，经过连续的换质位，得 到了一个同质同量、以原命题谓项的矛盾概念为主 项、以原命题主项的矛盾概念为谓项的直言命题， 这种方法被称为“戾换法”。例如： SAP→SEP→PES→PAS

对当关系推理 Ⅰ. 反对关系推理 （1）SAP→SEP （2）SEP→SAP

Ⅱ. 差等关系推理 （3）SAP→SIP （4）SEP→SOP （5）SIP→SAP （6）SOP→SEP

Ⅲ. 矛盾关系推理 （7）SAP→SOP （8）SEP→SIP （9）SIP→SEP （10）SOP→SAP

Ⅳ. 下反对关系 （15）SIP→SOP （16）SOP→SIP

Ⅴ. 关于单称命题与其他命题之间的推理 （17）SAP→a是P （18）a是P→SIP

三、三段论  三段论的定义 三段论由三个直言命题构成，其中两个是前提，一个是 结论。它是由一个共同词项把两个直言命题连接起来， 得出一个新的直言命题作为结论的推理。其中，结论的 主项是小项（用S表示），含有小项的前提是小前提； 结论的谓项是大项（用P表示），含有大项的前提是大 前提；两个前提共有的词项叫做中项（用M表示）。

三段论的格 根据中项在前提中的不同位置，三段论分为四个不同的格：

三段论的式 根据组成三段论的三个直言命题的质与量，三段论有不同 的式。例如，在“所有科学都以追求真理为目标。各门社 会科学都是科学，所以，各门社会科学也以追求真理为目 标”这个三段论中，大前提是A命题，小前提也是A命题， 结论还是A命题，因此该三段论是AAA式。

中世纪的哲学家的逻辑证明—— 大前提：被设想为无与伦比的东西 不仅存在于思想中，而且存在于现 实中。 小前提：上帝是一个被设想为无与 伦比的东西。 结 论：上帝实际上存在。 “上帝”是“存在”本身吗？

三段论式的总数目 一个三段论，它的大前提、小前提和结论分别可能是A、 E、I、O，因此其可能的排列组合是：4×4×4＝64个可 能的式。三段论还有四个不同的格，中项在这些格中的位 置不同，也就是作为大前提和小前提的主谓项不同，因此 这些前提就是由有不同的主谓项的A、E、I、O构成的。 于是，一个格共有64个可能的式，而三段论共有四个不同 的格，于是三段论总共有64×4＝256个可能的式。

三段论有效式的判定方法 （1）规则判定法：先给出三段论必须遵守的一些推理规则，根据 这些规则去判定一个具体的三段论是否有效。 （2）图解判定法，即用欧拉图和文恩图去判定一个三段论是否有 效。 如果使三段论的两个前提为真的欧拉图也一定使该三段论的结论为 真，则这个三段论就是有效的；反之，如果使三段论的两个前提为 真的欧拉图有可能使该三段论的结论为假，则它的结论就不是必然 得出的，该三段论因此也是无效的。 （3）公理演绎法：首先给出明显有效的三段论公理，再根据保持 有效性的推理规则，能够推出的三段论式就是有效的。

三段论的一般规则 （1）在一个三段论中，有且只能有三个不同的词项。 （2）中项在前提中至少要周延一次。 （3）在前提中不周延的词项，在结论中不得周延。 （4）从两个否定前提推不出任何确定的结论。 （5）如果两个前提中有一个是否定的，那么结论是否定 的；如果结论是否定的，那么必有一个前提是否定的。

以上五条三段论规则是基本的，用它们就足以把有 效的三段论与无效的三段论区分开来。为明确和方 便起见，有时还从它们证明、推导出一些规则，例 如： （6）两个特称前提不能得结论。 （7）如果两个前提中有一个特称，结论必然特称。

根据三段论的一般规则，还可以证明有关三段论的 一些定理，例如： 定理 一个结论全称的正确三段论，其中项不能周延两次。

三段论的特殊规则 第一格规则： （1）小前提必须肯定。（2）大前提必须全称。 例： 凡真理都是具有客观性的 马克思主义是真理   第一格规则： （1）小前提必须肯定。（2）大前提必须全称。 例： 凡真理都是具有客观性的 马克思主义是真理 所以，马克思主义是具有客观性的

第一格 所有团员都参加团组织活动 有的同学不是团员（错） 所以，有的同学不参加团组织活动 所有的光（M）都是电磁波(P) 紫外线（S）是光(M) 所以，紫外线（S）是电磁波（P） 中词（M）在大前提中是主词，在小前提 中是谓词。 所有团员都参加团组织活动 有的同学不是团员（错） 所以，有的同学不参加团组织活动

第二格规则： （1）两个前提必须有一个否定。（2）大前提必须全称。 举例 举例： 马克思主义者（P）都是唯物主义者（M） 有神论者（S）都不是唯物主义者（M） 所以，有神论者（S）都不是马克思主义者（P）

第二格 中项(M)在两个前提中都是谓词。 凡鱼（P）都不是哺乳动物(M) 鲸(S)是哺乳动物(M) 所以，鲸(S)不是鱼(M)

金星（M）是行星(S) 所以，有的行星(S)没有卫星(P) 第三格规则： （1）小前提必须肯定。（2）结论必须特称。 举例： 金星（M）没有卫星(P) 金星（M）是行星(S) 所以，有的行星(S)没有卫星(P)

第三格 所有的鲸（M）都是哺乳动物（P） 所有的鲸（M）都是水生动物（S） 所以，有些水生动物（S）是哺乳动物（P）

第四格规则： （1）如果大前提肯定，则小前提必须全称。（2）如 果小前提肯定，则结论必须特称。（3）如果有一个前提 否定，则大前提必须全称。（4）如果大前提特称，则两 个前提都必须肯定。（5）如果小前提特称，则大前提必 须否定。

第四格 所有观念形态的东西（M）都是上层建筑（S） 所以，有些上层建筑（S）是文艺作品（P） 举例： 所有文艺作品（P）都是观念形态的东西（M） 所有观念形态的东西（M）都是上层建筑（S） 所以，有些上层建筑（S）是文艺作品（P） 中间（M）在大前提中是谓词，在小前提中 是主词。

三段论的全部有效式 第一格 AAA，AAI，AII，EAE，EAO，EIO 第二格 AEE，AEO，AOO，EAE，EAO，EIO 第三格 AAI，AII，EAO，EIO，IAI，OAO 第四格 AAI，AEE，AEO，EAO，EIO，IAI

三段论的化归 亚里士多德则试图把他的三段论发展成为一个公理系统。他把三段 论区分为三个格，共有19个有效式，其中第一格叫做“完善的 格”，其他两个格叫做“不完善的格”。他运用一套化归程序，即 利用包括对当关系、换质、换位推理，以及命题逻辑中所讲的反三 段论等在内的一些工具，试图把其他各格的有效三段论化归、还原 为第一格的三段论，后人进一步把全部有效式都化归、还原为第一 格的AAA式和EAE式。若把他的这套化归程序倒转过来，三段论 就可以被公理化。因此，亚氏三段论化归学说实际上是他试图把三 段论公理化的实践，当然其中不完善之处甚多。

三段论的非标准形式 在日常思维中，所使用的三段论形式常常不标准，有时为 省略式，有时为复杂形式，如带证式三段论，复合式三段 论，连锁三段论，以及其他一些非标准形式。为了验证其 有效性，有时需要将它们化归为标准形式。

四、直言命题的存在含义问题 传统词项逻辑有一个实质性的假定或预设，即直言命 题具有存在含义，其主项和谓项既不能是一个空类，也 不能是一个全类，而是指称由实存个体组成的一个非空 非全的类。所有与直言命题相关的推理，包括对当关系 及其推理、换质法、换位法、换质位法和三段论，都只 有在预先假定直言命题的存在含义的基础上才是有效的， 如果没有这个假定或预设，其中的很多推理关系不再成 立。

当去掉直言命题的存在含义后，给传统的词项逻辑理论 带来了很大的改变： A和E不再具有上反对关系。 I和O不再具有下反对关系。 全称命题和同质的特称命题之间的差等关系不再成立。 限量换位和连续的换质位（或换位质）不再有效。 由两个全称前提得出特称结论的9个三段论式不再成立。 即使允许使用空类和全类，A与O、E与I之间的矛盾关系仍然 成立。

当去掉直言命题的存在含义后，三段论有效的充分 必要条件是： （1）中项恰好周延一次； （2）大项和小项在前提和结论中的周延情况应相同； （3）前提和结论中的否定命题数量相同。由此可以导出 一条规则： （4）前提和结论中的特称命题数目相同。三段论的有效 式是15个。

五、文恩图解法  文恩（John Venn,1834～1923）图是对欧拉图 的改进，用两个相互交叉的圆圈表示直言命题主谓 项关系：

包括这两个圆圈在内的整个空间代表论域，用∪表示；两 个圆圈把∪划分成为四部分：1为SP，2为SP，3为SP， 4为SP。如果再在文恩图的某个区域划上阴影，则表示 该区域没有元素，是一个空类；如果在某个区域写上加号 “＋”，则表示该区域有元素，不是空类。我们用Φ表示 空类，则某个区域如SP是空类，也可表示为一个等式： SP＝Φ。某个区域不是空类，则表示为一个不等式，例 如SP≠Φ。于是，SAP表示为SP＝Φ；SEP表示为SP ＝Φ；SIP表示为SP≠Φ；SOP表示为SP≠Φ。 文恩图没有假定直言命题具有存在含义。

可以用文恩图去验证任一三段论是否有效。由于三 段论有三个词项，我们需要三个相互交叠的圆圈：

用文恩图验证任一三段论是不是有效的三段论时，其步 骤如下： 1．画三个相互重叠的圆圈，分别代表大项、中项、小项； 2．图解两个前提时，如果有一个是全称前提，另一个是特称前 提，应先图解全称前提；在图解特称前提时，要注意表示某部 分不空的记号“＋”所放的位置，假如不能确定应放在线的哪 一边时，就把它放在线上。 3．然后检查该文恩图，看两个前提的图解是否包含了结论的图 解；如果包含了结论的图解，该三段论就是有效的，否则就是 无效的。