§19.2 .1矩形的判定 矩形 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com

温故知新 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 矩形性质 角 边 对角线 对称性 中心对称图形,轴对称图形 四个角都是直角 对边平行且相等 互相平分且相等 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com A C B D ∵∠ACB=90°AD = BD ∴CD = AB

思考 平行四边形具备什么条件时成为矩形呢？ 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 平行四边形 矩形 想一想： 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 想一想： 你认为判断一个四边形是不是矩形，还能用一些什么方法呢？

请你思考 师傅是怎样知道窗户是矩形的呢? 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com

除度量角度之外,木工师傅度量什么也能知道做好的门框是矩形呢? 能证明它的正确性吗? 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com

判定定理1 对角线相等的平行四边形是矩形。 已知：平行四边形ABCD，AC=BD。 求证：四边形ABCD是矩形。 证明: ∵平行四边形ABCD ∴AB=CD ∵BC=BC AC=BD ∴ △ABC≌ △DCB（SSS） ∴ ∠ABC=∠DCB ∵□ABCD、AC=BD ∴□ABCD是矩形 ∵ AB//CD ∴ ∠ABC+∠DCB=180° 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com ∴ ∠ABC=∠DCB=90° ∴四边形ABCD是矩形

按照画“边—直角、边—直角、边—直角、边”这样四步画出一个四边形。 ① ② 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com ③ ④ 判断它是一个矩形吗？你的理由是什么？

矩形判定定理2 有三个角是直角的四边形是矩形 ∵四边形ABCD中， ∠A= ∠B= ∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC， AB∥DC ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵ ∠A=90° ∴四边形ABCD是矩形 ∵四边形ABCD中， ∠A= ∠B= ∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com

定义 矩形判定定理1 矩形判定定理2 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 对角线相等的平行四边形是矩形。 有三个角是直角的四边形是矩形。 矩形的判定： 定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 矩形判定定理1 对角线相等的平行四边形是矩形。 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 矩形判定定理2 有三个角是直角的四边形是矩形。

考考你 对角线相等的四边形是矩形。 对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 有一个角是直角的四边形是矩形。 四个角都是直角的四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形。 对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com

× √ √ × 1.对角线相等且一组对边也相等的四边 形是矩形． 2.两条对角线交点到四个顶点距离相等的四边形为矩形． 判断题 1.对角线相等且一组对边也相等的四边 形是矩形． 2.两条对角线交点到四个顶点距离相等的四边形为矩形． 3.有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形． 4.有三个角都相等的四边形是矩形． × √ 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com √ ×

应用新知 例1 已知□ABCD的对角线AC、BD交于O，△AOB是等边三角形，AB = 4cm，求这个平行四边形的面积. S ∴ =AB·BC = 4×4 =16 cm 2 解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AC = 2OA，BD = 2OB ∵ △AOB是等边三角形∴OA = OB ∴AC =BD ∴ ABCD是矩形∴∠ ABC=90° 在Rt△ABC中， ∵AB = 4cm，AC=2OA=8cm ∴BC= 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com

C．对角线互相平分且相等 D．对角线垂直且相等 选择题 D 　1. 具备条件____的四边形是矩形． A．两条对角线相等 B．对角线互相垂直 C．一组对角是直角 D．有三个角是直角 2. 能够判断一个四边形是矩形的条件是 C 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 　A．对角线相等 B．对角线垂直 　C．对角线互相平分且相等 D．对角线垂直且相等

1. 为庆祝十一国庆节,八年级同学要布置一个矩形花坛. 用串红均匀的摆对角线. 如果一条对角线用38盆,还需多少盆. 为什么 1.为庆祝十一国庆节,八年级同学要布置一个矩形花坛.用串红均匀的摆对角线.如果一条对角线用38盆,还需多少盆?为什么?如果一条对角线用49盆,还需多少盆?为什么? A B C D 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com

ABCD ∠A=90° ABCD 是矩形 ABCD ABCD 是矩形 AC = BD 四边形ABCD ∠A= ∠B= ∠C=90° 是矩形 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 四边形ABCD 是矩形 ∠A= ∠B= ∠C=90°

例1: 如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形． 已知：如图，    ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H， 求证：四边形 EFGH为矩形． 证明：∵AB∥CD 　　∴∠ABC＋∠BCD=180° 　　∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD　　                                         本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com ∴∠BGC=90° 同理可证∠AFB=∠AED=90° ∴四边形EFGH是矩形．(有三个角是直角的四边形是矩形)

2已知：如图．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，求证四边形EFGH是矩形． 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com

3平行四边形ABCD,E是CD的中点,⊿ABE是等边三角形,求证:四边形ABCD是矩形 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com A B

4证明：对角线垂直的任意四边形的中点四边形是矩形 A H D E B 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com G F C

5△ABC中，点O是AC边上一动点，过O点作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F， （1）试说明EO=OF的理由。 （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明你的结论。 A 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com M N O F E B D C