第 7 章 推論方法

推論統計學(inferential statistics)：由相對少數隨機樣本得到統計量，配合適當抽樣分布，推論母體母數或變數分布的過程。 常用方式：母數統計法和無母數統計法。 推論方法：估計(estimation)和假設檢定(test of hypotheses)。

7.1 推論方式 母數統計法或參數統計法(parametric methods)：由樣本統計量推論對應母數的過程，只能用於常態分布的變項。 7.1 推論方式 母數統計法或參數統計法(parametric methods)：由樣本統計量推論對應母數的過程，只能用於常態分布的變項。 無母數統計法或無參數統計法(nonparametric methods)：由樣本變項中變數分布情形推論母體變項中變數分布情形的過程，使用於任何分布形態的變項。

7.1.1 母數統計法 連續變項推論下列三種結果： 1. 一組樣本母體平均數 μ。 7.1.1 母數統計法 連續變項推論下列三種結果： 1. 一組樣本母體平均數 μ。 2. 二組樣本母體平均數差( 1 2 )，但必須先推論二母體變異數是否相等或變異數比 　 是否等於 1？ 3. 二組以上樣本，各組母體平均數是否有差異？但必須先推論各組母體變異數是否相等？稱為變異數分析法。

7.1.1 母數統計法 大樣本間斷變項推論下列二種結果： 1. 一組樣本變項中變數出現母體機率 P。 7.1.1 母數統計法 大樣本間斷變項推論下列二種結果： 1. 一組樣本變項中變數出現母體機率 P。 2. 二組樣本相同變項中相同變數出現母體機率差 ( P1P2 )。

7.1.1.1 母數統計法的選用原則 選用原則： (1) 隨機樣本。 (2) 常態分布或近似常態分布。 (3) 數量數列(包含量化數列)。 7.1.1.1 母數統計法的選用原則 選用原則： (1) 隨機樣本。 (2) 常態分布或近似常態分布。 (3) 數量數列(包含量化數列)。 (4) 由統計量推論母體母數。

7.1.1.1 母數統計法的選用原則 (5) 符合各種假設條件。 7.1.1.1 母數統計法的選用原則 (5) 符合各種假設條件。 (6) 平均數μ或二平均數差 ( 1 2 ) 用 Z分布或 t 分布推論。 (7) 二組以上母體平均數差異或二變異數比 用 F 分布推論。 (8) 大樣本二項分布，變數母體機率 P 或機率差 ( P1P2)用 Z 分布推論。

7.1.2 無母數統計法 連續變項推論下列三種結果： 1. 一組樣本母體中位數M。 2. 二組樣本母體中位數差 ( M1M2)。 7.1.2 無母數統計法 連續變項推論下列三種結果： 1. 一組樣本母體中位數M。 2. 二組樣本母體中位數差 ( M1M2)。 3. 二組以上樣本，各組母體中位數是否有差異？ 間斷變項推論下列二種結果： 1. 一組樣本變項中變數分布情形。 2. 二組以上樣本相同變項中變數分布情形的差異性或相關性。

7.1.2.1 無母數統計法的選用原則 選用原則： (1) 任何分布，又稱母體自由分布統計法(distribution-free methods)。 (2) 類別或分組資料，排出等級(ranks)順序資料，又稱順序統計法（order statistics）。 (3) 資料整理和計算過程比較簡單，假設條件比較少。

7.1.2.1 無母數統計法的選用原則 (4) 數量數列資料容易產生誤差。 7.1.2.1 無母數統計法的選用原則 (4) 數量數列資料容易產生誤差。 (5) 檢定效度(efficiency)和靈敏度比母數統計法低，可用增加樣本數改善。 (6) 利用中位數、二項分布或 分布當作推論依據。 (7) 常用假設檢定法來推論。

7.2 推論方法 7.2.1 估 計 估計(estimation)：得到母數概略估算值的過程。 7.2 推論方法 估計(estimation)：得到母數概略估算值的過程。 假設檢定(test of hypotheses)：驗證依據學理或經驗所做假設是否正確的過程。 7.2.1 估　計 估計方法：點估計(point estimation)和區間估計(interval estimation)。

7.2.1.1 點估計 點估計(point estimation)：抽樣分布是常態分布，樣本統計量直接視為對應母數概略值。 7.2.1.2 區間估計 區間估計(interval estimation)：在設定信賴水準條件下，用點估計值當基準，推測出母數概略值範圍的推論方法。

7.2.1.2 區間估計 信賴係數(confidence coefficient)或信賴水準(confidence level)：區間估計的機率函數值 (1 – α)。 顯著水準(level of significance)：區間估計外的機率函數值α。

7.2.1.2 區間估計 區間估計步驟： (1) 選出信賴水準 (1 – α)，常用0.95。 7.2.1.2 區間估計 區間估計步驟： (1) 選出信賴水準 (1 – α)，常用0.95。 (2) 計算信賴水準 (1 – α)區間範圍。 (3) 計算點估計值。 (4) 推測出信賴區間值。

7.2.2 假設檢定 7.2.2.1 檢定的種類 假設檢定(test of hypotheses)：驗證假設是否成立的過程。 7.2.2 假設檢定 假設檢定(test of hypotheses)：驗證假設是否成立的過程。 7.2.2.1 檢定的種類 假設三種狀況：高於、等於或低於假設值。 二種互相排斥的假設： (1) 虛無假設(null hypothesis)。 (2) 對立假設(alternative hypothesis)。

7.2.2.1 檢定的種類 以母體平均數高於、等於或低於 80 分為例： 7.2.2.1 檢定的種類 以母體平均數高於、等於或低於 80 分為例： (1) 母體平均數高於 80 分互斥假設：右端或右尾檢定 (right-tailed test)。 (7.1) (2) 母體平均數等於80分互斥假設：二端或雙尾檢定(two-tailed test)。

7.2.2.1 檢定的種類 (3) 母體平均數低於80分互斥假設：左端或左尾檢定(left-tailed test)。 7.2.2.1 檢定的種類 (7.2) (3) 母體平均數低於80分互斥假設：左端或左尾檢定(left-tailed test)。 (7.3) 右尾或左尾檢定又稱為單尾檢定(one-tailed test)。

7.2.2.2 第 I 和第 II 型錯誤 真實與假設母數可能發生下列二種誤判情形： (1) H0 假設是對的， H1 假設是錯的：第 I型錯誤 (type I error) 或 α 型錯誤。 接受 H0 是正確判斷。 拒絕 H0 是錯誤判斷。

7.2.2.2 第 I 和第 II 型錯誤 (1) H0 假設是錯的， H1 假設是對的：第 II 型錯誤 (type II error)或 β 型錯誤。 接受 H0 是錯誤判斷。 拒絕 H0 是正確判斷。 檢定檢力 (power of test)：接受對立假設 H1 機率 (1 -β)。

7.2.2.2 第 I 和第 II 型錯誤

7.2.2.2 第 I 和第 II 型錯誤 表7.1的解釋： (1) 接受 H0，對的機率是 (1 –α)，但其中可能包含機率β： (7.4) (1 –α) 的值是不確定的。 (2) 拒絕 H0 ， H0 錯的機率是 (1 –β)，但其中可能包含機率 α，α 是可控制已知值。

7.2.2.2 第 I 和第 II 型錯誤 (3) 機率β以低於0.2為佳。同時降低α和β型錯誤是增加樣本數。 (3) 機率β以低於0.2為佳。同時降低α和β型錯誤是增加樣本數。 (4) 拒絕虛無假設 H0 ，是最想得到的結果。拒絕虛無假設 H0 的條件稱為決策法則(decision rule)。

7.2.2.3 檢定的步驟 假設檢定步驟： (1) 設立假設值。 (2) 設定機率值α，常用0.05。 (3) 判斷抽樣分布。 7.2.2.3 檢定的步驟 假設檢定步驟： (1) 設立假設值。 (2) 設定機率值α，常用0.05。 (3) 判斷抽樣分布。 (4) 選擇右尾、雙尾或左尾檢定原則如下： (a) 結果是變大或增加，用右尾檢定(right-tailed test)。 (b) 結果是發生變化或不相等，用雙尾檢定(two-tailed test)。：

7.2.2.3 檢定的步驟 (c) 結果是變小或減少，用左尾檢定(left-tailed test)。 7.2.2.3 檢定的步驟 (c) 結果是變小或減少，用左尾檢定(left-tailed test)。 (d) 變異數分析法和無母數統計法常用右尾檢定(right-tailed test)。 (5) 建立互斥假設。 (6) 計算統計量。 (7) 依據抽樣分布、機率值α和統計量機率值推論 H0 和 H1 何者成立。 (8) 分析結果得到結論。

7.3 區間估計與假設檢定的關係 信賴上界U (upper confidence limit)或上限：信賴區間的最大值。 7.3 區間估計與假設檢定的關係 信賴上界U (upper confidence limit)或上限：信賴區間的最大值。 信賴下界 L (lower confidence limit)或下限：信賴區間的最小值。 臨界值(critical values)：信賴上界 U 或信賴下界 L。 接受區：信賴水準區。參閱圖7.1和圖7.2 。 拒絕區：顯著水準區。參閱圖7.1和圖7.2 。

圖7.1對稱分布估計與假設檢定的關係

圖7.2　變異數估計與假設檢定的關係

7.4 例　題

7.4 例　題

( 沒有右尾檢定法 )。

雙

7.5 結 語 估計：二端估計，估計母體平均數μ、二平均數差( 1 2)、機率 P 或二機率差(P1  P2)的區間值。 7.5 結　語 估計：二端估計，估計母體平均數μ、二平均數差( 1 2)、機率 P 或二機率差(P1  P2)的區間值。 假設檢定：雙尾、右尾和左尾三種檢定方法，常用α型錯誤做檢定。 母數統計法或參數統計法(parametric methods)：常態分布，利用樣本統計量的抽樣分布，推論母體對應母數的過程。

7.5 結　語 無母數統計法或無參數統計法(nonparametric methods)：任何分布，用間斷抽樣分布或中位數特性推論母體分布特性的過程。