Ch7 - 萬有引力定律 § 7-1 克卜勒行星運動定律 § 7-2 萬有引力定律 § 7-3 萬有引力定律的應用 § 7-3 重力場

§ 7-1 克卜勒行星運動定律 科學家對太陽系的了解： 西元二世紀時，托勒密認為地球是宇宙的中心，提出「地心說」。 西元十六世紀哥白尼提出「日心說」，認為太陽才是宇宙的中心，建構了我們現在所認識的太陽系。 克卜勒利用第谷所遺留給他的大量有關行星運動的精確數據，發現了行星運動的規律，稱為克卜勒定律。 牛頓發現了萬有引力定律，從理論上直接的導出了克卜勒定律。牛頓證明了天體運動和地面物體的運動都遵守同樣的力學定律。

2003年11月，美國天文學家邁克爾·布朗和他的同事在柯伊伯帶中發現了一顆被稱作「塞德娜」的行星，它的體積也和冥王星接近，新行星距離太陽大約 145億公里，公轉週期為 560年。 在英語中，關於行星的稱法只有 planet（大行星）和 asteroid（小行星）兩種。這顆新行星是否為 planet. 科學家的看法仍存有歧見。

行 星 軌 道 數 據 距離太陽 (AU) 半徑 (地球) 質量 (地球) 軌道傾角 (度) 軌道 離心率 水星 0.39 0.38 行 星 軌 道 數 據 距離太陽 (AU) 半徑 (地球) 質量 (地球) 軌道傾角 (度) 軌道 離心率 水星 0.39 0.38 0.05 7 0.2056 金星 0.72 0.95 0.89 3.394 0.0068 地球 1.0 1.00 0.000 0.0167 火星 1.5 0.53 0.11 1.850 0.0934 木星 5.2 11.0 318 1.308 0.0483 土星 9.5 95 2.488 0.0560 天王星 19.2 4.0 17 0.774 0.0461 海王星 30.1 3.9 1.774 0.0097 冥王星 39.5 0.18 0.002 17.15 0.2482

克卜勒行星運動定律： 克卜勒行星第一運動定律：太陽系的行星，各在以太陽為焦點的一橢圓軌道上運行。 b a c x y 橢圓方程式： 近日點 遠日點 b a c x y 橢圓方程式： a 為半長軸；b 為半短軸。 橢圓面積：πab 焦點位置：(c，0) 及 (-c，0) 離心率： 離心率用於代表橢圓的扁平程度。

克卜勒行星第二運動定律：由太陽至一行星的連線，於相等時間中掃過相等面積。 推論一：行星與太陽之間距離 r 的平方與其公轉角速度ω的乘積為一定值。 即

推論二：行星與太陽之間距離 r 與其公轉速度 v 滿足 θ s r θ

克卜勒行星第三運動定律：行星與太陽的平均距離 R 的立方，與行星繞太陽週期 T 的平方之比值對各個行星皆相同。 （對不同的行星） 軌道如為圓形，則 R = 圓的半徑。

例題：一衛星環繞一行星做橢圓形軌道之運動，設此衛星至行星最遠距離與最近距離之比為 2：1，則相對應的角速度之比為 ________。 [84日大] 答案：1：4

例題：已知土星繞太陽運轉之平均距離約為地球繞太陽運轉平均距離的 10倍，則土星繞太陽一周需時__________年。 [83.日大]

例題：海爾—波普慧星的週期約為 2500年，則其與太陽的平均距離，為地球與太陽平均距離的多少倍？ (A)2500 (B)1665 (C)615 (D)185 (E)50。 [86.日大] 註：這顆彗星是在一九九五年七月廿三日由兩位天文學家Hale 和 Bopp 同時發現的。 答案：D

例題：繞太陽運轉的某彗星，其週期為 64年，且近日點距太陽為 2 A.U.，則該彗星在近日點的速率與在遠日點的速率的比值為若干？ 答案：15

例題：設一行星繞太陽在橢圓形軌道運行，其橢圓的長軸與短軸各為 10R 與 8R，而太陽 S 至橢圓形軌道對稱中心 O 點之距離為 3R，且行星在遠日點 B 之速率為 v，則行星在 C 點之速率為何？

例題：行星繞日運行之橢圓軌道的離心率為 e = 0.5，則近日點與遠日點之軌道速率比為何？ 答案： 3：1 例題：上題，若近日點速率為 v1，短軸端點速率為 v2，則 v1：v2 = ？ s b c a

例題：設地球半徑為 R，一太空船以軌道半徑 3R　的圓軌道環繞地球運轉，其週期為 T。現太空船欲返回地球，可在其軌道上某點 A 將速率降低至某適當數值，然後使太空船沿著以地心為焦點的橢圓軌道運行，此橢圓軌道與地表相切於 B 點，如圖。太空船由 A 至 B 需時________T。

例題：已知某行星繞太陽之面積速率為 A，當時與太陽的距離為 r，則其繞太陽公轉的瞬時角速度為何？ 例題：某行星在近日點時與太陽之連線距離為 r，在單位時間內掃過之面積為 A，則其軌道之瞬時速度大小為何？

例題：設行星繞日之軌道均為圓，由地球觀察某行星與太陽之最大夾角為 30o，則 (A) 地球軌道半徑為 R，該行星之軌道半徑為何？ (B)該行星繞日之週期約為幾天？

例題：如右圖所示，甲、乙兩人造衛星以圓形軌道繞地球運轉，假設運行的軌道在同一平面上，且運行的方向相反。甲衛星發現每隔 1∕9 週期會與乙衛星相遇（即甲、乙兩衛星與地球恰在一直線上且在地球同側），若忽略甲、乙兩衛星間的作用力，則甲、乙兩衛星軌道半徑之比為何？ (A) 1：4 (B) 1：2 (C) 1：1 (D) 2：1 (E) 4：1。 [95.指定科考] 答案：E 地球

§ 7-2 萬有引力定律 萬有引力定律： 任何兩質點之間存在一互相吸引之力，稱為萬有引力或重力。此力的大小與兩質點的質量成正比，與兩質點之間的距離平方成反比 F r m1 m2 1798年，英國科學家卡文迪西利用兩對大小鉛球之間的萬有引力對連桿產生的力矩，在實驗室中準確的測出萬有引力常數 G 值。

(a) 卡文迪西的扭擺實驗裝置。 (b) 現今教學實驗室所使用的實驗裝置。

利用所測出的 G 值，卡文迪西是第一位推算出地球質量與密度的科學家。推算過程如下：

例題：太空人乘坐火箭離開地球，當其體重減半時，火箭離地高度為地球半徑之幾倍？

例題：某星球其平均質量密度與地球相同，半徑為地球之兩倍，在地球上重量為 64 公斤的人到該星球上時，其重量為： (A)16公斤 (B)32公斤 (C)128公斤 (D)256公斤。 [69.日大] 答案： C

牛頓的球殼定理： 均勻薄球殼對球殼內的質點所產生的萬有引力為零 r1 r2 m1 m2

例題：密度均勻，質量為 M，半徑為 R 的球體對距離其球心為 r，質量為 m 的質點，所產生的萬有引力為何？ F r R 質點受到均勻球體的吸引力 F 隨其與球心距離 r 的關係圖如右圖所示。

例題：獨立系統中，密度均勻，質量 M、半徑 R 之實心球，挖掉切過球面且半徑為 R∕2 的球體，如右圖所示，則在下列條件下，質量 m 之質點所受之引力若干？ 質點在 (A) 離球表面垂直距離 R 處之 A 點 (B) 球表面上之 B 點 (C) 球心 O 點 (D) 空球心 C 點。 R A B O C

例題：從半徑為 2R 的均質球體，挖取半徑為 R 的小球後，再將小球置於大球的左側且與它相切（如圖），設挖出的小球質量為 m，則兩者之萬有引力大小為

例題：假如我們可以由地球一端沿徑向挖地道，通過地球中心而到達另一端。忽略摩擦力並假設地球為均勻球體。則將物體由地道的一端釋放，試求物體到達另一端的時間。

萬有引力的性質： 兩個具有體積的物體，其間的萬有引力須以積分的方法來計算，不一定可以看成是所有質量都集中在質心來計算。 一個均勻球體對外界物體所產生的吸引力，相當於球體的質量全部集中於球心處的質點所產生的吸引力。 均勻球殼對球殼內的質點所產生的萬有引力為零；對球殼外的質點所產生的吸引力，相當於球殼的質量全部集中於球心處的質點所產生的吸引力。

牛頓對克卜勒定律的解釋： 第一定律的解釋：若行星受到太陽的引力遵守距離平方反比定律，且行星的力學能小於零，利用微積分可以證明行星的公轉軌道將會是以太陽為焦點的橢圓形軌道。 第二定律的解釋：牛頓指出，行星與太陽之間的引力為連心力，由角動量守恆定律可證明行星與太陽的連線於相同的時間內將掃過相等的面積。 第三定律的解釋：行星的公轉如為圓形軌道，則第三定律的証明是容易的。太陽對行星的引力提供行星作圓周運動所需的向心力，因此 m M R

例題：如果重力定律中兩質點間引力的大小與其距離的 n 次方（n≠2）成反比，考慮一群以圓形軌道繞行恆星的行星，設各行星的週期與其軌道半徑的平方成正比，則 n 的值應為： (A) 1 (B) 3/2 (C) 5/2 (D) 3。 [74日大] m M r 答案：D

例題：假如兩顆行星以圓形軌道環繞太陽運行，軌道半徑比為 1：4 求 (a) 週期比； (b) 軌道速率比； (c) 角速率比； (d) 向心加速度比。

§ 7-3 萬有引力定律的應用 人造衛星：牛頓在其著作中曾討論人造衛星環繞地球的可能性。將物體在地球表面的高處以足夠大的水平初速發射，則其軌道可從通常落至地面的拋物線，轉變成環繞地球的圓形軌道，甚至橢圓形的軌道。 人造衛星依其用途可分為軍事用途或作為全球衛星定位系統的地表衛星與通訊用途的同步衛星。 牛頓在其原著中的插圖。

人造衛星在圓形軌道上運轉所需的向心力，來自於地球對其萬有引力。因此令地球質量為 M，半徑為 R ，則質量為 m ，在半徑為 r 的軌道上運轉的人造衛星滿足 解出人造衛星的軌道速率 v 與週期 T

例題：若地表之 g ＝ 10 公尺∕秒2，地球半徑 r ＝ 6.4 × 106　公尺，則在地表上運行之人造衛星之週期為何？ 答案：5025秒

例題：週期與地球自轉周期相等的衛星稱為同步衛星。同步衛星的軌道面如與地球的斥道面一致，則從地球上的人看來，衛星好像靜止在空中同一位置。試求同步衛星的軌道半徑。

例題：一顆人造衛星在地球表面上高度為 R 的圓週軌道上運行（R 為地球半徑）。如果在此高度上的重力加速度為 a，則此人造衛星的速率為________。（以 R 和 a 表示） [82.日大]

例題：地球半徑為 R，距地心 r 處有一同步衛星。密度和地球相同之 A 星球半徑為 2R，距其球心 2r 處亦有一同步衛星。則 A 星球之自轉週期應為幾日？ 答案：1日 m r R M 2r 2R 8M

例題：在相距甚遠之 A、B 兩行星之表面各有一顆衛星 a、b，測得衛星 a、b 分別繞行星 A、B 運轉的週期為 Ta、Tb，則兩行星 A、B 的密度比ρa：ρb 為何？ 答案：Tb2：Ta2

例題：地球自轉週期大約變為若干秒時，就可以使赤道上人的視重為零？（已知地球半徑為 6400公里） 答案：5 x 103 秒

例題：質量為 m 的小華在赤道上秤重為 (7/8)mg，已知地表重力加速度為 g，地球半徑為R，則此時地球自轉週期為何？

雙星系統：兩星球以彼此間的萬有引力相吸，繞著共同的質心作圓形軌道運行，構成雙星系統。如兩星球的質量各為 m1、m2 ，相距為 d，則 軌道半徑： m1 m2 d r1 r2 週期：

軌道速率：

例題：外太空中有相距 d、質量分別為 m 及 2m 的雙星，在同一平面上互繞其共同質心作等速率圓周運動，試求質量 2m之星體其 (1)軌道半徑；(2)受力；(3)加速度；(4)角速度； (5)速度；(6)週期量值　各為何？

例題：三個質量同為 M 的質點，位於邊長為 L 的等邊三角形的頂點。在萬有引力影響下，這三質點在外接此等邊三角形的圓形軌道運轉，且仍保持彼此間的距離。求 (1)各質點所受的萬有引力的大小 (2)運轉的角速度的大小。 [82.夜大] F

潮汐現象：潮汐現象是由月球對地球上的各處不均勻的引力所造成。水為流體，最靠近月球的 A 處受到的引力最大，水往此處集中。另一處漲潮的地方是背對月球的 B 點，因此處受到月球的引力最小。月球與地球間的引力對地球--月球的系統而言為內力，不影響系統的質心位置，因此當 A 處漲潮時，B 處也必須漲潮。 結合地球的自轉與月球繞地球的轉動，地球同一處連續兩次面對月球的時間約為 25 小時。因此每經 12.5 小時即會漲潮一次。 月球 A B C.M.

§ 7-3 重力場 場的意義：一物理量如分佈於整個空間，其值為時間與空間的連續函數即可稱之為場。可分為純量場與向量場。 重力的兩種觀點： 瞬間超距的觀點：早期認為兩物體之間所產生的重力不需任何媒介，是超越距離的。且重力的大小隨兩物體之間距離的變化是瞬間的，此種觀點稱之為瞬間超距的觀點。 場的觀點：後來引入場的觀點，認為兩物體之間所產生的重力是以場為媒介，即一物體先在其週圍產生重力場，其它物體在重力場中與場作用產生重力。此種觀點稱之為場的觀點。

重力場的定義：單位質量的物體，在空間中某一點所受的重力大小，定義為該點重力場的強度，所受重力的方向定義成該點重力場的方向。因此質量 m 的物體在重力場為 重力場的計算： 單一質點所產生的重力場：質量為 M 的質點在與其相距為 r 處所產生的重力場 質點系統所產生的重力場： 質點系統所產生的重力場為將系統內每個質點所產生的重力場以向量相加得到。即

重力場與重力加速度：質量 m 的物體在重力場強度為 g 處，所受到的重力 F，所產生的加速度 a，根據牛頓第二運動定律 地球所建立的重力場：如將地球視為密度均勻，質量為 M，半徑為 R 的正球體，則在距球心為 r 處的重力場強度 重力場與重力加速度：質量 m 的物體在重力場強度為 g 處，所受到的重力 F，所產生的加速度 a，根據牛頓第二運動定律 即重力場等於重力加速度。

例題：設某星球之質量為地球之 5 倍，其半徑為地球之一半，且密度均勻。則在此星球表面的重力場強度為地球表面重力場強度之幾倍？ 答案：20 例題：設有兩相距甚遠之恆星 A 與 B，其平均密度比為 ρA：ρB = 1：2，質量比為 MA：MB = 4：1。則此兩恆星表面之重力場強度比為何？ 答案：gA：gB = 1：1

例題：假設有一星球其密度為地球的 a 倍，其半徑為地球的 b倍，該星球表面之重力場強度為地球的幾倍？

THE END