國三統計單元教材分享 台北市立中崙高中:呂虹毅

不同階段統計與機率的教學目標 教 學 目 標 國小 國中 高中 報讀簡單統計圖形 (長條圖、折線圖、圓形圖)並理解其概念。 理解統計的意義 教 學 目 標 國小 報讀簡單統計圖形 (長條圖、折線圖、圓形圖)並理解其概念。 國中 理解統計的意義 認識各種簡易統計方法(算.中.眾.全.四.盒)。 高中 樣本空間與事件.機率的性質. 數學期望值. 統計抽樣的意義方法 次數分配表 累積次數分配曲線 平均數 離差

去年和今年有何不同 去年國三(95學年) 今年國三(96學年) 一元ㄧ次不等式 二次函數及圖形 統計:資料分配與統計圖 百分位數與百分等級 百分位數 圓形百分圖 平均數 中位數 眾數 全距 四分位距 盒狀圖 抽樣與調查

去年和今年有何不同 百分等級:並無明確之定義，求法亦有多種，但任一 求法誤差都很大，故國中正式教材中不教 百分等級（僅補充用）。 一元ㄧ次不等式:已移至國一下學習。 二次函數及圖形:去年無。 平均數,中位數,眾數:今年新增 全距,四分位距,盒狀圖:今年新增

為何改變—從國高中銜接觀之 國中 高中 國三下 第二章 平均數 中位數 眾數 高二下 3-6平均數 全距 四分位距 盒狀圖 國三下 第二章 平均數 中位數 眾數 高二下 3-6平均數 幾何平均數 全距 四分位距 盒狀圖 高二下 3-7離差 四分位差 標準差

今日主題 全距 四分位距 盒狀圖

全距 目的:全距可讓我們了解一群數值資料的離散情形(變動大小)。 全距（Range）：一群數值資料裡，最大的資料值減去最小的資料值的差，稱為全距，有時亦以R表示。 目的:全距可讓我們了解一群數值資料的離散情形(變動大小)。

全距-- 例1:甲、乙兩公司各有50位員工 公司 最高薪資 最低薪資 差距 甲 150000 37500 150000－27500＝112500 乙 96000 31500 96000－31500＝ 64500 甲公司50位員工每月最高薪資與最低薪資的差距較乙公司大。

全距（Range）顯示的意義： 可顯示一群數值資料的離散情形，全距愈大，表示這群資料愈疏散，全距愈小，表示愈集中。 的全距為62分與34分。 例如:甲、乙兩班均有35人，此兩班各35同學數學成績 的全距為62分與34分。 表示任意兩位甲班學生的數學成績差不超過62分， 任意兩位乙班學生的數學成績差不超過34分， 直覺上甲班的數學成績離散情形會較乙班大。

使用全距的優缺點 優點：簡明易懂, 計算方便 缺點： 感應不夠靈敏,且容易受特別大或特別小的值 的影響 只與最大值與最小值有關,無法得知資料中 其他數值間的變化情形,容易以偏概全

使用全距易產生的問題 全距只考慮整群資料的最大值與最小值，若這兩個極端值與其他資料相差較大，並不適合用全距表示這群資料的離散情形。 例如:甲班35學生的數學成績如下

使用全距易產生的問題 例如:甲班35學生的數學成績如下 :成績分佈在53~86分，相差33分 100, 80, 86, 78, 86, 65, 56, 72, 38, 56, 55, 70, 53, 64, 53, 71, 66, 76, 79, 81, 82, 78, 74, 59, 72, 79, 80, 64, 57,63, 77, 49, 92, 90, 75 甲班全距為100－38＝62(分) :成績分佈在53~86分，相差33分 >1/2:成績分佈在70~86分，相差只16分 甲班成績其實相當集中，只是出現了100分與38分這 樣的極端值

高中課本全距銜接-- 一、未分組資料 未分組資料由小而大排列為X1、 X2 … Xn，則 Ｒ= Xn －X1。

高中課本全距銜接-- 二、分組資料 1.分組資料每組範圍只用一個數值為代表,設Y1、Y2 、… Yk為代表數,且Y1<Y2<、… <Yk,則Ｒ= Yk －Y1。 2.分組資料中,組間分別為C0~C1 、 C1~C2 、 … Ck-1~Ck ,且C0<C1<C2<、… <Ck, 則Ｒ= Ck －C0。 Ｒ= (最後一組的上限)－ (第一組的下限)

如何改善? 改善用全距描述一群資料離散情形的方法： 不考慮這群資料值較小的四分之ㄧ及較大的四分之ㄧ,只觀察位於資料中央百分之五十的數值之離散情形。 使用四分位距（四分位差）

四分位距 （Inter Quartile Range，簡寫為IRQ）： 位數(Q1)之差 即Q3－ Q1 四分位距的意義：可顯示一群數值資料中間百分 之五十的資料分散的程度。 四分位距的求法:第3四分位數(Q3)與第1四分 位數(Q1)之差 即Q3－ Q1

如何求四分位數 四分位數之求法不唯一:我們採用的求法是一般最常用，亦是最易求之方法。 四分位數的求法： 25百分位數:又被稱為第１四分位數(Q1) 50百分位數:又被稱為第2四分位數(M) 75百分位數:又被稱為第3四分位數(Q3) 但二者並不完全相同。

四分位數的意義 Q1稱為第25百分位數:第1四分位數 亦即至少有四分之ㄧ的資料小於或等於Q1，也至 少有四分之三的資料大於或等於Q1。 Q2稱為第50百分位數:第2四分位數,即中位數(M) Q3稱為75百分位數:第3四分位數 亦即至少有四分之三的資料小於或等於Q3，也至少有四分之一的資料大於或等於Q3。

不同的資料筆數求四分位距 N=5: 21 23 28 30 31 Q3=30.5 Q1=22 N=6: 19 21 23 28 30 31 Q3=30 Q1=21 N=7: 19 21 23 28 30 31 32 Q1=21 Q3=31 N=8: 18 19 21 23 28 30 31 32 Q1=20 Q3=30.5

百分位數的求法 若一群未分組資料共有n個數值: 1.先將這群資料由小到大排列； 2.計算n× 之值（k＝1、2、3），並令此 值為m 3.(1)若m非整數:而p是大於m的最小整數，則排 在第p位資料值即這群資料的第k四分位數。 (2)若m是整數:則排在第m位與m＋1位資料值的 算術平均數就是這群資料的第k四分位數。

百分位數的求法例題 以下為三年丙班19男生體重（單位：公斤）的資 料： 57、60、62、47、52、73、65、50、46、48 78、55、68、80、64、78、82、49、53 請問三年丙班男生體重的四分位距

百分位數的求法例題 將19位男生的體重由小到大排列如下： 46、47、48、49、50、52、53、55、57、60、 62、64、65、68、73、78、78、80、82 19× ＝4.75 第1四分位數是排在第5位的體重50公斤 19× ＝14.25 第3四分位數是排在第15位的體重73公斤 四分位距＝Q3－ Q1＝73－50＝23

高中課本四分位距(差)銜接 一、未分組資料 1.資料筆數n=4k+2與4k+3時 則Q1＝X（k+1), Q3=X（n-k), 則Q1＝ {X（k)+X（k+1)} Q3＝ {X（n-k)+X（n-k+1)}

高中課本四分位距(差)怎麼說-- 二、分組資料

國高中課程- 不分組：例題 資料筆數為4k與4k+1時 資料筆數為4k+2與4k+3時

不同的資料筆數求四分位距 N=5: 21 23 28 30 31 Q3=30.5 Q1=22 N=6: 19 21 23 28 30 31 Q3=30 Q1=21 N=7: 19 21 23 28 30 31 32 Q1=21 Q3=31 N=8: 18 19 21 23 28 30 31 32 Q1=20 Q3=30.5

討論：請觀察資料筆數為4k+1筆時 N 求法 Q1 M Q3 5(4k+1) 四分 22 28 30.5 百分 23 30 6(4k+2) 21 25.5 7(4k+3) 31 8(4k) 20

資料筆數為4k+1筆時(正綱研習) 當原始資料之個數為4k+1(當為正整數)時，Q1與25百分位數，Q3與75百分位數有時會不同。

聽聽不同的聲音 求法不唯一,國中階段以學生易懂為第一優先考量P25 , P75簡明易懂 若題目未宣告,合理求法都應接受 國中課本的編法清晰易懂

教學之因應 避開未分組資料個數為4k+1筆(當為正整數)之命題 排序之量度法有許多種：4分率(4分位數)、10分率(10分位數)、百分率(百分位數)等，這些量度法之基本觀念均相同，而其中被正式定義過的只有百分率(百分位數)，合乎定義之百分位數可能是一點(唯一解)，亦可能是一個閉區間(多解)—引自正綱 避開未分組資料個數為4k+1筆(當為正整數)之命題

五數綜合之「盒狀圖」(Box Plot) (國中階段) 一群資料中的最小值、第1四分位數(Q1）、第2四分位數（Q2）、第3四分位數（Q3）以及最大值，可將此群資料分成四部份。 圖中長方形圈起來的部份，形狀像個盒子，這種圖示即稱為這群資料的盒狀圖。

盒狀圖的功用 由一群資料的盒狀圖，可概略看出「最小值~Q1、Q1~Q2、Q2~Q3、Q3~最大值」這四個部份資料的分散情形，亦可觀察整體資料的分布概況。

盒狀圖 15 50 67 87 98 例題: （1）全班成績都在15分到98分嗎？是否有同學的成 績超過98分？是否有同學的成績為15分？ 15 50 67 87 98 （1）全班成績都在15分到98分嗎？是否有同學的成 績超過98分？是否有同學的成績為15分？ (2)15~50分、50~67分、67~87分、87~98分這四部 份的資料各占全部資料的幾分之幾？哪一部分 的資料可能較分散？

另ㄧ種盒狀圖(非國中教材) 10百分位數 Q1 M Q3 90百分位數

盒狀圖教學上建議 建議列出「最小值、Q1、Q2、Q3 、最大值」這五數

盒狀圖：盒子涵蓋整組數據的中間一半，兩端分別位於第一、第三兩個四分位數。 成績 甲班 乙班 丙班

為何用四分位距與盒狀圖 全距大表資料較疏散，全距小資料較集中。 當存在少數特別大或特別小的資料時，四分位距比全距適合來描述整組資料的分散程度。 很容易從盒狀圖看出資料集中所在和分析幾組資料間的關係。 一起比較時，盒狀圖很有效。若只呈現單一分佈，通常不是好的選擇，因為看不到許多細節。

了解資料整體之特性 用二個量測數據去了解整體 方法一：用特徵值，如：中心、離度、 離群值(非國中階段) 方法二：用簡易圖形綜合上述特徵值，如： 「盒狀圖」

了解資料整體之特性 對一個(相對)次數分配而言，最重要的特徵值有三: (1) 代表值：中心 (2) 分散程度：離度 (3) 異常狀況：離群值(非國中教材) 若以百分位數表示法視之，則可以 (1) 中位數(50百分位數)表示「中心」。 (2) 全距(即：最大值減最小值)及四分位距 (即：75百分位數減25百分位數)表示 「離度」。 (3) 10百分位及90百分位表示「離群值」。 (非國中教材)

謝謝大家 台北市立中崙高中:呂虹毅