第6章 电路的暂态分析 6－1 基本概念及换路定则 6－2 一阶电路的暂态分析 经典法、三要素法 6－3 微分电路与积分电路

第6章 电路的暂态分析 基本要求 本章重点 掌握换路定则及电路物理量初始值的确定； 第6章 电路的暂态分析 基本要求 掌握换路定则及电路物理量初始值的确定； 了解计算电路过渡过程的经典法，掌握计算电路过渡过程的三要素法； 熟练掌握时间常数的计算； 了解一阶电路和二阶电路的概念； 掌握电路全响应与零输入响应和零状态响应的关系；了解零输入响应、零状态响应和稳态响应、暂态响应的区别； 本章重点 利用换路定则确定电路物理量的初始值；应用三要素法计算电路暂态响应。

6－1 基本概念 激励与响应 稳态与暂态 稳态响应、暂态响应 换路、换路定则

一定条件下，电路中各支路电压和电流不随时间变化或者为幅值和频率恒定的正弦量，此时电路处于稳定状态（稳态） 条件改变，电路会从一种稳定状态过渡到另一种稳定状态，其间经历的过程称为过渡过程；这两个稳态之间的状态称为过渡状态，由于过渡状态的持续时间短暂，所以也称为暂态或瞬态 t u t u t0 t1 暂态 稳态1 稳态2 稳态2 稳态1 暂态 t0 t1

u i i2 R2 R1 开关在打开之前电路处于稳定状态，此时 C uC 电容的两个极板上储存了一定量的正负电荷，也即储存了一定的电场能量。 u R2 R1 i’ 开关打开瞬间，电源不再给电路供电，此时电容放电，使得电阻R2在开关断开后的一段时间内依然有电流通过。此时的储能元件类似独立电源给电路提供能量。

电路分析中常把电路中的独立电源称为激励或输入 在激励或储能元件作用下，电路中产生的电压或电流称为电路的响应；电路响应在0≤t≤时间范围内的变化称为电路的时域响应。 仅由独立电源（激励）引起的电路响应称为零状态响应；仅由电路内储能元件的初始状态引起的电路响应称为零输入响应；由独立电源和储能元件初始状态共同引起的电路响应称为全响应

换路前电容储存了一定的电能，换路后，电容储存的能量通过电阻转化为热能消耗掉，电容电压将由初始值逐渐减小以至趋于0，电路进入新的稳态 R C U0 1 2 t=0 换路前电容储存了一定的电能，换路后，电容储存的能量通过电阻转化为热能消耗掉，电容电压将由初始值逐渐减小以至趋于0，电路进入新的稳态 i(t) uR(t) uC(t) 零输入响应 如果开关闭合前电容不带电，开关在t=0的瞬间闭合，理想直流电压源与电路接通，电容充电，电容电压将由0逐渐升高，充电电流逐渐减小，直至充电结束，电路进入新的稳态：电容电压等于外加直流电压，电流为零 R C U t=0 i(t) uR(t) uC(t) 如果开关闭合前电容带电，开关在t=0的瞬间闭合后，整个电路的暂态响应是独立电源和储能元件初始储能的共同作用结果。此时的暂态响应是零输入响应和零状态响应的叠加 零状态响应

线性电路的全响应可以利用叠加原理计算，先分别计算零状态响应和令输入响应，然后求二者之和即可。 t u O 零状态响应 全响应 零输入响应

换路定则 换路：引起电路中产生暂态过程的电路变化，如接通、断路、短路、电源或电路参数的突然改变等。 电路产生暂态过程的根本原因是电路中的电场和磁场的能量不能突变。 结论一：电感的磁链或电流、电容的电荷或电压在换路瞬间不能突变 y t y’ 结论二：电感电压、电容电流可以突变，即换路前后瞬间的数值可以不相等。

换路定则 换路定则：换路瞬间，电容元件的电荷和端电压以及电感元件的磁链和电流都保持不变。 换路定则的应用：仅适用于换路瞬间，用于确定t=0+时刻电路电压和电流之值，即暂态过程的初始值。

实例一 6.1.3 图示各电路在换路前都处于稳态，试求换路后其中电流i的初始值i(0+)和稳态值i() iL _ 6V + L 2 i t=0 解：电路在t=0时刻发生了换路，换路瞬间电感中的电流不变，即 换路前电路处于稳态，电感相当于短路 故， 换路后电路达到稳态时，电感相当于短路

实例二 i 解：电路在t=0时刻发生了换路，换路瞬间电容两端的电压不变，即 + _ 换路前电路处于稳态，电容相当于开路，所以 故换路后， 6V + 2 t=0 C 解：电路在t=0时刻发生了换路，换路瞬间电容两端的电压不变，即 换路前电路处于稳态，电容相当于开路，所以 故换路后， 换路后电路达到稳态时，电容相当于开路

实例三 L1 解：电路在t=0时刻发生了换路，换路瞬间流经电感的电流不变，即 i L2 换路前电路处于稳态，电感相当于短路， 换路后， 6A L1 2 i t=0 L2 解：电路在t=0时刻发生了换路，换路瞬间流经电感的电流不变，即 换路前电路处于稳态，电感相当于短路， 换路后， 换路后电路达到稳态时，电感相当于短路，所以

实例四 解：电路在t=0时刻发生了换路，换路瞬间电容两端的电压不变，即 i + 换路前电路处于稳态，电容相当于开路， _ 换路后， 6V + 2 t=0 C 解：电路在t=0时刻发生了换路，换路瞬间电容两端的电压不变，即 换路前电路处于稳态，电容相当于开路， 换路后， 换路后电路达到稳态时，电容相当于开路，所以

换路瞬间电路元件电压电流变化 电容电压不能突变 电感电流不能突变 电容电流 可以突变 电感电压 可以突变 电容电流 可以突变 电感电压 可以突变 电阻的电压与电流 由欧姆定律决定，可以突变

特殊情况 恒压源与未充电的理想电容接通，或恒流源与未充电的理想电感接通时 iL i uC u C uL L 电路接通瞬间，根据基尔霍夫电压定律，电容器应立即建立起与电源电动势相等的电压，但换路定则规定电容上的电压不能突变。这时可认为电路接通瞬间，电容中的电流为无穷大，并且立即建立起电压，使之符合基尔霍夫定律。（或者干脆认为换路定则不适用于这种情况）

课堂练习 图中电路开关S原处于闭合状态，电路已达稳态，求开关S打开瞬间（即换路前后）电阻R1、电容和电感元件的电压和电流。 已知U=100V，R1=R2=R3=100。 U R1 R2 R3 S C L

U R1 R2 R3 uC(0_) uL(0_) iR1 + - uR1 iC iL (1)开关打开（即换路）前，直流激励下，电容相当于开路，电感相当于短路 (2)开关打开（即换路）后，根据换路定则： U R1 R2 R3 uC(0+) uL + - iL(0+) iC 由图： 由KVL得：

6－2 一阶电路的暂态过程分析 含有一个或等效为一个储能元件的线性电路，其KVL方程为一阶微分方程，这类电路称为一阶电路。可以类推，含有多个独立储能元件的电路称为高阶电路 R C U

经典法 R C U t=0 i(t) uR(t) uC(t) 换路后，由KVL有： 根据电路中各元件的电压电流关系： 代入回路电压方程得： 求解此一阶常系数线性非齐次微分方程，得 时间常数 由初始条件求待定系数A： 得： 由全解：

经典法 电容电压全响应： 稳态分量 暂态分量 零输入响应 零状态响应 零输入响应（U=0时）： 零状态响应（U0=0时）：

求解一阶线性电路暂态响应时，首先根据基本电路定律得到换路后电路的电压电流微分方程，求解该微分方程的通解和特解，然后利用换路后的电压电流初始值确定全解中的待定系数——经典法

时间常数 t U0 O uC 36.8%U0 1 2 指数曲线上任意点的次切距的长度都等于 t O uC uC(t0) t0 

一阶电路响应 响应 类型 电路结构 微分方程 特征方程 时间常数 通解 特解 全解 图示 零输入响应 RC 串联 RL 零状态响应 全响应 初始 值 微分方程 特征方程 时间常数 通解 特解 全解 图示 零输入响应 RC 串联   RL 零状态响应 全响应

课堂练习 图示电路中，已知U=20V，L= 0.01H，R1=R2=20，R3=10，开关闭合前电路处于零状态iL(0-)=0。求开关闭合后的电感电流 U R1 R2 R3 S L

课堂练习解题思路 iL iR i U R1 R2 R3 L U0 R0 L a b iL 戴维南等效 a b

当分析较为复杂的一阶线性电路时，可以将储能元件以外的电路部分视为一个有源二端网络，利用戴维南或诺顿定理将换路后的电路简化为一个简单的电路，再利用上述结果求解电路暂态

本章习题 P.224 6.2.5 ，6.2.11

一阶常系数非齐次微分方程 一阶常系数线性非齐次微分方程的解包括两部分：特解u” 和齐次方程的通解u’ 即： u’满足齐次方程 所以： u”满足方程 u’仅取决于电路本身，与激励无关，称自由分量 u’随时间增加而衰减，称暂态解或暂态分量 任一特解： 所以全解：

一阶齐次微分方程 一阶常系数微分方程的通解是： 其中A、p为待定系数 将通解带入原微分方程，可得： 即： ——原微分方程的特征方程

微分方程的特征方程 一阶微分方程： 特征方程： 二阶微分方程： 特征方程： n阶微分方程： 特征方程：