第14讲 特征值与特征向量的概念与计算 主要内容： 1.特征值与特征向量的概念 2.特征值与特征向量的计算

第4章 特征值与特征向量 特征值与特征向量与线性变换密切相关,属于线性代数研究内容. 实际上,它是矩阵理论的主要内容之一. 在18世纪中叶利用行列式对二次曲线和二次曲面进行分类时,就出现了方阵的特征值问题,见第5章.

给定方阵A，对于某些非零向量x，通过线性变换得到的向量Ax与x是共线的，即存在数满足Ax = x，这时就是A的特征值，x就是A的对应于的特征向量. 方阵A的特征值是反映方阵A的某种特征的数值(类似于R(A)),它在计算Akx时也起着重要作用.

由于其广泛的应用背景，已研究出多种方法计算方阵的特征值和特征向量，特别是其经典数值计算方法和各种智能计算方法. 本章内容涉及到线性方程组、矩阵和向量方面的诸多知识，要求大家具有一定的综合运用知识的能力. 本章在复数范围讨论.

4.1 特征值与特征向量的概念与计算 4.1.1 特征值与特征向量的概念 对于给定的方阵A和非零向量x，可以考虑通过线性变换得到的向量Ax. 给定方阵A，对于某些非零向量x，通过线性变换得到的向量Ax与x是共线的，即存在数满足Ax = x，这时就是A的特征值，x就是A的对应于的特征向量.

一般地,有 Def 4.1 设A是n阶方阵, 若存在数 和非零向量x, 使得Ax = x, 则称为方阵A的特征值(eigenvalue), x是对应于的特征向量(eigenvector corresponding to the eigenvalue ). 首先注意, 特征向量是非零向量.

根据定义，有 (1) 若x是A的对应于的特征向量，则对于任意k  0, kx也是A的对应于的特征向量. 因为由 Ax = x, 可以推出 这说明,方阵A的对应于的特征向量不是唯一的, 而是有无限多个.

(2) 若x1, x2是A的对应于的特征向量且x1 + x2  0, 则 x1 + x2也是A的对应于的特征向量. 由于Ax1 = x1, Ax2 = x2, 于是

由(1)和(2)知，对于方阵A的对应于的特征向量x1, x2,… xm, 其非零的线性组合 令V = {x|Ax = x}, 可以验证V是一个向量空间,称为A的对应于的特征子空间.

4.1.2 特征值与特征向量的计算 根据特征值与特征向量的定义知, 若线性方程组Ax = x有非零解x, 则就是A的特征值, x就是A的对应于的特征向量. 设

Ax = x  (A - E)x = 0. (A - E)x = 0有非零解  |A - E| = 0.

为了方便, 将 称为方阵A的特征多项式(characteristic polynomial), 它是一个关于的n次多项式, 可记为f(), 称|A - E| = 0为A的特征方程(characteristic equation).

根据以上的分析知，方阵A的特征值就是其特征方程的根 根据以上的分析知，方阵A的特征值就是其特征方程的根. 因为在复数范围内, n次多项式必有n个复数根(重根按重数计算), 例如关于的6次多项式( +1)2( - 1/2)( - 5)3 = 0的根为-1(二重根)、 1/2(单根)和5(三重根), 所以任意n阶方阵均存在n个特征值, 进而方阵A的特征值是一些特殊的数值.

diag(1, 2,…, n)的特征值为1, 2,…, n. 若|A| = 0, 则|A - 0E| = 0,于是A有一个特征值0. (充要条件) 若Ax = 0有非零解, 则  = 0是A的一个特征值. (充要条件)

当得出方阵A的特征值后, 方阵A的对应于的特征向量就是(A - E)x = 0的所有非零解. Step1 计算A的特征多项式|A - E|. Step2 令|A - E| = 0得出A的所有不同的特征值.

Step3 对于每个不同的特征值,求出齐次线性方程组(A - E)x = 0的所有非零解即得A的对应于的全部特征向量. 更具体地说, 先求出(A - E)x = 0的一个基础解系1, 2,…, n-r,其所有非零的线性组合k11+ k22+…+ kn-rn-r (只要k1, k2, …, kn-r不全为0)就是A的对应于的全部特征向量, 其中R(A) = r.

例4.1 设 求A的特征值与特征向量. Solution

|A - E| = 0得出A的所有不同的特征值 = 1,  = 7. 当 = 1时, (A - 1E)x = 0为

于是A的对应于1的全部特征向量为 其中k1和k2不全为0. 当 = 7时, (A - 7E)x = 0为

同解的齐次线性方程组为 令x3 = 1, 于是A的对应于7的全部特征向量为

例4.2 设 求A的特征值与特征向量. Solution

|A - E| = 0得出A的所有不同的特征值 = 0,  = 1. 当 = 0时, (A - 0E)x = 0为

令x3 = 2, 于是A的对应于0的全部特征向量为 当 = 1时, (A - 1E)x = 0为

令x3 = 1, 于是A的对应于1的全部特征向量为 Remark 一般地，若是A的k重特征值,则齐次线性方程(A - E)x = 0的基础解系中至多含k个解向量.

例4.3 设 求A的特征值与特征向量. Solution

|A - E| = 0得出A的所有不同的特征值 = -1,  = i,  = -i. 当 = -1时, (A – (-1)E)x = 0为 令x1 = 1, A的对应于-1的全部特征向量为

当 = i时, (A – iE)x = 0为 令x3 = 1, A的对应于i的全部特征向量为

当 = -i时, (A –(- i)E)x = 0为 令x3 = 1, A的对应于-i的全部特征向量为 Remark 任意n阶方阵均存在n个特征值,可能有些特征值是虚数,对应于它的特征向量的分量中一般含有虚数.