大地工程原理 第八章 滲流

滲流 8.1 概述 8.2 連續體之拉普拉斯公式 8.3 計算簡單水流問題之連續體公式 8.4 流網 8.5 使用流網計算滲流 8.6 非等向土壤中之流網 8.7 滲流量之數學解 8.8 水力結構物下之上揚壓力 8.9 不透水層上方土壩之滲流 第八章 滲流 第251頁

滲流 8.10 L. Casagrande 之土石壩滲流解 8.11 濾層設計 8.12 總結 第八章 滲流 第251頁

8.1 概述 在許多情況下，通過土壤的水流不是單向的，而且在與流動方向垂直的橫斷面上，分布也不是均勻的。在這種情況下，地下水的流動通常是以一種稱為流網（flow nets）的圖解法來計算。流網的觀念是根據連續體之拉普拉斯公式（Laplace equation of continuity）而建立，本公式有助於掌握土體中任何一點穩定水流之狀態。 第八章 滲流 第252頁

8.1 概述 在本章中，我們將討論以下項目： 推導連續體之拉普拉斯公式，以及此公式之一些簡單應用。 8.1 概述 在本章中，我們將討論以下項目： 推導連續體之拉普拉斯公式，以及此公式之一些簡單應用。 製作流網，以及計算等向與異向土壤內的程序。 通過土壩之滲流。 第八章 滲流 第252頁

8.2 連續體之拉普拉斯公式 板樁 不透水層 圖8.1 (a) 在透水層中貫入單排板樁；(b) A 點之水流 8.2 連續體之拉普拉斯公式 板樁 不透水層 圖8.1 (a) 在透水層中貫入單排板樁；(b) A 點之水流 第八章 滲流 第253頁 圖8.1

8.2 連續體之拉普拉斯公式 假設水是不可壓縮，而土壤體積不變，則流入與流出的水量應該相同。所以， 或 (8.1) 8.2 連續體之拉普拉斯公式 假設水是不可壓縮，而土壤體積不變，則流入與流出的水量應該相同。所以， 或 (8.1) 第八章 滲流 第252-253頁

8.2 連續體之拉普拉斯公式 利用達西定律，放流速度即可用下式推算： 且 (8.2) 其中kx 與kz分別為水平向與垂直之水力傳導值。 8.2 連續體之拉普拉斯公式 利用達西定律，放流速度即可用下式推算： 且 其中kx 與kz分別為水平向與垂直之水力傳導值。 (8.2) (8.3) 第八章 滲流 第253頁

8.2 連續體之拉普拉斯公式 根據公式(8.1)、(8.2) 與(8.3)，我們可以歸納： 8.2 連續體之拉普拉斯公式 根據公式(8.1)、(8.2) 與(8.3)，我們可以歸納： 如果土壤的水力傳導是等向性── 也就是kx = kz ── 前述之二維連續體公式可簡化成 (8.4) (8.5) 第八章 滲流 第253頁

8.3 計算簡單水流問題之連續體公式 公式(8.5) 所述之連續體公式可以用來計算簡單的水流問題。我們以圖8.2 所示的單向水流問題為例來做解說，此圖敘述在定水頭下，水流過兩層土壤，第一層土壤上方與第二層土壤底部的水頭差為h1。 第八章 滲流 第254頁

8.3 計算簡單水流問題之連續體公式 因為水只有在z 方向流動，連續體公式（公式(8.5)）可以簡化成 或 (8.6) 其中A1 與A2 為常數。 (8.6) (8.7) 第八章 滲流 第254頁

8.3 計算簡單水流問題之連續體公式 進水 土壤一(k1) 土壤二(k2) 圖8.2 水流過兩層土壤 第八章 滲流 第254頁 圖8.2

8.3 計算簡單水流問題之連續體公式 如果要推算通過第一層土壤水流的A1 與A2 ，我們必須知道邊界條件，如下所述： 條件1：當 z = 0，h = h1。 條件2：當 z = H1，h = h2。 第八章 滲流 第254-255頁

8.3 計算簡單水流問題之連續體公式 將公式(8.7) 與邊界條件1 結合，如此 A2 = h1 (8.8) 同樣地，將公式(8.8) 與(8.7) 邊界條件2 結合，得 h2 = A1H1 + h1 或 (8.9) 第八章 滲流 第255頁

8.3 計算簡單水流問題之連續體公式 將公式(8.7)、(8.8) 與(8.9) 結合，我們得到 對水流經過第二層土壤，其邊界條件為 條件1：當 z = H1，h = h2。 條件2：當 z = H1 + H2，h = 0。 (8.10) 第八章 滲流 第255頁

8.3 計算簡單水流問題之連續體公式 根據條件1 與公式(8.7)， A2 = h2 －A1H1 (8.11) 同時，根據條件2 與公式(8.7) 和(8.11)， 0＝A1 ( H1 + H2 ) + ( h2 －A1H1 ) A1H1 + A1H2 + h2 －A1H1 ＝ 0 或 (8.12) 第八章 滲流 第255頁

8.3 計算簡單水流問題之連續體公式 所以，從公式(8.7)、(8.11) 與(8.12) (8.13) 第八章 滲流 第255頁

8.3 計算簡單水流問題之連續體公式 在任何時間，流經第一層土壤與第二層土壤之水流量相同，所以 其中A = 土壤橫斷面 k1 = 第一層土壤之水力傳導 k2 = 第二層土壤之水力傳導 第八章 滲流 第256頁

8.3 計算簡單水流問題之連續體公式 或 (8.14) 第八章 滲流 第256頁

8.3 計算簡單水流問題之連續體公式 將公式(8.14) 代入公式(8.10)，我們得到 同樣地，將公式(8.13) 與(8.14) 結合得到 (8.15) (8.16) 第八章 滲流 第256頁

例題 8.1 參考圖8.2。已知H1 = 305 mm，H2 = 508 mm；h1 = 610 mm，h = 508 mm；z = 203 mm；k1 = 0.066 cm/sec，土壤試體直徑D = 76 mm。決定通過此雙層土壤之滲流（cm3/hr）。 第八章 滲流 第256頁

例題 8.1－解 因為z = 203 mm 位於第一層土壤，適用公式(8.15)。所以， 第八章 滲流 第256頁

例題 8.1－解 已知k1 = 0.066 cm/sec。所以， 第八章 滲流 第257頁

例題 8.1－解 滲流率是 第八章 滲流 第257頁

例題 8.1－解 所以， 第八章 滲流 第257頁

8.4 流網 在透水土壤介質中水隨著流線（flow line）由上游流向下游。在同一條等勢線（equipotential line）上各點的能量水頭都是一樣的。因此，如果沿著一條等勢線上在不同地點安裝水壓計，那麼所有水壓計內的水位都會升至同一高度。 第八章 滲流 第257頁

8.4 流網 板樁 流線 kx = kz = k 等勢線 不透水層 圖8.3 (a) 流線與等勢線之定義 8.4 流網 板樁 流線 kx = kz = k 等勢線 不透水層 圖8.3 (a) 流線與等勢線之定義 第八章 滲流 第258頁 圖8.3(a)

8.4 流網 板樁 水位 水位 不透水層 圖8.3 (b) 完成之流網 第八章 滲流 第258頁 圖8.3(b)

8.4 流網 將一群流線和等勢線組合在一起稱之為流網（flow net）。如前節所述，流網是用來計算介質中地下水流量與水頭之用。以圖形的方法繪出流網，需要遵循以下方法來畫流線和等勢線： 流線與等勢線以直角相交。 所形成之網格約為方形。 第八章 滲流 第258頁

8.4 流網 繪製流網的過程中常需要做一些嘗試與修正。在繪製流網時要記住問題的邊界條件。以圖8.3(b) 之流網為例，考慮以下四個邊界條件： 8.4 流網 繪製流網的過程中常需要做一些嘗試與修正。在繪製流網時要記住問題的邊界條件。以圖8.3(b) 之流網為例，考慮以下四個邊界條件： 條件1：透水層上游與下游之邊界（ab 與 de 線） 都是等勢線。 條件2：因為 ab 與de 線都是等勢線，所有流線都 與它們垂直。 條件3：不透水層之邊界── 也就是fg 線 ── 是 一流線，所以不透水板樁之表面，acd 線 也是流線。 條件4：等勢線與acd 和 fg 以直角相交。 第八章 滲流 第259頁

8.4 流網 壩趾排水 圖8.4 有壩趾透水層攔水壩下之流網 第八章 滲流 第259頁 圖8.4

8.5 使用流網計算滲流 在流網中，兩條相鄰的流線間所夾之帶狀區域稱為流渠（flow channel）。圖8.5 顯示一流渠和與其相交的等勢線，以及所形成之方形網格。假設對應於各等勢線的水壓高程為h1、h2、h3、h4、…、hn ，那麼每單位厚度（與紙面垂直的方向）中通過各流渠之滲流量可以計算如下。因為水流不會穿過流線， (8.17) 第八章 滲流 第259頁

8.5 使用流網計算滲流 根據達西定律，水的流量等於kiA。因此，公式(8.17) 可以改寫為 8.5 使用流網計算滲流 根據達西定律，水的流量等於kiA。因此，公式(8.17) 可以改寫為 公式(8.18) 說明如果流網中的網格都畫成近似方形，那麼任何相鄰的兩個等勢線間之水壓能量差應該是一樣的。這能量差稱為勢能落差（potential drop）。 (8.18) 第八章 滲流 第259-260頁

8.5 使用流網計算滲流 圖8.5 流過網格為方形的流渠之滲流 第八章 滲流 第260頁 圖8.5

8.5 使用流網計算滲流 所以， (8.19) 同時 其中 H = 上游與下游間之水頭差 Nd = 勢能落差之階數 (8.20) 8.5 使用流網計算滲流 所以， 同時 其中 H = 上游與下游間之水頭差 Nd = 勢能落差之階數 (8.19) (8.20) 第八章 滲流 第260頁

8.5 使用流網計算滲流 在圖8.3(b) 中，對任一流渠而言，H=H−H2 且Nd =6。 8.5 使用流網計算滲流 在圖8.3(b) 中，對任一流渠而言，H=H−H2 且Nd =6。 如果一網格中流渠之數目為Nf ，那麼每單位厚度中流過全部流渠的總流量可以下式計算： (8.21) 第八章 滲流 第260頁

8.5 使用流網計算滲流 雖然在建立流網時畫近似方形之網格很方便，但這不盡然為必須。換一個方法，我們也可以如圖8.6 所示為流渠畫長方形的網格，只要流網中全部的網格都保持一定的寬－長比例。在此狀況下，計算通過一流渠之流量公式(8.18)應該修改為 (8.22) 第八章 滲流 第260-261頁

8.5 使用流網計算滲流 如果b1 / l1 = b2 / l2 = b3 / l3 = … = n （也就是網格不是方的），公式(8.20) 與(8.21) 可以修改成： 且 (8.23) (8.24) 第八章 滲流 第261頁

8.5 使用流網計算滲流 圖8.6 流過網格為長方形的流渠之滲流 第八章 滲流 第261頁 圖8.6

8.5 使用流網計算滲流 水位 水位 地表 第一流渠 第二流渠 第三流渠 比例 不透水層 圖8.7 一排板樁周圍之滲流的流網 8.5 使用流網計算滲流 水位 水位 地表 第一流渠 第二流渠 第三流渠 比例 不透水層 圖8.7 一排板樁周圍之滲流的流網 第八章 滲流 第262頁 圖8.7

例題 8.2 如圖8.7 顯示，在透水土層中一單排板樁周圍之流網圖。已知kx = kz = k = 5 × 10－3 cm/sec，求出 例題 8.2 如圖8.7 顯示，在透水土層中一單排板樁周圍之流網圖。已知kx = kz = k = 5 × 10－3 cm/sec，求出 如果在a 與b 點安裝水壓計，那麼在這些水壓計中的水位會升到多高（地表以上）。 每單位厚度中通過透水土層之滲流量。 c 點平均水力坡降之約略值。 第八章 滲流 第262頁

例題 8.2－解(a) 從圖8.7 中，可以看出Nd = 6，H1 = 5.6 m 且H2 = 2.2 m。所以每階的水頭落差為 第八章 滲流 第262頁

例題 8.2－解(a) 在a 點，我們通過一階的水頭落差，所以水壓計內之水位會升至地表上 在b 點，我們通過五階的水頭落差，所以水壓計內之水位會升至地表上， 第八章 滲流 第262-263頁

例題 8.2－解(b) 根據公式(8.25)， 第八章 滲流 第263頁

例題 8.2－解(c) c 點平均水力坡降值計算如下： （注意：流線平均長度依比例估算。） 第八章 滲流 第263頁

8.6 非等向土壤中之流網 第八章 滲流 第265頁 圖8.8 垂直比例＝6m 比例6 m 8.6 非等向土壤中之流網 垂直比例＝6m 比例6 m 圖8.8 非等向土壤中的網格：(a) 在轉換斷面中；(b) 在真實比例斷面中 第八章 滲流 第265頁 圖8.8

例題 8.3 有一壩之橫斷面如圖8.9(a) 所示。已知透水層的水力傳導在垂直與水平向分別為2 × 10－2 mm/s與4 × 10－2 mm/s 。畫流網並計算透過此橫斷面之滲流損失，以m3/day/m為單位。 透水層 不透水層 圖8.9(a) 第八章 滲流 第264.266頁 圖8.9(a)

例題 8.3－解 根據所提供數據， 且H = 6.1 m。 第八章 滲流 第265頁

例題 8.3－解 為製作流網， 根據以上比例重畫壩體橫斷面，流網如圖8.9(b) 所示。 第八章 滲流 第265-266頁

例題 8.3－解 垂直向比例 = 7.6 m 透水層 不透水層 圖8.9(b) 第八章 滲流 第266頁 圖8.9(b)

例題 8.3－解 滲流率是 。根據圖8.9(b)，Nd = 8 且Nf = 2.5（最底層之流渠其寬－長之比值是0.5）。所以， 例題 8.3－解 滲流率是 。根據圖8.9(b)，Nd = 8 且Nf = 2.5（最底層之流渠其寬－長之比值是0.5）。所以， 第八章 滲流 第266頁

8.7 滲流量之數學解 第八章 滲流 第267頁 圖8.10 水位 水位 不透水層 8.7 滲流量之數學解 水位 水位 不透水層 圖8.10 單排板樁周圍滲流量之q/kH 對S/T '（根據Harr, 1962。Dover Publications, Inc. 授權） 第八章 滲流 第267頁 圖8.10

8.7 滲流量之數學解 第八章 滲流 第268頁 圖8.11 板樁 不透水層 8.7 滲流量之數學解 板樁 不透水層 圖8.11 壩體下方之滲流（根據Harr, 1962。Dover Publications, Inc. 授權） 第八章 滲流 第268頁 圖8.11

例題 8.4 參考圖8.11。已知壩體寬度B = 6 m；長度L = 120 m；S = 3 m；T' = 6 m；x = 2.4m；且H1  H2 = 5 m。如果透水層之水力傳導是0.008 cm/sec，估算流經壩底之滲流量（Q），以m3/day/m 為單位。 第八章 滲流 第267頁

例題 8.4－解 已知B = 6 m，T' = 6 m，而S = 3 m，所以b = B/2 = 3 m。 第八章 滲流 第267頁

例題 8.4－解 根據圖8.11，當b/T‘ = 0.5，S/T’ = 0.5 且x/b = 0.8 時，q/kH  0.378。 所以， 例題 8.4－解 根據圖8.11，當b/T‘ = 0.5，S/T’ = 0.5 且x/b = 0.8 時，q/kH  0.378。 所以， 第八章 滲流 第267-268頁

8.8 水力結構物下之上揚壓力 不透水層 圖8.12 (a) 攔河堰 第八章 滲流 第269頁 圖8.12(a)

8.8 水力結構物下之上揚壓力 圖8.12 (b) 水力結構物底部之上揚力 第八章 滲流 第269頁 圖8.12(b)

8.9 不透水層上方土壩之滲流 水位 不透水層 圖8.13 建築在不透水層上土壩之滲流 第八章 滲流 第270頁 圖8.13

例題 8.5 參考圖8.13 所示之土壩。已知β = 45°， α = 30°，B = 3 m，H = 6 m，壩高= 7.6 m，且k = 61× 10－6 ，計算滲流率，q，以m3/day/m 厚度為單位。 第八章 滲流 第272頁

例題 8.5－解 我們知道β = 45°且α = 30° 。所以， 第八章 滲流 第272頁

例題 8.5－解 根據公式(8.32)， 根據公式(8.30)， 第八章 滲流 第272頁

8.10 L. Casagrande 之土石壩滲流解 （度） 圖8.14 L. Casagrande 根據Gilboy 解答的圖解 第八章 滲流 第274頁 圖8.14

8.11 濾層設計 壩趾濾層 滲流 不透水層 圖8.15 有安裝壩趾濾層土壩之穩態滲流 第八章 滲流 第275頁 圖8.15

8.11 濾層設計 選擇濾層材料應該注意兩個條件： 條件1：濾層材料的孔隙應該小到足以將被保護的較大土壤顆粒固定於原位。 8.11 濾層設計 選擇濾層材料應該注意兩個條件： 條件1：濾層材料的孔隙應該小到足以將被保護的較大土壤顆粒固定於原位。 條件2：濾層材料的水力傳導應該高到足以防止濾層內累積滲流力或靜態水壓。 第八章 滲流 第274-275頁

8.11 濾層設計 Terzaghi 與Peck（1948）提出以下濾材選擇標準為滿足條件1： (8.41) 第八章 滲流 第275頁

8.11 濾層設計 為了滿足條件2，他們建議 其中D15(F) = 濾層材料15% 會通過之篩孔尺寸 (8.42) 8.11 濾層設計 為了滿足條件2，他們建議 其中D15(F) = 濾層材料15% 會通過之篩孔尺寸 D15(S) = 被保護土壤15% 會通過之篩孔尺寸 D85(S) = 被保護土壤85% 會通過之篩孔尺寸 (8.42) 第八章 滲流 第275頁

8.11 濾層設計 滲流水 濾材 大球體 被保護土壤 小球體 8.11 濾層設計 滲流水 濾材 大球體 被保護土壤 小球體 圖8.16 (a) 比小球直徑大6.5 倍以上之大球；(b) 濾材與被保護土壤間之介面 第八章 滲流 第276頁 圖8.16

8.11 濾層設計 曲線a （被保護之土壤） 曲線c 曲線b 比 它 細小 的 百分 濾層範圍 粒徑分布（mm） 8.11 濾層設計 曲線a （被保護之土壤） 曲線c 曲線b 比 它 細小 的 百分 濾層範圍 粒徑分布（mm） 圖8.17 使用公式(8.41) 及(8.42) 來決定濾材之粒徑分布 第八章 滲流 第276頁 圖8.17