达朗伯原理是非自由质点系动力学的基本原理 ，通过引入惯性力，建立虚平衡状态 ，可把动力学问题在形式上转化为静力学平衡问题而求解。这种求解动力学问题的普遍方法，称为动静法 。 动静法在工程技术中有广泛地应用。

14.1 质点达朗伯原理 14.2 质点系达朗伯原理 14.3 刚体惯性力系的简化 14.4 定轴转动刚体轴承的动反力

显然， 具有力的量纲，称为质点 M 的惯性力。 14.1.1 质点的达朗伯原理 FI 质点 M 的动力学基本方程为： M FN FR F 令： a 显然， 具有力的量纲，称为质点 M 的惯性力。 力学意义：若将 、 和 视为汇交力系， 是该汇交力系的平衡条件。 质点在运动的每一瞬时，作用于质点上的主动力、约束反力和该质点的惯性力组成一个平衡力系 ——质点达朗伯原理

必须指出，惯性力是人为地虚加在运动的质点上，是为了应用静力学的方法而达到求解动力学的目的所采取的一种手段，质点的平衡状态是虚拟的。 达朗伯原理对质点的动力学基本方程重新赋予了静力学虚拟平衡的结论，提供了在质点虚加惯性力，采用静力学平衡方程的形式来求解动力学问题的方法，称为质点的动静法 。

14.1.2 惯性力的概念 质点 的惯性力 质点惯性力 大小等于质点的质量与质点加速度的乘积，方向与质点加速度方向相反。 质点作曲线运动时，质点的加速度可分解为切向加速度和法向加速度，质点惯性力即分解为切向惯性力和法向惯性力 切向惯性力 法向惯性力 方向总是背离曲率中心，称为离心惯性力 ，简称为离心力。 法向加速度总是沿主法线指向曲率中心，所以法向惯性力的

例1 圆锥摆中，质量为 m 的小球 A，系于长 l 的无重细绳上，在水平面内作匀速圆周运动 ( 绳与铅垂线夹角a 保持不变)。求小球 A 的速度和绳的拉力。 解：以小球为研究对象 a A 分析加速度，虚加惯性力： F mg x y 切向加速度： 法向加速度： FI an v 小球的惯性力：

n 个质点组成的非自由质点系。 任一质点 的惯性力： 由于作用在每个质点上的主动力、约束反力和惯性力构成虚平衡状态，因而整个质点系也必处于虚平衡状态。 质点系的内力成对出现，且等值、反向、共线，所以内力的主矢和对任一点的主矩恒等于零。

质点系的达朗伯原理：在质点系运动的任一瞬时，作用于质点系上的外力系和各质点的惯性力系组成一个平衡力系，即它们的主矢和对任一点的主矩的矢量和都等于零。

例2 滑轮半径 r ，质量 m 均匀分布在轮缘上。绳的两端挂质量 m1 和 m2 的重物 A 、B，且 m1 > m2 。绳与滑轮之间无相对滑动，轴承摩擦不计，求重物的加速度。 FIti FOx m1g FOy mg m2g FIni r O A B mi 解：取系统为对象。 a ait ain FI1 a 虚平衡方程： a FI2

每个质点加惯性力构成作用在刚体上的分布力系，用力系简化理论将刚体惯性力系简化，可用简化的结果代替原来的惯性力系。

14.3.1 刚体作平动 各质点具有相同的加速度，等于质心的加速度，即 惯性力系向质心简化 主矢： 主矩： 平动刚体惯性力系简化为通质心的合力；其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积；方向与加速度方向相反。

具有垂直于转轴的质量对称面的刚体，惯性力系可先简化为该质量对称面内的一个平面惯性力系。再将此平面惯性力系向转轴与对称面的交点 O 简化。 14.3.2 刚体的定轴转动 具有垂直于转轴的质量对称面的刚体，惯性力系可先简化为该质量对称面内的一个平面惯性力系。再将此平面惯性力系向转轴与对称面的交点 O 简化。 w O a ai ait ain FIni FIti FIi Mi ri

具有质量对称面垂直轴转的定轴转动刚体，惯性力系向转轴简化为一个力和一个力偶。 w O a aC aCt aCn 具有质量对称面垂直轴转的定轴转动刚体，惯性力系向转轴简化为一个力和一个力偶。 该力的大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴； 该力偶矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度之积，转向与角加速度转向相反。 Mi rC FIRn FIRt FIR MIO

aC =0 ，FIR=0 。则刚体的惯性力系简化为一惯性力偶 w a O 讨论：几种特殊情况 （1）转轴通过刚体质心 aC =0 ，FIR=0 。则刚体的惯性力系简化为一惯性力偶 MIO w O C （2）刚体匀速转动 a =0，MIO =0，则刚体惯性力系简化为作用在点 O 的一个惯性力 FIn FIRn O w （3）转轴过质心且刚体作匀速转动 FIR=0，MIO=0，刚体的惯性力系为平衡力系。

14.3.3 刚体作平面运动 刚体具有质量对称平面，且平行于此平面而运动。 惯性力系可先简化为在对称面的平面力系。 对称面内的平面图形的运动可分解为随质心 C 的平动与绕质心 C 的转动。 惯性力系分为两部分： 刚体随质心平动的惯性力系简化为一个通过质心的力； 刚体绕质心转动的惯性力系简化为一个力偶。

具有对称平面的刚体作平行于该平面运动时，刚体的惯性力系可简化为在对称平面内的一个力和一个力偶。 通过质心的力： w a C FI MIC 绕质心转动的力偶矩： aC 具有对称平面的刚体作平行于该平面运动时，刚体的惯性力系可简化为在对称平面内的一个力和一个力偶。 该力通过质心，其大小等于刚体质量与质心加速度的乘积，其方向与质心加速度方向相反； 该力偶矩等于对通过质心且垂直于对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积，其转向与角加速度的转向相反。

例3 均质细直杆 AB 长 l 、重 G ，用固定铰支座 A 及绳 BE 维持在水平位置。当绳 BE 被剪断瞬时，求杆 AB 的角加速度和 A 处的反力。 C E FAx FAy G （2）虚加惯性力 MIA a 剪断瞬时， AB 角速度w = 0，角加速度a。 FIR aC 质心法向加速度： 质心切向加速度： AB 杆的惯性力系向转轴 A 简化

讨论：本题也可用动量矩定理和质心运动定理求解 B A C E FAx FAy G （3）虚平衡方程求解 ： MIA a FIR aC 讨论：本题也可用动量矩定理和质心运动定理求解

例4 提升机构中，悬臂梁 AB 重力 G1 =1kN，长 l =3m；鼓轮 B ( 视其为均质圆盘 ) 重 G2=200 N，半径 r=20cm，其上作用力偶 M=3kN·m ；以提升重 G3=10kN 的物体 C 。不计绳重和摩擦，试求固定端 A 的反力。 M A r B 解：（1）取鼓轮及重物为研究对象 （2）虚加惯性力。 设重物加速度 a ，其惯性力： M r B FBx FBy G2 G3 MIB 鼓轮角加速度 a = a / r ，其惯性力偶矩 ： FIR a

（3）虚平衡方程： M r B FBx FBy G2 G3 MIB FIR a

A B MA FAx FBy G1 FAy （4）取梁 AB 为研究对象

例5 均质杆 AB 长 l ，重 G ，用两根绳子悬挂在点 O 。杆静止时 ，突然将绳 OA 切断 ，试求切断瞬时 OB 的受力。 解：（1）取杆为研究对象。 B A 45° O （2）分析运动及虚加惯性力。 aB 绳子切断瞬时，杆的角速度为零 ，角加速度为a 。 a aCBt 点 B 作圆周运动： C B A 45° G FT AB 质心 C 的加速度：

杆 AB 作平面运动 ，向质心 C 简化的惯性力及惯性力偶矩分别为： 45° O aB 杆 AB 作平面运动 ，向质心 C 简化的惯性力及惯性力偶矩分别为： a aCBt C B A 45° G FT FICB D MIC FIB （3）虚平衡方程：

系统开始运动时，两杆的角速度及各点的速度均为零 。 例6 长度均为 l 和质量均为 m 的均质细直杆 OA 和 AB 以铰链相连，悬挂在铅垂平面内。当在图示位置无初速开始运动时，试求两杆的角加速度。 FOx mg FOy 解：（1） 研究整体。 B A O C1 C2 a1 （2） 分析运动及虚加惯性力。 系统开始运动时，两杆的角速度及各点的速度均为零 。 aA a2 设 OA 、AB 的角加速度分别为 a1 和 a2 AB 作平面运动，C 2 的加速度：

FOy B A O C1 C2 B A O C1 C2 FOx FI1 a1 MIO mg FIA aA a2 mg 对 OA： 对 AB：

（3）虚平衡方程： （4）取杆 AB 为研究对象 FOy O FOx FI1 MIO C1 mg FIA C2 A B mg FAy FIA FAx FAy

例7 均质圆盘 mA ，半径 r 。细杆长 l = 2 r ，质量m 。杆端点 A 与轮心光滑铰接。问 ：F 力多大能使杆的 B 端刚刚离开地面 ？又为保证纯滚动，轮与地面间的静滑动摩擦因数应为多大 ？ B A 30° C F B A 30° C FAx mg FAy 解：以杆为研究对象 杆刚离地面时仍为平动，地面约束力为零。 设其加速度为 a 。 FIC a

MI mg FN B A 30° C F mAg FS 对于整体： FIA a FIC

14.4.1 定轴转动刚体惯性力系的简化 惯性力系的主矢与简化中心位置无关 z C A O B y x aCt MIO aCn FIR w rC FIR w a aCt C O r1 y x aCn j xC yC

刚体具有垂直于转轴的质量对称面，若取该对称面为 Oxy 平面，则惯性积 Jyz=Jzx=0

14.4.2 定轴转动刚体轴承的动反力 z A O B y x w a MO FAz FAy FAx FBy FBx MIO FR FIR

解得 要使得附加动反力为零，则有

转轴通过质心 称轴 z 为惯性主轴 通过质心的惯性主轴称为中心惯性主轴 避免出现轴承动附加动约束力的条件：刚体的转轴应是刚体的中心惯性主轴。

The End