《电动力学》第6讲 第一章 电磁现象的普遍规律(4) § 1.4介质中的Maxwell方程组 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学微电子学院 第一章 电磁现象的普遍规律(4) § 1.4介质中的Maxwell方程组 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学微电子学院 2016年9月23日 1 山东大学物理学院 宗福建

上一讲复习 1、直接给出库仑定律的数学表达式，写明其中各个符号的物理意义。 2、写出电场强度的定义，给出有限区域分布电荷电场强度的计算公式，并推导出高斯定理的积分形式和微分形式。 3、计算静电场的旋度。 山东大学物理学院 宗福建 2

上一讲复习 4、电流密度的定义，电荷守恒定律的物理意义，电流连续性方程的积分形式和微分形式。 5、磁感应强度的定义，毕奥-萨伐尔定律的数学表达式，并推导出磁感应强度的散度和旋度公式。 6、安培环路定律的数学表达式，并能灵活应用。 山东大学物理学院 宗福建 3

上一讲复习 7、直接给出法拉第电磁感应定律的积分形式和微分形式，写明其中各个符号的物理意义。 8、什么是Maxwell的位移电流假设，位移电流的表达式，位移电流的实质是什么？ 9、直接给出真空中麦可斯韦方程组的积分形式和微分形式，写明其中各个符号的物理意义。 10、写出电荷与电磁场相互作用的洛伦兹力密度公式及洛伦兹力公式。 山东大学物理学院 宗福建 4

Maxwell方程组 山东大学物理学院 宗福建 5

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Lorentz 力密度公式 若电荷连续分布，其密度为ρ，则电荷系统单位体积所承受的力密度 f 为 洛仑兹把这结果推广为普遍情况下场对电荷系统的作用力，因此上式称为洛仑兹力密度公式。 山东大学物理学院 宗福建 7

Lorentz 力公式 对于带电粒子系统来说，若粒子电荷为q，速度为v，则J等于单位体积内qv之和。把电磁作用力公式应用到一个粒子上，得到一个带电粒子受电磁场的作用力 这公式称为洛仑兹力公式。 山东大学物理学院 宗福建 8

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本讲内容 介质的概念 介质的极化 介质的磁化 介质中的Maxwell方程组 电磁场法向分量的跃变 电磁场切向分量的跃变 山东大学物理学院 宗福建 12

§1.4.1 介质的电磁性质 1. 关于介质的概念 介质由分子组成。分子内部有带正电的原子核和绕核运动的带负电的电子。从电磁场观点来看，介质是一个带电粒子系统，其内部存在着不规则而又迅速变化的微观电磁场。在研究宏观电磁现象时，我们所讨论的物理量是在一个包含大数目分子的物理小体积的平均值，称为宏观物理量。 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.1 介质的电磁性质 1. 关于介质的概念 介质由分子组成。 可分为极性分子和非极性分子。 极性分子：H2O 非极性分子：CO2 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.1 介质的电磁性质 由于分子是电中性的，而且在热平衡时各分子内部的粒子运动一般没有确定的关联，因此，当没有外场时介质内部一般不出现宏观的电流分布，其内部的宏观电磁场亦为零。有外场时，介质中的带电粒子受场的作用，正负电荷发生相对位移，有极分子（原来正负电中心不重合的分子）的取向以及分子电流的取向亦呈现一定的规则性，这就是介质的极化和磁化现象。 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.1 介质的电磁性质 由于极化和磁化的原因，介质内部及表面上便出现宏观的电荷电流分布，我们把这些电荷、电流分别称为束缚电荷和磁化电流。这些宏观电荷电流分布反过来又激发起附加的宏观电磁场，叠加在原来外场上而得到介质内的总电磁场。介质内的宏观电磁现象就是这些电荷电流分布和原来外电磁场之间相互作用的结果。 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.1 介质的电磁性质 2、介质的极化 存在两类电介质： 一类介质分子的正电中心和负电中心重合，没有电偶极距。 另一类介质分子的正负电中心不重合，有分子电偶极矩，但是由于分子热运动的无规则性，在物理小体积的平均电偶极距为零，因而也没有宏观电偶极距分布。 在外场作用下，前一类分子的正负电中心被拉开，后一类介质的分子电偶极距平均有一定取向性，因此都出现宏观电偶极距分布。 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.1 介质的电磁性质 2、介质的极化 宏观电偶极距分布用电极化强度矢量 P 描述，它等于物理小体积ΔV 内的总电偶极距与ΔV 之比， 式中pi为第i个分子的电偶极距，求和符号表示对ΔV内所有分子求和。 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.1 介质的电磁性质 2、介质的极化 由于极化，分子正负电中心发生相对位移，因而物理小体积ΔV内可能出现净余的正电或负电，即出现宏观的束缚电荷分布。 我们现在首先要求出束缚电荷密度ρp和电极化强度P之间的关系。 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.1 介质的电磁性质 2、介质的极化 我们用一个简化模型来描述介质中的分子。设每个分子由相距为l的一对正负电荷±q构成，分子电偶极距为p = ql。如右图所示，介质内某曲面S上的一个面元dS。介质极化后，有一些分子电偶极子跨过dS。由图可见，当偶极子的负电荷处于体积l ∙ dS内时，同一偶极子的正电荷就穿出界面dS外边。 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.1 介质的电磁性质 2、介质的极化 设单位体积分子数为n， 则穿出dS外面的正电荷为 即，介质外边界dS处的束缚电荷面密度为： 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.1 介质的电磁性质 2、介质的极化 对包围区域V的闭合界面S积分，则介质总表面束缚电荷为 由于介质是电中性的，这量也等于V内净余的负电荷。这种由于极化而出现的电荷分布称为束缚电荷。以ρp表示束缚电荷密度，有 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.1 介质的电磁性质 2、介质的极化 即， 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.1 介质的电磁性质 2、介质的极化 极化电流密度与极化强度的关系 当电场随时间改变时，极化过程中正负电荷的相对位移也将随时间改变，由此产生的电流称为极化电流。极化电流和极化电荷也满足连续性方程： 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.1 介质的电磁性质 2、介质的极化 极化电荷面密度与极化强度的关系 在均匀介质中，极化电荷只出现在介质界面上。 在介质1和介质2分界面上取一个面元为 在分界面两侧取一定厚度的薄层，使分界面包围在薄层内。 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.1 介质的电磁性质 2、介质的极化 在薄层内出现的束缚电荷与dS之比称为界面上的束缚电荷面密度。 通过薄层上侧面进入介质2的负电荷为P2∙dS，由介质1通过薄层下侧面进入薄层的正电荷为P1∙dS。因此，薄层内出现的净余电荷为 −(P2−P1)∙dS。以σp表示束缚电荷面密度，有 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.1 介质的电磁性质 2、介质的极化 介质内的电现象包括两个方面。一方面电场使介质极化而产生束缚电荷分布，另一方面这些束缚电荷又反过来激发电场，两者是互相制约的。介质对宏观电场的作用就是通过束缚电荷激发电场。因此，若在麦氏方程中电荷密度ρ包括自由电荷密度ρf和束缚电荷密度ρp在内，则在介质内麦氏方程仍然成立。 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.1 介质的电磁性质 2、介质的极化 在实际问题中，自由电荷比较容易受实验条件的直接控制或观测，而束缚电荷则不然。因此，在基本方程中消去ρp比较方便。 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.1 介质的电磁性质 2、介质的极化 引入电位移矢量D,定义为 则， 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.1 介质的电磁性质 2、介质的极化 实验指出，各种介质材料有不同的电磁性能，D和E的关系也有多种形式。对于一般各向同性线性介质，极化强度P和E之间有简单的线性关系 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.1 介质的电磁性质 3、介质的磁化 介质分子内的电子运动构成微观分子电流，由于分子电流取向的无规则性，没有外场时一般不出现宏观电流分布。在外磁场作用下，分子电流出现有规则取向，形成宏观磁化电流密度JM。 分子电流也可以用磁偶极距描述。把分子电流看作载有电流的小线圈，线圈面积为a，则与分子电流相应的磁矩为 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.1 介质的电磁性质 3、介质的磁化 介质磁化后，出现宏观磁偶极距分布，用磁化强度M表示，它定义为物理小体积ΔV内的总磁偶极距与ΔV之比， 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.1 介质的电磁性质 3、介质的磁化 如图所示，设S为介质内部的一个曲面，其边界线为L.为了求出磁化电流密度，我们计算从S的背面流向前面的总磁化电流IM. 由图可见，若分子电流被边界线L链环着，这分子电流就对IM有贡献。 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.1 介质的电磁性质 3、介质的磁化 在其他情形下，或者分子电流根本不通过S，或者从S背面流出来后再从前面流进，所以对IM都没有贡献。因此，通过S的总磁化电流IM等于边界线L所链环着的分子数目乘上每个分子的电流i 。 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.1 介质的电磁性质 3、介质的磁化 图示边界线L上的一个线元dl。设分子电流圈的面积为a 。由图可见，若分子中心位于体积为a ∙ dl的柱体内，则该分子电流就被dl所穿过。因此，若单位体积分子数为n，则被边界线L链环着的分子电流数目为 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.1 介质的电磁性质 3、介质的磁化 此数目乘上每个分子的电流i即得从S背面流向前面的总磁化电流 把线积分变为▽×M的面积分，由S的任意性可得微分形式 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.1 介质的电磁性质 3、介质的磁化 两边取散度得， 这就说明磁化电流不引起电荷的积累，不存在磁化电流的源头。 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.1 介质的电磁性质 3、介质的磁化 介质内的磁现象也包括两个方面，一方面电磁场作用于介质分子上产生磁化电流和极化电流分布，另一方面这些电流又反过来激发磁场，两者也是互相制约的。介质对宏观磁场的作用是通过诱导电流（JM+JP）激发磁场。因此，若在麦氏方程式中的J包括自由电流密度Jf和介质内的诱导电流密度JM+JP在内，那么麦氏方程在介质中仍然成立， 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.1 介质的电磁性质 3、介质的磁化 在实际问题中，自由电流分布Jf可以直接受实验条件控制和测定，而JM和JP则不然。因此，在基本方程中消去JM和JP比较方便。 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.1 介质的电磁性质 3、介质的磁化 引入磁场强度H，定义为 则， 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.1 介质的电磁性质 3、介质的磁化 实验指出，对于各向同性非铁磁物质，磁化强度M和H之间有简单的线性关系 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.2介质中的Maxwell方程组 略去ρf和Jf的下角标f，除特殊说明外，以后公式中出现的ρ和J都代表自由电荷和自由电流分布。 介质中的麦克斯韦方程组为 介质方程为： 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.2介质中的Maxwell方程组 真空中的麦克斯韦方程组为 山东大学物理学院 宗福建 43

§1.4.2介质中的Maxwell方程组 积分形式： 介质中的麦克斯韦方程组为 介质方程为： 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.3 电磁场边值关系 我们知道, 由于在外场作用下，介质分界面上一般出现一层束缚电荷和束缚电流分布，这些电荷、电流的存在又使得界面两侧场量发生跃变，这种场量跃变是面电荷、面电流激发附加的电磁场产生的，描述在两介质分界面上，两侧场量与界面上电荷、电流的关系，是本节的主要讨论内容。麦克斯韦方程组可以应用于任何连续介质内部。在两介质分界面上，由于一般出现面电荷电流分布，使物理量发生跃变，微分形式的麦氏方程组不再适用。因此，在介质分界面上，我们要用积分的Maxwell方程组。 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.3 电磁场边值关系 一、法向分量的跃变 如图所示，在分界面处作一个小扁平体，体的上下底面ds1, ds2 分别位于界面的两侧，且 ds1,ds2,ds三个面元平行，大小相等，ds为界面上被截出的面元，高度h→0， 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.3 电磁场边值关系 一、法向分量的跃变 用 求矢量 D 通过匣表面的通量。 §1.4.3 电磁场边值关系 一、法向分量的跃变 用 求矢量 D 通过匣表面的通量。 由于匣的高度h→0，所以通过侧面的 D 的通量也可以忽略不计，因此 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.3 电磁场边值关系 一、法向分量的跃变 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.3 电磁场边值关系 一、法向分量的跃变 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.3 电磁场边值关系 一、法向分量的跃变 讨论： ① 对于两种电介质的分界面 σf=0 ，则得 §1.4.3 电磁场边值关系 一、法向分量的跃变 讨论： ① 对于两种电介质的分界面 σf=0 ，则得 D2n=D1n 法向分量连续；E2n≠E1n 法向分量不连续。 ②只有导体与介质交界面上，存在σf ≠ 0 。这时 D和E在法线上都不连续，有跃变。 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.3 电磁场边值关系 一、法向分量的跃变 对于磁场B，把 应用到边界上的扁平状区域上，重复以上推导可以得到 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.3 电磁场边值关系 二、切向分量的跃变 面电荷分布使界面两侧电场法向分量发生跃变。下面我们证明面电流分布使界面两侧磁场切向分量发生跃变。 定义面电流线密度α，其大小等于垂直通过单位截面的电流。 由于存在面电流，在界面两侧的磁场强度发生跃变。 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.3 电磁场边值关系 二、切向分量的跃变 如图所示，在界面两旁取一狭长形回路，回路的一长边在介质1中，另一长边在介质2中。长边Δl与面电流αf正交。把麦氏方程应用到狭长形回路上。取回路上下边深入到足够多分子层内部，使面电流完全通过回路内部。从宏观来说回路短边的长度仍可看作趋于零。 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.3 电磁场边值关系 二、切向分量的跃变 因而有 其中t表示沿Δl的切向分量。通过回路内的总自由电流为 §1.4.3 电磁场边值关系 二、切向分量的跃变 因而有 其中t表示沿Δl的切向分量。通过回路内的总自由电流为 由于回路所围面积趋于零，而∂D/∂t为有限量，因而 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.3 电磁场边值关系 二、切向分量的跃变 因而有 同理有电场切向分量的边值关系 E2t=E1t 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.3 电磁场边值关系 分量的跃变 因而有矢量形式（n由介质1指向介质2） 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.3 电磁场边值关系 例 无穷大平行板电容器内有两层介质，极板上面电荷密度为±σf，求电场和束缚电荷分布。 §1.4.3 电磁场边值关系 例 无穷大平行板电容器内有两层介质，极板上面电荷密度为±σf，求电场和束缚电荷分布。 解 由对称性可知电场沿垂直于平板的方向。应用于下板与介质1界面上，因导体内场强为零，故得 山东大学物理学院 宗福建

§1.4.3 电磁场边值关系 分量的跃变 同样，应用到上板与介质2界面上得 束缚电荷分布于介质表面上。在两介质界面处， §1.4.3 电磁场边值关系 分量的跃变 同样，应用到上板与介质2界面上得 束缚电荷分布于介质表面上。在两介质界面处， 山东大学物理学院 宗福建

分量的跃变 在两介质界面处， 在介质1与下板分界处， 在介质2与上板分界处， 容易验证,介质整体是电中性的。 山东大学物理学院 宗福建

课下作业： 第35-36页 第7，8，9，11，12，13题。 山东大学物理学院 宗福建

课下作业：思考题 山东大学物理学院 宗福建

课下作业：思考题 山东大学物理学院 宗福建

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