第三篇 电 磁 学 2019/4/16

第五章 真 空 中 的 静 电 场 电荷与电场、库仑定律 电场强度 电通量、高斯定理 静电场的环路定理、电势能与电势 电场中的导体 第五章 真 空 中 的 静 电 场 电荷与电场、库仑定律 电场强度 电通量、高斯定理 静电场的环路定理、电势能与电势 电场中的导体 电容 电容器 静电场的能量 电荷间的相互作用能 2019/4/16

第 五 章 真空中的静电场 (ELECTROSTATIC) §5-1 电荷 库仑定律 (Electric Charge and Coulomd`s Law) 一、电荷与电场 实验证明,自然界只存在两种电荷，分别称为正电荷和负电荷。同种电荷互相排斥，异种电荷互相吸引。

电场： 带电体之间的相互作用是通过电场实现的。 电场是物质的，具有能量与动量。 静电场是指由静止的电荷所形成的电场。 静电场的对外表现： （1）电场中的任何带电体都将受到电场力的作用。 （2）静电场中的导体与电介质分别产生静电感应 和极化现象。 （3）带电体在电场中移动时，电场力将对其作功。

电荷守恒定律(Conservation of Electric Charge ) 在一个与外界没有电荷交换的系统内，无论进行 怎样的物理过程，系统内正、负电荷量的代数和总是 保持不变。 物质的电结构：物质由分子组成，分子由原子组成，原子 由带正电的原子核和绕核运动的带负电的电子组成。 （1）用物质的电结构解释基本电现象。 （2）明确导体与电介质在电结构上的区别与特点。 晶格点阵 自由电子 自由电荷与束缚电荷 导体中的静电感应现象与电介质的极化现象

电介质及其极化的微观机制 注意：电介质极化与导体静电感应的区别。 有极分子电介质和与无极分子电介质 正、负电荷中心重合的分子称为无极分子。 由无极分子构成的电介质——无极分子电介质。 正、负电荷中心不重合的分子称为有极分子。 由有机分子构成的电介质——有极分子电介质 无极分子电介质的极化 位移极化 有极分子电介质的极化 取向极化 注意：电介质极化与导体静电感应的区别。

电荷的量子化( Quantization of Electric Charge ) 物体所带的电荷量不可能连续地取任意量值，而只能取电子或质子电荷量的整数倍值．电荷量的这种只能取分立的、不连续量值的性质，称为电荷的量子化 1906-1917年，密立根用液滴法首先从实验上证明了，微小 粒子带电量的变化不连续。 一个电子或质子电荷量为 e =1.602189246×10－ 19 库仑 宏观物体带电量 e 的整数倍.

2、真空中的库仑定律(Coulomd`s Law) １、点电荷 ( Point Charge ) 在具体问题中，当带电体的形状和大小与它们之间的距离相比允许忽略时，可以把带电体看作点电荷( Point Charge )． ２、库仑定律(Coulomd`s Law) 　　　　　 1785年，库仑(A．de Coulomb)总结出点电荷之间相互作用的静电力所服从的基本规律－库仑定律( Coulomd`s Law) ． 在真空中，两个静止点电荷之间相互作用力的大小与这两 个点电荷的电荷量乘积成正比，而与这两个点电荷之间距离的平方成反比，作用力的方向沿着这两个点电荷的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸．

电荷2受电荷1的力为 从电荷1指向电荷2 若表示 电荷1受电荷2的力 表达式仍为 的方向规定为从施力电荷指向受力电荷

令 真空介电常数 真空电容率 国际单位制 (SI) (SI)制中库仑定律的常用形式 （有理化） 真空介电常数 真空电容率 注意事项：（1）使用条件 （a）真空 （b）点电荷 （2）当取 时单位制 为 (SI) 制

§5-2 电场强度(Electric Field Strength) 1.检验电荷q0( Test Charge ) 检验电荷： A.其电量很小，以便它引入电场后不会 导致产生电场的电荷分布发生变化； B.这个电荷的几何线度很小，以致于可 将其视为点电荷． 2. 电场强度的定义 大小：单位电荷受力 方向：正电荷受力 单位：N/C 、V/m 只由产生电场的电荷及其分布有关而与检验电荷无关

（a） 是q以外的其它电荷在q处所形成的电场的场强 （b）q是点电荷。（思考q与检验电荷 的区别） 3。场的概念： 是空间坐标的函数所 有这些场强 的总体形成一个矢量场 这个场就称为静电场。 4。静电场具有单值性。 5。带电粒子在电场中所受的力： （a） 是q以外的其它电荷在q处所形成的电场的场强 （b）q是点电荷。（思考q与检验电荷 的区别）

q为产生电场的点电荷的电量，其所在处称为源点 6、点电荷的电场强度： 利用库仑定律和电场强度的定义 q为产生电场的点电荷的电量，其所在处称为源点 为检验电荷的电量，其所在处被称为场点

二。场强叠加原理 1。 带电体由 n 个点电荷组成 力的叠加原理 场强定义 整理后得 或

2。场强的迭加原理 迭加原理：电场中任何一点的总场强，等于各点电 荷（源电荷）单独存在时在该点分别产 生的场强的矢量和。 数学表述 注意：电场强度是矢量，迭加时应为矢量相加

3。带电体电荷连续分布 dV 把带电体看作是由许多个元电荷组成,再利用场强叠加原理。  体电荷密度  面电荷密度  线电荷密度 电荷密度

 体电荷  面电荷  线电荷 元电荷 元电荷的场强 p 总场强 dV

三、电场强度的计算： 求：电偶极子中垂面上任意点的场强。 例1: X Y 解 + -

+ - X Y r >> l r+= r-  r 定义：偶极矩

例2: 设有一均匀带电直线段，长度为 L，总电荷量为 q，(如图 所示) 求其延长线上一点 P 的电场强度．(设 p 到线段近端 距离为 d ) P d X dX 解: X 建坐标系如图,在坐标为 X 处取一线元 dX, 视为点电荷 , 电量为:

２) 我们可以通过两种方法大致检查此题结果是否正确 d+L d 讨论: p X 沿x负方向 1) q > 0 P X 沿x正方向 q < 0 ２) 我们可以通过两种方法大致检查此题结果是否正确 Ａ　量纲方法 d L B 当d>>L时

例3 均匀带电圆环轴线上一点的场强。 x dl dE⊥ dE dEx θ 解： 在圆环上任取电荷元 由对称性分析可知 垂直x 轴的场强为0

x dl dE⊥ dE dEx θ >> 若 点电荷

例4: 已知：总电量Q ；半径R 。 求： 均匀带电圆盘轴线上的场强。 x r dr x 当R >>x时 为无限大带电平面场强

当场源是几个具有对称性的带电体时，可分别求各带电体单独存在时的场强，再作矢量叠加。 例5 求：电荷面密度分别为1 、2 两个平行放置的无限大均匀带电平面的场强分布。 + + + + ++ A B C 解：

A B C - + + + + ++ 当 -1 = 2 =  - + + + + ++ 带电平板电容器间的场强

§5-3 高斯定理 一.电力线与电通量 1.电力线： 电力线是用来形象描述场强分布的空间曲线 2.规定： §5-3 高斯定理 一.电力线与电通量 1.电力线： 电力线是用来形象描述场强分布的空间曲线 2.规定： 方向：电力线上每一点的切线方向为该点场强方向 大小：对电场中任一点，通过垂直于该点场强方向单 位面积上的电力线条数，等于该点场强的大小

3.电力线的性质 1)电力线起始于正电荷(或无穷远处)， 终止于负电荷(或无穷远处)不会在没有电荷处中断；也不会形成闭合曲线。 2)两条电力线不会相交； 这些都是由静电场的基本性质和场的单值性决定的 4. 电通量e S (1) 均匀电场A： (2) 均匀电场B：  其中θ为面的法线方向（也就是面的方向）与电场方向的夹角

(3) 非均匀电场、任意曲面 的方向规定与 的方向相同 与 的夹角为 单位：Vm

二。高斯定理： 高斯定理讨论的是封闭曲面的电通量与该曲面内包围的自由电荷之间的关系 1。点电荷的情况： +q 1。点电荷的情况： (1) 点电荷位于球形封闭曲面的中心时的情况： 注意到 与 方向相同

积分要在整个球面上进行。注意到现在所讨论的情况下，球面上各点的电场强度的大小是相等的。 讨论： (a) 对封闭曲面总是规定其外法线方向为面 元 的正方向。电力线穿出封闭曲面 时 而电力线穿入封闭曲面时 (b) 上式中的q 应取代数值。

+q 电力线穿出封闭曲面的情况 这里图中的q表示电荷所带电量的绝对值 -q 电力线穿入封闭曲面的情况

q (2) 点电荷不位于球形封闭曲面的中心时的情况： q (3) 封闭曲面形状为任意时的情况

q (4) 点电荷位于封闭曲面外时的情况： 结论： 特别注意： 上式中q 为封闭曲面内包围的电量的代数值

2. 点电荷系的情况： 3.静电场的高斯定理 在真空中的静电场内，任一闭 合面的电通量等于这闭合面所包 围的电量的代数和除以 结论：静电场为有源场

三、高斯定理的应用 对于具有某种对称性的电场，用高斯定理求场强简便。 例1:求电量为Q 、半径为R的 均匀带电球面的场强分布。 作高斯面（r＞ R） R 作高斯面（r＜R） R

§5-4 静电场的环路定理 电势 一、静电力的功与静电场的环路定理 : 1。静电力的功： （1）点电荷的情况： A B 元功： rB dr §5-4 静电场的环路定理 电势 一、静电力的功与静电场的环路定理 : 1。静电力的功： （1）点电荷的情况： A B 元功： rB dr q r 已知： q0 rA

注意到无论红色路径还是蓝色路径只要A. B的位置一定必有： rB rA q q0 A B 结论： 只与 的起点和终点位置有关而与所经路径无关。

（2）点电荷系的情况： 由场强的迭加原理

注意到无论红色路径还是蓝色路径只要A. B的位置一定必有： 结论：任意检验电荷 在给定电场中移动时，静电力对该检验电荷所作的功 ， 只与 和起点和终点位置有关而与所经路径无关。 q0 结论：静电力为保守力 静电场为保守场

2。静电场的环路定理 : 注意到静电力为保守力则必有： 在静电场中电场强度沿任意闭合路径的积分（称为静电场的环流）为零------这一结论被称为静电场的环路定理。 （3）静电场的性质 : 两个基本方程

二、电 势 能 : （1）电势能的差 : 保守力的功与势能的一般关系 保守力的功 = 势能增量的负值 = 初态 势能 - 终态 势能 设WA和WB分别表示试探电荷q0在起点A和终点B处的电势能

（2）电势能： 若B点位于无穷远处且取: 则称 为 在A点处的电势能。 例1： 在带电量为Q的点电荷所产生的静电场中, 电量为q 的点电荷在a 点处的电势能。 Q q 解： 选取和适的积分路径 或使用

三、电 势 1. 电势 静电场中某点的电势在数值上等于单位正电荷放在该点处时的电势能,也等于单位正电荷从该点经过任意路径到无限远处时电场力所做的功. 例：点电荷的电势 2. 电势差(电压)

结论：电力线指向电势降低的方向。 3。讨论： （1）电势与电势能的零点选取是任意的,一般视问题方便 而定: 通常参考点不同电势不同.理论计算有限带电体 电势时选无限远为零参考点;实际应用中或研究电路 问题时取大地、仪器外壳等为零参考点. （2）电势的单位 ： SI制 V (伏特) （3）电势能是属于系统的 (电场+ 试验电荷) （4）电场力的功与电势差: 把 q从A处移到 B 处电场力的功为 UA UB: q0 AAB 0 在电场中正电荷在电场力的作用下向电势低处运动 q 0 AAB 0 正电荷受力方向沿电力线方向 结论：电力线指向电势降低的方向。 UA UB 情况自行讨论

A 4. 电势叠加原理: (a) 点电荷系的情况： (b) 连续分布的带电体系:  P

四. 电势的计算 E 1.直接使用定义： 求：均匀带电球面的电场的电势分布. 例题1 解：已知 四. 电势的计算 1.直接使用定义： 求：均匀带电球面的电场的电势分布. 例题1 解：已知 设无限远处电势为0 ，则电场中距离球心rP 的 P 点处电势为: P  P  R E

2. 使用迭加原理： 例2：电偶极子电场中任一点的电势 解： 

代入 将

例题3 均匀带电细棒，长 L ，电荷线密度  ， 求：沿线、距离一端 x0 米处的电势。 P x0 L 解：

例题4 求：总电量Q ；半径R 。 均匀带电圆环轴线上的电势分布 解： R x P

3。电势差的计算： 例5.带有等量异号电荷的平行板间的电势差 解：平行板内部的 场强为 两板间的电势差 d

§5-5 静电场中的导体 一、导体的静电平衡 1. 导体 绝缘体 (1) 导体: 存在大量的可自由移动的电荷 1. 导体 绝缘体 (1) 导体: 存在大量的可自由移动的电荷 (2) 绝缘体: 理论上认为一个自由移动的电荷也没有 也称 电介质 (3)半导体: 介于上述两者之间 本节讨论金属导体对电场的影响 2。导体的静电平衡状态: 导体的内部和表面都没有电荷作宏观运动的状态. - ---------导体的静电平衡状态.

3。导体静电平衡条件: (1)导体内任一点的电场强度都等于零 (2) 导体表面任一点场强方向 垂直于表面

二 . 处于静电平衡情况下的导体的性质 1.导体为等势体，导体表面为等势面 因静电场为保守场所以无论沿任何路径由一点到另一点该结论都正确

2. 导体表面附近的场强方向 与表面垂直，大小与该处 电荷的面密度的大小成正比

3. 当带电导体处于静电平衡状态时,导体内部处处没有净电荷存在,电荷只能分布于导体的表面上. S P S 空 腔 P 该结论适用于导体内部的任一点附近的任意封闭曲面

- + 讨论： 空 腔 空腔导体带电荷Q 腔内无电荷，导体的电荷只能分布在外表面。 在静电平衡状态下,导体空腔内各点的场强等于零,空腔的内表面上处处没有电荷分布. + + Q +q 空 腔 - -q 导体的内 表面电荷-q，外表面电荷Q+q 腔内有电荷q ， +q （电荷守恒定律的体现）

4、孤立的带电导体，外表面各处的电荷面密度与该处曲率有关。 （1）导体表面凸出的地方曲率越大电荷面密度越大 （2）导体表面较平坦的地方曲率较小电荷面密度也较小 （3）导体表面凹进去的地方曲率为负电荷面密度就更小 尖端放电现象

三、导体的静电平衡条件的应用 1. 静电屏蔽: 在静电平衡状态下, (1) 空腔导体,外面的带电体不会影响空腔内部的电场分布; (1) 空腔导体,外面的带电体不会影响空腔内部的电场分布; 一个接地的空腔导体,空腔内的带电体对空腔外的物体 不产生影响.

例 已知：金属球与金属球壳同心放置，球的半径为R1、带电为q；壳 的半径分别为R2、R3 带电为Q； 求: (1) 电量分布；（2）场强分布 (3) 球和球壳 的电势。 解（1）电量均匀分布 球表面—q； 球壳内表面— -q ， 球壳内表面— Q+q 作以对称中中心为中心任意长度为半径 的球面为高斯面 （2） 由高斯定理有：

E = 0 （其他） （3) 球的电势 根据叠加原理 (4) 球壳的电势 to6

§5-6 电容器的电容 一、孤立导体的电容 一个带有电荷为Q 的孤立导体,其电势为V (无穷远处为电势零点), 则有: C为孤立导体的电容 §5-6 电容器的电容 一、孤立导体的电容 一个带有电荷为Q 的孤立导体,其电势为V (无穷远处为电势零点), 则有: C为孤立导体的电容 电容的单位:法拉(F) 注意：C 的值只与导体的形状，大小及周围的环境所决定，而与其带电量的多少无关。

二。电容器的电容 例1：孤立导体球的电容： 由定义 + 1、电容器的电容: -q 电容器: 两个带有等量异号电荷的导体组成的系统. B A

2、电容器电容的计算: +Q -Q 例：平板电容器电容的计算: 解： S

3、电容器的串联和并联 各电容器极板上的电量相同 (1) 串联电容器 -q U Un U2 U1 Cn C2 C1 +q

(2) 并联电容器 各电容器极板间的电压相同 U C1 q1 C2 Cn q2 qn

将各电荷从现有位置彼此分散到无限远它们之间的静电力所做的功定义为电荷系在原来状态的静电能。也称相互作用能 §5-7 电荷间的相互作用能 静电场的能量 一、点电荷间的相互作用能 r 将各电荷从现有位置彼此分散到无限远它们之间的静电力所做的功定义为电荷系在原来状态的静电能。也称相互作用能 1、两个点电荷： 间距为r ,带电量分别为 和 。 搬动 到无限远电场力 做功

r 所在点由 所产生的电势与 的电势能也可以写为

写成对称形式 2、n个点电荷 电荷系 3、带电体 带电体

二。电场的能量 1、以电容器为例计算能量： 电容器在充电过程中其各极板的带电量不断增加的过程就是不断把正电荷元从负极板搬动到正极板的过程。 电荷 电压 能量 初态： 中间态 q→q+dq u→u+du 终态 Q U W

2。电场的能量密度： 以平行板电容器为例 取：

对平行板电容器有： 称为电场能量密度。即单位体积的电场能量 场能密度的单位: 3。一般情况下的电场能量密度： 必需指出：这时电场为非均匀场，因此有： 电场能量

例：一平行板电容器， 极板面积为S， 间距为d 用电源充电后， 两极板上分别带电为±Q ,断开电源后， 再把两极板的距离拉开到2d, 求： （1）外力克服两极板间的引力所作的功。 （2）两极板间的吸引力。 解： 拉开前 拉开后