1．4　全称量词与存在量词

1.4.1　全称量词 1．4.2　存在量词

1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义． 2.会判定全称命题和特称命题的真假.

1.全称量词和存在量词的含义．(难点) 2.全称命题和特称命题真假的判定．(重点)

你能判断下列语句是否为命题吗？若是命题，请判断真假． (1)2x－1是整数； (2)x2＋2x－3>0； (3)存在x∈R，使x2＋2x－3>0； (4)对任意x∈R，x2＋2x＋3>0. 对于(3)，(4)中的词语“存在”、“任意”你理解了吗？

“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可简记为 . 1．全称量词和全称命题 所有的 任意一个 一切 任给 全称量词 、 、 、 . 符号 ∀ 全称命题 含有 的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可简记为 . 全称量词 “∀x∈M，p(x)”

2.存在量词和特称命题 存在一个 至少有一个 有些 有的 存在量词 、 、 、 . 符号表示 ∃ 特称命题 含有 的命题 形式 “存在M中的一个x0，使p(x0)成立”，可用符号记为 . 存在量词 “∃x0∈M；p(x0)”

1．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是(　　) A．∀x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy B．∃x0，y0∈R，使x＋y≥2x0y0 C．∀x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy D．∃x0<0，y0<0，使x＋y≤2x0y0 解析：　这是一个全称命题，且x，y∈R，故选A. 答案：　A

2．下列全称命题中假命题的个数是(　　) ①2x＋1是整数(x∈R)　②对所有的x∈R，x>3　③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数 A．0　　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3

答案：　C

3．下列命题，是全称命题的是________；是特称命题的是________． ①正方形的四条边相等； ②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数． 解析：　①③是全称命题，②④是特称命题． 答案：　①③　②④

4．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假： (1)当a＞1时，则对任意x，曲线y＝ax与曲线y＝logax有交点． (2)∃x∈R，使得x2－x＋1≤0. (3)被5整除的整数的末位数字都是0. (4)有的四边形没有外接圆．

对于(4)，∵只有对角互补的四边形才有外接圆， ∴(4)是真命题.

判断下列语句是全称命题还是特称命题，并判断真假． (1)有一个实数α，tan α无意义； (2)任何一条直线都有斜率吗？ (3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径； (4)圆内接四边形，其对角互补； (5)指数函数都是单调函数．

(4)“圆内接四边形，其对角互补”的实质是“所有的圆内接四边形，其对角都互补”， 所以该命题是全称命题且为真命题． (5)虽然不含逻辑联结词，其实“指数函数都是单调函数”中省略了“所有的”，

[题后感悟]　判定一个语句是全称命题还是特称命题可分三个步骤： (1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题． (2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题． (3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．

1.判断下列语句是全称命题还是特称命题： (1)没有一个实数α，tan α无意义． (2)存在一条直线其斜率不存在． (3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径吗？ (4)圆外切四边形，其对角互补． (5)有的指数函数不是单调函数．

解析：　(1)为全称命题． (2)为特称命题． (3)不是命题． (4)为全称命题． (5)为特称命题．

将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示，并判断真假． (1)实数的平方是非负数； (2)整数中1最小； (3)方程ax2＋2x＋1＝0(a<1)至少存在一个负根； (4)对于某些实数x，有2x＋1>0； (5)若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.

首先判断是全称命题还是特称命题，然后用符号表示，并判断真假．

∃x<0，有ax2＋2x＋1＝0(a<1) [解题过程] 题号 符号表示 真假判断 (1) ∀x∈R，x2≥0 真 (2) ∀x∈Z，x≥1 假 (3) ∃x<0，有ax2＋2x＋1＝0(a<1) (4) ∃x∈R，有2x＋1>0 (5) 若∀a⊂α，l⊥a，则l⊥α

[题后感悟]　同一个全称命题或特称命题，可能有不同的表述方法，现列表总结如下，在实际应用中可以灵活选择： 全称命题“∀x∈A，p(x)” 特称命题“∃x∈A，p(x)” 表述方法 ①所有的x∈A，p(x)成立 ②对一切x∈A，p(x)成立 ③对每一个x∈A，p(x)成立 ④任意一个x∈A，p(x)成立 ⑤凡x∈A，都有p(x)成立 ①存在x∈A，使p(x)成立 ②至少有一个x∈A，使p(x)成立 ③对有些x∈A，p(x)成立 ④对某个x∈A，p(x)成立 ⑤有一个x∈A，使p(x)成立

②a.存在角α∈R，使sin α＝cos α成立； b．至少有一个角α，使sin α＝cos α成立； c．对于有些角α，满足sin α＝cos α.

解答本题可根据命题中所含量词的含义进行判断．

[规范作答]　(1)∵当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0， ∴原命题是假命题. … … … … … … … … … … … 3分 (2)∵当x＝0时，|x|≤0成立， ∴原命题是真命题. … … … … … … … … … … … 6分 (3)∵当x＝1时，log2x＝0， ∴原命题是假命题. … … … … … … … … … … … 9分

[题后感悟]　(1)要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是假命题，只要能举出一个反例，即在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题． (2)要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需要找到集合M中的一个元素x0使p(x0)成立即可．只有当对集合M中的任意一个元素x，p(x)都不成立时，才说明这个特称命题是假命题．

3.本例(1)中“>”改为“≥”，(2)中“≤”改为“<”，两命题的真假性如何？ 解析：　(1)∀x∈R，x2＋2x＋1≥0是真命题． (2)∃x0∈R，|x0|<0是假命题．

(4)因为对于x2－x＋1＝0，Δ<0，所以方程x2－x＋1＝0无实数根，所以“∃x0∈R，x－x0＋1＝0”是假命题．

1．如何理解全称命题和特称命题？ 全称命题是陈述某集合中的所有元素都具有(不具有)某种性质的命题，无一例外，强调“整体、全部”． 特称命题是陈述某集合中有(存在)一个元素具有(不具有)某种性质的命题，强调“个别、部分”的特殊性．

[特别提醒]　全称命题与特称命题中可能存在多个量词，多个变量． 如：∀x∈R，y∈R，(x＋y)(x－y)>0， ∃α0，β0∈R，使sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0.

2．如何判定全称命题和特称命题的真假？ 对全称命题，若要判定为真命题，需对每一个x都验证使p(x)成立；若要判定为假命题，只需举一个反例． 对特称命题，若要判定为真命题，只需找一个元素x0使p(x0)成立；若要判定为假命题，需证明对每一个x，p(x)不成立．

◎∀x∈[－1,2]，使4x－2x＋1＋2－a<0恒成立，求实数a的取值范围． 【错解】　令t＝2x，则不等式4x－2x＋1＋2－a<0化为：t2－2t＋2－a<0，① 由已知①式有解． ∴Δ≥0， 即(－2)2－4(2－a)≥0，解得a≥1.

【错因】　

所以只需a>10即可． 即所求实数a的取值范围是(10，＋∞).

练考题、验能力、轻巧夺冠