必修二 第四章 曲线运动 万有引力与航天 考 纲 展 示 高 考 瞭 望 知识点 要求 运动的合成和分解 Ⅱ 考　纲　展　示 高　考　瞭　望 知识点 要求 运动的合成和分解 Ⅱ 1. 平抛运动的规律及其研究方法、圆周运动的 角速度、线速度及加速度是近年高考的热 点，且多数与电场、磁场、机械能结合命制 综合类试题． 2. 万有引力定律在天体中的应用，如分析人造 卫星的运行规律、计算天体的质量和密度等 ，是高考必考内容．以天体问题为背景的信 息给予题，更是受专家的青睐．在课改区一 般以选择题形式呈现． 3. 从命题趋势上看，对本部分内容的考查仍将 延续与生产、生活相结合以及科技航天，形 成新情景物理题. 抛体运动 圆周运动、线速度、角速度、向心加速度 Ⅰ 圆周运动、向心力 开普勒行星运动定律 万有引力定律及其应用 第一宇宙速度、第二宇宙速度、第三宇宙速度 经典力学的局限性 必修二 第四章 曲线运动 万有引力与航天

第1讲 曲线运动 平抛运动 1．运动特点 曲线运动的速度：曲线运动中速度的方向是在曲线上某点的 方向，是时 切线 第1讲 曲线运动 平抛运动 1．运动特点 曲线运动的速度：曲线运动中速度的方向是在曲线上某点的 方向，是时 刻 的，具有加速度，因此曲线运动一定是 运动，但变速运动不一定 是曲线运动． 切线 改变 变速

2．物体做曲线运动的条件 (1)从动力学角度看，如果物体所受合外力方向跟物体的 方向不在同一 条直线上，物体就做曲线运动． (2)从运动学角度看，就是加速度方向与 方向不在同一条直线上．经常 研究的曲线运动有平抛运动和匀速圆周运动． 速度 速度

3．运动的合成与分解 已知分运动求合运动称为运动的 ；已知合运动求分运动称为运动 的 ．两者互为逆运算．在对物体的实际运动进行分析时，可以根据 分解，也可以采用正交分解． 4．遵循的法则 运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即 、 、 的合 成与分解，由于它们都是矢量，故遵循 ． 合成 分解 实际效果 位移 速度 加速度 平行四边形定则

1．物体做曲线运动的受力特点 物体所受合外力与速度方向不在一条直线上，且指向轨迹的凹侧． 2．不同运动类型的分类分析 轨迹 分　类 条　件 直线运动 匀速直线运动 F合＝0 匀变速直线运动 F合为恒力不等于零且与速度同线 非匀变速直线运动 F合为变力且与速度同线 曲线运动 匀变速曲线运动 F合≠0为恒力与速度不同线 非匀变速曲线运动 F合≠0为变力与速度不同线

3.合运动与分运动的关系 （1）等时性：合运动与分运动经历的时间相等，即合运动与分运动同时开始，同时结束. （2）独立性：物体在任何一个方向的运动，都按其本身规律进行，不会因为其他方向的运动是否存在而受影响.（如河水流速变化不影响渡河时间） （3）等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果.

1. 图4－1－1 如图4－1－1所示，平面直角坐标系xOy与水平面平行，在光滑水平面上一做 匀速直线运动的质点以速度v通过坐标原点O，速度方向与x轴正方向的夹角为 α，与此同时给质点加上沿x轴正方向的恒力Fx和沿y轴正方向的恒力Fy.则此 后(　　)

A．因为有Fx，质点一定做曲线运动 B．如果Fy＜Fx，质点相对原来的方向向y轴一侧做曲线运动 C．如果Fy＝Fxtan α，质点做直线运动 D．如果Fx＞Fycot α，质点相对原来的方向向x轴一侧做曲线运动 解析：显然质点受到的重力和光滑水平面的支持力是一对平衡力，所以质点所受的合外力F就是Fx和Fy的合力．当F与v平行时，质点做直线运动；当F与v不平行时，质点做曲线运动，且曲线向合外力的一侧弯曲． 答案：CD

1．定义：水平方向抛出的物体只在 作用下的运动． 2．性质：平抛运动是加速度为g的 曲线运动，其运动轨迹是 ． 3．平抛物体运动条件：(1)v0≠0，沿 ，(2)只受 作用． 4．研究方法 运动的合成与分解．把平抛运动分解为水平方向的 运动和竖直方向 的 运动． 重力 匀加速 抛物线 水平方向 重力 匀速 自由落体

5．运动规律 以抛出点为坐标原点，水平初速度v0方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴 正方向，建立如图4－1－2所示的坐标系，则平抛运动规律如下表． 水平方向 vx＝v0　x＝ . 竖直方向 vy＝ 　y＝ . 合运动 合速度：vt＝ 合位移：s＝ 合速度与水平方向的夹角tan α＝ 合位移与水平方向的夹角tan θ＝ v0t gt

1．平抛运动的主要特点有哪些？ 图4－1－3 (1)平抛运动是匀变速曲线运动，故相等的时间内速度的变化量相等．由 Δv＝gt，速度的变化必沿竖直方向，如图4－1－3所示．

(2)物体由一定高度做平抛运动，其运动时间由下落高度决定，与初速度无关，由公式y＝ gt2，可得t＝ ；落地点距抛出点的水平距离x＝v0t， 由水平速度和下落时间共同决定． (3)水平方向和竖直方向的两个分运动同时存在，互不影响，具有独立性．

2．平抛运动的两个重要推论 图4－1－4 推论Ⅰ：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度 方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ. 证明：如图4－1－4所示，由平抛运动规律得： ，所以tan α＝2tan θ.

推论Ⅱ：做平抛(或类平抛)运动的物体，任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点． 图4－1－5 证明：如图4－1－5所示，设平抛物体的初速度为v0，从原点O到A点的时间为t，A点坐标为(x，y)，B点坐标为(x′，0)，则x＝v0t，y＝ ， v⊥＝gt，又tan α＝ ， 解得x′＝ . 即末状态速度方向的反向延长线与x轴的交点B必为此时水平位移的中点．

(1)平抛运动是匀变速运动，但其合速度大小v＝ 并不随时间均匀增加． (2)速度矢量和位移矢量与水平方向的夹角关系为tan α＝2tan θ，不能误认为 α＝2θ.

2. 图4－1－6 如图4－1－6所示，一同学在玩闯关类的游戏，他站在平台的边缘，想在2 s内 水平跳离平台后落在支撑物P上，人与P的水平距离为3 m，人跳离平台的最大 速度为6 m/s，则支撑物距离人的竖直高度可能为(　　) A．1 m 　　B．9 m 　　　　C．17 m 　　　　　　　D．20 m

解析：人以最大速度跳离平台时，用时0.5 s，下落的高度为h＝1.25 m；在2 s 内，下落的最大高度为20 m，人要跳到P上，高度差满足1.25 m≤h≤20 m，正 确选项为B、C、D. 答案：BCD

【例1】 图4－1－7 一快艇要从岸边某一不确定位置处到达河中离岸边100 m远的一浮标处，已 知快艇在静水中的速度vx图象和流水的速度vy图象如图4－1－7甲、乙所 示，则(　　)

A．快艇的运动轨迹为直线 B．快艇的运动轨迹为曲线 C．能找到某一位置使快艇最快到达浮标处的时间为20 s D．快艇最快到达浮标处经过的位移为100 m 解析：艇沿河岸方向的匀速运动与垂直于河岸的匀加速运动的合运动是类平抛 性质的曲线运动．最快到达浮标处的方式是使垂直于河岸的速度vx保持图甲所 示的加速度a＝0.5 m/s2的匀加速运动，则 at2＝x，代入x＝100 m有t＝20 s．但 实际位移为x＝ ＞100 m，D项错． 答案：BC

1．此类题应用矢量合成与分解的方法，因为速度是矢量，在合成和分解时，采 用矢量合成与分解的平行四边形定则．将艇的运动分解为沿河岸的匀速运动 和垂直于河岸的匀加速运动． 2．研究曲线运动的思维过程 (欲知)曲线运动规律 (只需研究)两分运动规律 (得知) 曲线运动规律．

1－1 现在城市的滑板运动非常流行．在水平地面上一名滑板运动员双脚站在滑 板上以一定速度向前滑行，在横杆前起跳并越过杆，从而使人与滑板分别 1－1　现在城市的滑板运动非常流行．在水平地面上一名滑板运动员双脚站在滑 板上以一定速度向前滑行，在横杆前起跳并越过杆，从而使人与滑板分别 从杆的上下通过，如图4－1－8所示．假设人和滑板运动过程中受到的各种 阻力忽略不计，运动员能顺利完成该动作，最终仍落在滑板原来的位置 上．要使这个表演成功，运动员除了跳起的高度足够外，在起跳时双脚对 滑板作用力的合力方向应该(　　) 图4－1－8

A．竖直向下 B．竖直向上 C．向下适当偏后 D．向下适当偏前 解析：本题考查运动的合成与分解，要使运动员落在滑板原来的位置，则运 动员在跳起后和滑板在水平方向的运动情况相同，由于惯性，运动员和滑板 的水平初速度相同，因此只要水平方向上不受力即可，故双脚对滑板的作用 力方向应该竖直向下，A正确． 答案：A

1－2　 图4－1－9 一物体在光滑的水平桌面上运动，在相互垂直的x方向和y方向上的分运 动的速度随时间变化的规律如图4－1－9所示．关于物体的运动，下列说 法中正确的是(　　)

A．物体做匀变速曲线运动 B．物体做变加速直线运动 C．物体运动的初速度大小是5 m/s D．物体运动的加速度大小是5 m/s2 解析：根据运动的合成与分解v合＝ ＝5 m/s，C正确．从图象得物体的加速度a＝2 m/s2，由于初速度的方向与加速度的方向不共线所以物体做匀变速曲线运动，A正确． 答案：AC

【例2】 图4－1－10 (2010·内蒙古海拉尔模拟)如图4－1－10所示，从倾角为θ的足够长的斜面 顶端P以速度v0抛出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速 度与斜面的夹角α，若把初速度变为2v0，则(　　)

A．空中的运动时间变为原来的2倍 B．夹角α将变大 C．PQ间距一定大于原来间距的3倍 D．夹角α与初速度大小无关 解析：由tan θ＝ 得t＝ ，故A正确； ＝ ， 所以若v0加倍，PQ间距将为原来的4倍，C正确；设小球落到斜面上时与水平方向 夹角为β，则tan β＝ ＝2tan θ，可见β与v0无关，因此α＝β－θ也与初速 度无关，B错误，D正确． 答案：ACD

类平抛运动的求解方法 (1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力的方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性． (2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解．

2－1　 图4－1－11 如图4－1－11所示，三个小球从同一高处的O点分别以水平初速度v1、 v2、v3抛出，落在水平面上的位置分别是A、B、C，O′是O在水平面上 的射影点，且O ′A∶AB∶BC＝1∶3∶5.若不计空气阻力，则下列说法 正确关系是(　　)

A．v1∶v2∶v3＝1∶3∶5 B．三个小球下落的时间相同 C．三个小球落地的速度相同 D．三个小球落地的动能相同 解析：本题考查平抛运动的规律．根据t＝ 可得，做平抛运动的物体在空中 运动的时间是由高度决定的，B项正确；根据平抛运动的速度公式 由于O ′A∶AB∶BC＝1∶3∶5， 所以O ′A∶O ′B∶O ′C＝1∶4∶9，故v1∶v2∶v3＝1∶4∶9，A项错误；落地 时的速度v＝ ，由于三个小球高度相同，所以落地时它们的竖直分速度vy是 相等的，但是由于vx不相等，所以落地时的速度v不相等，C项错误；由于三小球 落地时的速度不相等，所以它们落地时动能也不相等，D项错误． 答案：B

【例3】 图4－1－12 在光滑的水平面内，一质量m＝1 kg的质点以速度v0＝10 m/s沿x轴正方向 运动，经过原点后受一沿y轴正方向(竖直方向)的恒力F＝15 N作用，直线 OA与x轴成α＝37°，如图4－1－12所示曲线为质点的轨迹图(g取 10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：

(1)如果质点的运动轨迹与直线OA相交于P点，质点从O点到P点所经历的时间以及P点的坐标； 解析：(1)质点在水平方向上无外力作用做匀速直线运动，竖直方向受恒力F和重力mg作用做匀加速直线运动． 由牛顿第二定律得：a＝ m/s2＝5 m/s2. 设质点从O点到P点经历的时间为t，P点坐标为(xp，yp)，则xP＝v0t，yP＝ at2， 又tan α＝ ，联立解得：t＝3 s，xP＝30 m，yP＝22.5 m.

(2)质点经过P点时沿y方向的速度vy＝at＝15 m/s 故P点的速度大小vP＝ m/s. 答案：(1)3 s　(30 m,22.5 m)　(2)5 m/s 若例3中xy坐标平面在光滑水平面内，(1)、(2)两问的答案又如何呢？ 答案：(1)1 s　(10 m,7.5 m)　(2)5 m/s

类平抛运动问题的求解思路

3－1　如图4－1－13所示，两个倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平 面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等，有三个完全相同的小球 a、b、c.开始均静止于斜面同一高度处，其中b小球在两斜面之间．若同时 释放a、b、c小球到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3.若同时沿水平方向抛 出，初速度方向如上图所示，到达该水平面的时间分别为t1′、t2′、t3′. 下列关于时间的关系正确的是(　　) 图4－1－13

A．t1>t3>t2 B．t1＝t1′、t2＝t2′、t3＝t3′ 　 C．t1′>t3′>t2′ D．t1<t1′、t2<t2′、t3<t3′ 解析：由静止释放三小球时 对a： 对b： 对c： 所以t1>t3>t2.当平抛三小球时，小球b做平抛运动，小球a、c在斜面内做类平抛 运动．沿斜面方向的运动同第一种情况，所以t1＝t1′，t2＝t2′，t3＝t3′. 故选 A、B、C. 答案：ABC

A．人拉绳行走的速度为vcos θ B．人拉绳行走的速度为v/cos θ 图4－1－14 如图4－1－14所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v，此时人的拉力大小为F，则此时(　　) A．人拉绳行走的速度为vcos θ　　　　　B．人拉绳行走的速度为v/cos θ C．船的加速度为 D．船的加速度为

【错因分析】 图a 错解1 人拉绳行走的速度即绳的速度，错误地采用力的分解法则，将人拉绳行走 错解1 人拉绳行走的速度即绳的速度，错误地采用力的分解法则，将人拉绳行走 的速度按图a所示进行分解，水平分速度为船的速度，得人拉绳行走的速度为 v/cos θ，错选B项． 错解2 错误地认为绳作用于船的拉力的水平分力即为F，因此有a＝ ，错选D项．

【 正确解答】 图b 解析：船的速度产生了两个效果：一是滑轮与船间的绳缩短，二是绳绕滑轮顺时针转动，因此将船的速度进行分解如图b所示，人拉绳行走的速度 v人＝vcosθ，A对，B错；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小 为F，与水平方向成θ角，因此Fcos θ－f＝ma，得a＝ ，C对， D错． 答案：AC

【题后反思】 相互牵连的两物体的速度往往不相等，一般需根据速度分解确定两物体的速度关系．在分解速度时，要注意两点：①只有物体的实际运动才是合运动，如本题A向右运动，所以A向右的速度是合速度，也就是说供分解的合运动一定是物体的实际运动；②两物体沿绳或沿杆方向的速度(或分速度)相等. 点击此处进入 作业手册