第四章 梁的弯曲内力

工程实际中的弯曲问题 P P P P P

本单元主要内容 梁弯曲的概念 梁的载荷与支座反力 梁的内力 梁的应力 梁的强度条件

4-1 梁弯曲的概念 1、外力特点： 2 、变形特点： M q P RA 集中力、分布力作用线与轴线垂直，力偶作用平面与杆轴线平行。 4-1 梁弯曲的概念 P q M RA RB 1、外力特点： 集中力、分布力作用线与轴线垂直，力偶作用平面与杆轴线平行。 2 、变形特点： 杆轴线由直线变为曲线。

平面弯曲的概念 以矩形截面梁的弯曲为例 1、几何条件：梁横截面至少具有一个对称轴，整个梁至少具有一个 纵向对称平面。 1、几何条件：梁横截面至少具有一个对称轴，整个梁至少具有一个 纵向对称平面。 2、外力条件：梁所受外力的全部作用线均集中在纵向对称平面内。 3、变形条件：变形所在平面与纵向对称平面重合。

4-2 梁的载荷与支座反力 1、梁的载荷 ● 集中力 ● 均布载荷 ● 集中力偶 正负号规定： 集中力和均布载荷与坐标轴同向为正、反向为负； 4-2 梁的载荷与支座反力 1、梁的载荷 ● 集中力 ● 均布载荷 ● 集中力偶 正负号规定： 集中力和均布载荷与坐标轴同向为正、反向为负； 集中力偶逆时针为正、顺时针为负。

2、梁的支座反力 梁的支承方法及反力 图 示 法 反 力 未知反力数 名 称 滑动铰支 1 (Ry) Ry 固定铰支 2 (Rx，Ry) 图 示 法 反 力 未知反力数 名 称 滑动铰支 1 (Ry) Ry 固定铰支 2 (Rx，Ry) Rx Ry 固 定 端 3 (M， Rx，Ry) Rx M Ry

3、梁的类型 根据梁的支撑情况可以将梁分为 3 种类型 悬臂梁 简支梁 一端固定 一端自由 一端固定铰支座 一端活动铰支座 外伸梁 活动铰支座位于梁中某个位置

4-3 梁的内力 # 剪力和弯矩 # 剪力和弯矩的正负号规定 # 截面法求内力 # 剪力图和弯矩图

（1）剪力-----Q----其作用线与横截面的对称轴重合。 一、内力形式与方向规定： 1、内力的形式： （1）剪力-----Q----其作用线与横截面的对称轴重合。 Q M （2）弯矩----M----其作用平面与纵向对称面重合（即与横截面垂直）。

2、剪力和弯矩正负号的规定 正 负 剪力正负号 弯矩正负号 Q 负 正 对所截截面上任一点的力矩顺时针为正，逆时针为负。 M M 将梁弯成下凸上凹时为正，上凸下凹时为负。

二、平面弯曲时的内力计算 1、指定截面上的内力 结论： p p q A B 1、在集中力作用点，其左右两侧截面上，剪应力值不同，弯矩值相同。 4 1 2 3 5 6 A B 2a a a a 结论： 1、在集中力作用点，其左右两侧截面上，剪应力值不同，弯矩值相同。 2、在集中力偶作用点，其左右两侧截面上，剪力值相同，弯矩值不同。 3、在分布载荷的边缘点，其左右两侧截面上，剪力值和弯矩值均相同。

2、任意截面的内力 ● 受力段 相邻两外力作用点之间所含的受力构件区段。 ● 内力的计算 *建立坐标 取梁的左端点为坐标原点，梁轴线为X轴，建立平面直 角坐标系。 *分段列剪力方程和弯矩方程。 *确定剪力方程和弯矩方程的适用区间（定义域）。

(0≤X≤L） q 求图示简支梁 x 截面的内力 A B 在x 处截开，取左半部分分析 l 受力图如图示 q qx M Q RAy

三、剪力图和弯矩图 将弯曲内力、即剪力和弯矩沿杆截面的分布规律用图形表示。 1、根据剪力方程、弯矩方程画剪力图和弯矩图 ● 作剪力图和弯矩图的步骤： ①取水平坐标轴与梁的轴线平行且等长； ②在水平坐标轴上标出受力段的分界点； ③根据内力方程分段画内力图（内力为正时画在坐标轴的上方，内力为负时画在坐标轴的下方）； ④画纵向线，标正负号。 1、根据剪力方程、弯矩方程画剪力图和弯矩图

q A (0<x<L) B l (0≤X≤L）

（1）列剪力方程和弯矩方程 (0<X<L) (0≤X<L) （2）画剪力图和弯矩图

(0 < x < a) 如图所示一简支梁，在C点受集中力P 的作用，作此梁的剪力图和弯矩图。 (1) 求支座反力 (2) 列剪力方程和弯矩方程 AC段: (0 < x < a)

CB段：

(3) 画剪力图和弯矩图 AC段: (0 < x < a) CB段： 集中力使剪力图突变 集中力使弯矩图折曲

（1）求支座反力 （2）列剪力方程和弯矩方程

集中力偶不使剪力图变化 （3）画剪力图和弯矩图 集中力偶使弯矩图突变

（1）求支座反力 （2）列写弯矩方程

集中力使弯矩图折曲 集中力偶使弯矩图突变 （3）画弯矩图

上节内容概述 ◆ 作剪力图和弯矩图的步骤： ①取水平坐标轴与梁的轴线平行且等长； ②在水平坐标轴上标出受力段的分界点； ③根据内力方程分段画内力图（内力为正时画在坐标轴的上方，内力为负时画在坐标轴的下方）； ④画纵向线，标正负号。

结论： 在集中力作用点，剪力图要发生突变，突变的大小、方向与该集中力的大小、方向相同；而弯矩图出现不连续点。 在集中力偶作用点，弯矩图要发生突变，其突变的大小与该力偶的力偶矩的大小相同，突变的方向：顺时针的力偶向上突变、逆时针的力偶向下突变。而剪力图出现不连续点。 在分布载荷边缘点，剪力图和弯矩图均不发生突 变。

本节小结 微分应用： b、q =常数时，Q 图为 一条斜直线；M 图为 一条抛物线，且抛物线上各点斜率随Q图而变化。 a、q = 0 ，Q =常数 剪力图为一水平线；M 图为 一条斜直线，斜直线的斜率为该段的Q值。 b、q =常数时，Q 图为 一条斜直线；M 图为 一条抛物线，且抛物线上各点斜率随Q图而变化。 c、若均布载荷向下，q为负，剪力图斜率为负，为一向右下倾斜的直线。 积分应用： M(b）=M(a)+∫abQdx= M(a)+Aq Q(b)=Q(a)+∫abqdx= Q(a)+AQ

（1）分布载荷q、剪力Q和弯矩 M之间的微分关系 2、根据分布载荷、剪力、弯矩之间的微分关系 作剪力图和弯矩图 （1）分布载荷q、剪力Q和弯矩 M之间的微分关系 dx x B A q(x) Q M ∑Y=0 Q+qdx-(Q+dQ）=0 dQ= qdx ∑MO=0 -M-QdX-qdx*dx/2+(M+dM)=0 dM=Qdx M+dM Q+dQ q

Q(b)=Q(a)+∫abqdx= Q(a)+Aq (2)微分关系的应用 微分应用： a、q = 0 ，Q =常数 剪力图为一水平线；M 图为 一条斜直线，斜直线的斜率为该段的Q值。 b、q =常数时，Q 图为 一条斜直线；M 图为 一条抛物线，且抛物线上各点斜率随Q图而变化。 c、若均布载荷向下，q为负，剪力图斜率为负，为一向右下倾斜的直线。 积分应用： M(b）=M(a)+∫abQdx= M(a)+AQ Q(b)=Q(a)+∫abqdx= Q(a)+Aq

B A E D C + Q图 + - M图 + 7KN 3KN 2KN 1KN 20.5KNM 20KNM 3KN 16KNM 6KNM

q =10 kN/m 4-2（e） C A B 1.33 Q + -- 0.36 0.27 2.67 M +

4-2（h） 10 Nm B A C 50 N Q 10 Nm M

q 4-2（j） A C 1 3/4 Q 0.28 5/4 M 0.5

q 4-5（h） C A B 5/6 qa 1 Q 5/6 qa2 7/6 M 13/72 1/6 3/6

4-7 检查下列剪力弯矩图是否正确 q B A C

P=qa q q A A B

第五章 梁的弯曲应力

5-1 梁弯曲时的正应力 # 纯弯曲与剪切弯曲 # 中性层和中性轴 # 弯曲正应力分布规律 # 弯曲正应力的计算、抗弯截面模量

各横截面上同时有弯矩M和剪力Q，称为剪切弯曲。

1、几何关系 纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂直于轴线，只是绕中性轴转过一个角度，称为平面假设。 中 性 层 轴

# 中性层和中性轴 ● 中性层 梁弯曲变形时，既不伸长亦不缩短的纵向纤维层称为中性层。 对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。 ● 中性轴 中性层与横截面的交线。 梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。 如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部将缩短。

变形的几何关系为：

2、物理关系 由虎克定律

# 弯曲正应力分布规律 M M ● 与中性轴距离相等的点，正应力相等； ● 正应力大小与其到中性轴距离成正比； ●弯矩为正时，正应力以中性轴为界下拉上压； M ● 弯矩为负时，正应力上拉下压； ● 中性轴上，正应力等于零

3、静力学关系 Z:中性轴 静矩，面积矩 中性轴必然通过横截面的形心

抗弯刚度

公式的适用范围： 其中：M-------横截面的弯矩； Y-------所求应力点到中性轴的距离； IZ-------横截面对中性轴的惯性矩； 公式的适用范围： ● 弹性范围； ● 纯弯曲变形；

4、弯曲正应力的最大值和最小值 截面上最大弯曲正应力发生在截面的上下边界上： WZ 称为抗弯截面模量，Z 为中性轴. 最小值：бmin=0 （在中性轴上） b 实心圆截面 矩形截面 Z Z d h

梁的弯矩图如图5-8b 所示，由图知梁在固定端横截面上的弯矩最大，其值为 例5-1 图5-8所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长l=1m，均布载荷集度q=6kN/m；梁由10号槽钢制成，由型钢表查得横截面的惯性矩Iz=25.6cm4。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。 （1）作弯矩图，以确定危险截面 梁的弯矩图如图5-8b 所示，由图知梁在固定端横截面上的弯矩最大，其值为

因危险截面上的弯矩为负，故截面上缘受最大拉应力，其值为 （2）求最大应力 因危险截面上的弯矩为负，故截面上缘受最大拉应力，其值为 在截面的下端受最大压应力，其值为

5-2 惯性矩的计算 1、简单截面的惯性矩 矩形截面

圆形与圆环截面 空心圆 实心圆

2、组合截面惯性矩

平行移轴公式

例5-2 求T字形截面的中性轴 z，并求截面对中性轴的惯性矩. （1）确定形心和中性轴的位置 将截面划分为Ⅰ 、Ⅱ两矩形，取与截面底边相重合的z 轴为参考轴，则两矩形的面积及其形心至z 轴的距离分别为：

（2）求各组合部分对中性轴z的惯性矩 整个截面的形心C 在对称轴 y上的位置则为： 即中性轴 z 与轴 z 的距离为3cm。 设两矩形的形心CⅠ和CⅡ；其形心轴为z1和z2，它们距z轴的距离分别为：

由平行移轴公式，两矩形对中性轴z的惯性矩为： （3）求整个截面对中性轴的惯性矩 将两矩形对z轴的惯性矩相加，得

5-3 梁的强度条件 # 梁的最大正应力 # 梁的强度条件 # 举例

在细长梁条件下（L/H﹥5），其剪力对梁强度的影响较小，可忽略不计，此时，可将纯弯曲情况下建立的应力计算公式近似应用于横力弯曲。 一、横力弯曲下的应力计算公式 在细长梁条件下（L/H﹥5），其剪力对梁强度的影响较小，可忽略不计，此时，可将纯弯曲情况下建立的应力计算公式近似应用于横力弯曲。 σ= M(x) Y / IZ 1、最大应力： σmax= M(x) /wz 2、最小应力： σmin= 0 （中性轴上）

● 梁的危险截面 梁的危险截面为梁内弯矩取得最大值的截面。 危险截面位于梁中部 危险截面位于梁根部 ● 梁的危险点 在危险截面上应力取得最大值的点（即离中性轴最远点）。

二、梁的强度条件 Mmax---------梁内最大弯矩 WZ-----------险截面抗弯截面模量 [σ]---------材料的许用应力 利用强度条件可以校核强度、设计截面尺寸、确定许可载荷

例5-3 图示圆截面辊轴，中段BC受均部载荷作用，试确定辊轴BC段截面的直径。已知q = 1KN/mm，许用应力[σ] = 140MPa。 利用截面法求该截面弯矩 B C A D 300 300 1400 300 q 由对称性可求得： M 700 300 RAy

根据弯曲强度条件 例5-4 图示悬臂梁承受均布载荷q，假设梁截面为bh的矩形， h = 2b，讨论梁立置与倒置两种情况哪一种更好？ b h 同样载荷条件下，工作应力越小越好 因此，WZ 越大越好 梁立置时： 立置比倒置强度大一倍。 梁倒置时：