相似三角形专题复习

一.相似三角形 知识要点 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 1.相似三角形的定义： 2.相似比： 相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。 △ABC∽△A/B/C/,如果BC=3,B/C/=1.5,那么△A/B/C/ 与 △ABC的相似比为_________.

二、相似三角形的识别和应用 (1)识别 　　①如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．

　　②如果一个三角形的两条边分别与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．

　　③如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．

问题 给你一个锐角△ABC和一条直线MN； 你能用直线MN去截△ABC，使截得的三角形 与原三角形相似吗？

相似三角形 两个三角形相似. 基本图形 判定方法 三边对应成比例的 DE∥BC △ADE∽ △ABC △ADE∽ △ABC ∠AED= ∠B △ADE∽ △ABC ∠DAE= ∠BAC △ADE∽ △ABC ∠DAE= ∠CAB 三边对应成比例的 两个三角形相似.

相似三角形 两个三角形相似. 基本图形 判定方法 性质定理 对应角相等； 对应边成比例； 周长的比 等于相似比； 面积的比等于 DE∥BC △ADE∽ △ ABC 对应角相等； ∠AED= ∠B 对应边成比例； △ ADE∽ △ ABC ∠DAE= ∠BAC 周长的比 等于相似比； △ ADE∽ △ ABC ∠DAE= ∠CAB 面积的比等于 相似比的平方； 三边对应成比例的 两个三角形相似.

练一练 基本图形 过D作DH∥EC交BC延长线于点H (1)试找出图中的相似三角形? M N E D 基本图形 M N H 过D作DH∥EC交BC延长线于点H (1)试找出图中的相似三角形? ⊿ADE∽ ⊿ABC ∽ ⊿DBH (2)若AE:AC=1:2,则AC:DH=_______; 2：3 (3)若⊿ABC的周长为4,则⊿BDH的周长为_____. 6 (4)若⊿ABC的面积为4,则⊿BDH的面积为_____. 9

相似三角形 若G为BC中点,EG交AB于点F, 且EF:FG=2:3, 试求AF:FB的值. 添平行线构造相似三角形的基本图形。 E G F D M N M F N H G 若G为BC中点,EG交AB于点F, 且EF:FG=2:3, 试求AF:FB的值. 添平行线构造相似三角形的基本图形。 1 2

相似三角形 若G为BC中点,EG交AB于点F, 且EF:FG=2:3, 试求AF:FB的值. 添平行线构造相似三角形的基本图形。 E E N M G 若G为BC中点,EG交AB于点F, 且EF:FG=2:3, 试求AF:FB的值. 添平行线构造相似三角形的基本图形。

三、基本图形的形成、变化及发展过程： 平行型 . 旋转 . ∽ 斜交型 平移 . 特殊 特殊 平移 垂直型

☞ 四、运用 1.添加一个条件，使△AOB∽ △ DOC “X” 型 A B O C D 解： 角： ∠B= ∠ C或∠ A= ∠ D 边：AB ∥ CD AO：OD=BO：CO “X” 型

☞ 四、运用 2.若△ABC∽△ADE， 你可以得出什么结论？ “A”型 面积： A B C D E 角： ∠ADE= ∠ B ∠ AED= ∠C 边：DE ∥ BC “A”型 面积：

3、D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似。 解： 角： ∠B= ∠ 2或∠ 1= ∠ C 边： AD：AC=AE：AB 斜交型

解: ∵∠A=∠A ∵∠ADE=∠B ∴△ADE∽△ABC ( ) ∴AD:AB=AE:AC ∴x:5=y:4 ∴y=0.8x 4. 在△ABCAC=4,AB=5.D是AC上一动点,且∠ADE=∠B,设AD=x,AE=y,写出y与x之间的函数关系式.试确定x的取值范围. 解: ∵∠A=∠A ∵∠ADE=∠B ∴△ADE∽△ABC ( ) ∴AD:AB=AE:AC ∴x:5=y:4 ∴y=0.8x A E D B C (0＜x≤4)

4、已知CD是Rt△ACB斜边AB上的高，且CD=6，BD=12，则AD=________,AC=_________。 3 垂直型

知识源于悟 1.如图，DE∥BC，D是AB的中点，DC、BE相交于点G。 求 A B C D E =1:2 G =1:2

S△ADE S△ABC S△ABC=25 S△ADE 知识源于悟 2.如图： DE∥BC，EF ∥AB,AE：EC=2：3， S △ABC=25，求S四边形BDEF 解： ∵ AE：EC=2:3 A B C D E F ∴ AE:AC=2:5 ∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC S△ADE 4 AE 2 ∴ ＝ S△ABC （ ） ＝ AC 25 S△ABC=25 ∵ S△ADE ∴ ＝ 4

1、如图，点D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD，那么△ADE的周长︰△ABC的周长＝ 。 课堂训练: 1、如图，点D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD，那么△ADE的周长︰△ABC的周长＝　　　　。 A B C D E 1:3 2.右图中,若D,E分别是AB,AC边上的中点,且DE=4则BC= ＿＿＿＿ 8 3.右图中, DE∥BC，S△ADE:S四边形DBCE = 1:8,则AE:AC=＿＿＿＿＿ 1:3

解: ∵∠A=∠A ∵∠ADE=∠B ∴△ADE∽△ABC ( ) ∴AD:AB=AE:AC ∴x:5=y:4 ∴y=0.8x 4. 在△ABCAC=4,AB=5.D是AC上一动点,且∠ADE=∠B,设AD=x,AE=y,写出y与x之间的函数关系式.试确定x的取值范围. 解: ∵∠A=∠A ∵∠ADE=∠B ∴△ADE∽△ABC ( ) ∴AD:AB=AE:AC ∴x:5=y:4 ∴y=0.8x A E D B C (0＜x≤4)

学以致用 1、如图，在 ABCD中，E是BC上一点， BE：EC=1：2，AE与BD相交于F，则 BF：FD=_______，S △ADF : S △EBF =______ 1:3 1:9 9:1 A E B F D C

学以致用 5 2、如图， ABCD中，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，与DC交于点F，则图中相似三角形共有______对。（全等除外）

例1 过∆ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E， 求证：AE：ED=2AF：FB。 G

如图: 写出其中的几个等积式 ①AC2= ②BC2= ③OC2= AO×AB BO×AB AO×BO (0,2 ) AO×BO 若AC=3,AO=1.写出A.B.C三点的坐标. A B O (-1,0) (8,0)

已知,如图,梯形ABCD中,AD∥BC, ∠A=900,对角线BD⊥CD 求证:(1) △ABD∽△DCB; (2)BD2=AD·BC ∴ ∠ADB= ∠DBC ∵ ∠A=∠BDC= 90°, ∴ △ABD∽△DCB (2) ∵ △ABD∽△DCB ∴AD = BD BD BC 即:BD2=AD·BC

（4）请你探索在点P运动的过程中，△BPE能否成为等腰三角形？如果能，求出AP的长，如果不能，请说明理由。 试一试 如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD, ∠A=900,AB=2,AD=5,P是AD上一动点(不与A、D重合),ＰＥ⊥ＢＰ，ＰＥ交ＤＣ于点Ｅ． 5 C A B D P E （１）△ABP与△DPE是否相似？请说明理由； x 5-x y 2 （２）设ＡＰ＝x　ＤＥ=y，求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围； （3）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由； （4）请你探索在点P运动的过程中，△BPE能否成为等腰三角形？如果能，求出AP的长，如果不能，请说明理由。

学以致用 3、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=12,点P从A点出发向B以1m/s的速度移动，点Q从B点出发向C点以2m/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B两地同时出发，几秒后△ PBQ与原三角形相似？ A B C Q P Q P

灵感 智慧 例：如图，在ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，PQ∥AB，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在BC上。试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长。 A B C A B C P Q M2 P Q M1

灵感 智慧 例：如图，在ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，PQ∥AB，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在BC上。试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长。 P Q M3 A B C N

问题发现 知识整理 问题1： 如图，在正方形ABCD中,E为BC上任意一点（与B、C不重合）∠AEF=90°.观察图形： 问题发现 知识整理 问题1： 如图，在正方形ABCD中,E为BC上任意一点（与B、C不重合）∠AEF=90°.观察图形： （1） △ABE 与△ECF 是否相似？并证明你的结论。 （2）若E为BC的中点，连结AF,图中有哪些相似三角形？ △ABE∽ △ECF ∽ △AEF A D A D F F B B E C E C

问题发现 知识整理 “M”型相似 △ABE∽ △ECF 问题发现 知识整理 △ABE∽ △ECF （2）点E为BC上任意一点若 ∠B= ∠C= α, ∠AEF= ∠ C,则△ABE 与△ ECF的关系还成立吗？ （1）点E为BC上任意一点，若 ∠B= ∠C=60°, ∠AEF= ∠ C,则△ABE与△ ECF的关系还成立吗？说明理由 “M”型相似 A C 60° A B E F A B C E F α F α 60° 60° α α 60° B C E

问题发现 知识整理 问题2： （1）延长BA、CF相交于点D,且E为BC的中点，若 ∠B=∠C= α, ∠AEF= ∠ C,连结AF. 问题发现 知识整理 问题2： （1）延长BA、CF相交于点D,且E为BC的中点，若 ∠B=∠C= α, ∠AEF= ∠ C,连结AF. ①找出图中的相似三角形 ②说出图中相等的角及边之间的关系 （2）延长BA、CF相交于点D,且E为BC的中点，若 ∠B=∠C= α, ∠AEF= ∠ C, 当∠AEF旋转到如图位置时，上述关系还成立吗？ D 善于运用类比、迁移的数学方法解决问题 A F α α α B E C B C E α D A F G α

归纳： E为中点 ③ ③ α α ① ② ① ② ① ② ① ② A B C E F C A B E F A B C E F D A B C

实战演练 知识运用 变式：.在直角梯形ABCF中，，CB=14，CF=4, AB=6,,CF∥AB,在边CB上找一点E,使以E、A、B为顶点的三角形和以E、C、F为顶点的三角形相似，则CE=_______ 1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E重合，若AD=10, AB= 8, 则EF=______ 注意分类讨论的数学思想 善于在复杂图形中寻找基本型 5 5.6或2或12 A B C F A D F C E E B E E

实战演练 知识运用 7 2.已知：D为BC上一点， ∠B= ∠C= ∠EDF=60°,BE=6,CD=3,CF=4, 则AF=_______

实战演练 知识运用 8 变式：已知：△ABC中，AB=AC, ∠BAC= 120°,D为BC的中点， 且∠EDF =∠C, （1） 若BE·CF=48,则AB=_____ （2）在（1）的条件下，若EF=m, 则S△DEF =_______ 8 利用转化的 数学思想 A F E H P B D C

（1）连接AP、AQ、PQ，试判断△APQ的形状，并说明理由。 （2）当t=1秒时，连接AC，与PQ相交于点K.求AK的长。 迁移拓展 知识提升 已知：菱形ABCD,AB=4m, ∠B=60°,点P、Q分别从点B、C出发，沿线段BC、CD以1m/s的速度向终点C、D运动,运动时间为t秒. （1）连接AP、AQ、PQ，试判断△APQ的形状，并说明理由。 （2）当t=1秒时，连接AC，与PQ相交于点K.求AK的长。 善于在复杂图形中寻找基本型 A D K B P C Q

迁移拓展 知识提升 （3） 当t=2秒时，连接AP、PQ,将∠APQ逆时针旋转，使角的两边与AB、AD、AC分别交于点E、N、F，连接EF.若AN=1,求S△EPF. A N D 注意运用转化的数学思想 F E Q B C P

迁移拓展 知识提升 （4）以OS为一边在∠SOC内作∠SOT,使 ∠SOT = ∠BDC,OT边交BC的延长线于点T, 若BT=4.8,求AK的长。 A K D (Q) 30 ° S o 30 ° Q 30 ° T B C (P) P

我的收获 善于观察 善于发现 善于总结 α α α C B D A O P A B C E D C A B E D A B C E D F

补充练习、内化理解 1、已知：等边△ABC 中，P为直线AC上一动点，连结BP,作∠BPQ=60°,交直线BC于点N. (1)当P在线段AC上时，证明PA·PC=AB ·CN (2)若P在AC的延长线上，上述关系是否成立？ (3)若P在CA的延长线上， CN=1.5,BC=2,求AP、BP的长 60° B C A B C A B C A P P P 60° N N N Q Q 60° Q

补充练习、内化理解 2、在平面直角坐标系中，四边形OABC为等腰梯形， OA∥BC, OA=7, BC=3, ∠COA=60°,点P为线段OA上的一个动点，点P不与O、A重合，连结CP. （1）求点B的坐标。 （2）点D为AB上一点， 且AD:BD=3:5,连结PD, 在OA上是否存在这样的 点P,使∠CPD= ∠BAO? 若存在，求出直线PB的 解析式，若不存在，请说明理由。 O x y A B C D P

用一用 （1）请在x轴上找一点D，使得△BDA与△BAC相似 （不包含全等），并求出点D的坐标； （2）在（1）的条件下，如果P、Q分别是BA、BD上 的动点，连结PQ，设BP＝DQ＝m， 问：是否存在这样的m，使得⊿BPQ与⊿BDA相似？ 如存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。 （1）∵△BDA∽△BAC ∴∠CAD＝∠ABC ∴tan∠CAD＝∠ABC= ∵BC=4 ∴AC=BC·tan ∠ABC=3 ∴CD=AC·tan ∠CAD=3× = ∴OD=OC+CD=1+ = ∴D( ,0) x y A F D B (-3,0) O C (1,0) tan∠ABC=

用一用 B C A x y (-3,0) (1,0) tan∠ABC= O D

用一用 (-3,0) (1,0) (-3,0) (1,0) (1)当PQ∥AD时，△BPQ∽ △BAD 则 P 即： Q 解得： C A x y (-3,0) (1,0) tan∠ABC= O D (1)当PQ∥AD时，△BPQ∽ △BAD 则 即： 解得： P Q (2)当PQ⊥BD时，△BPQ∽ △BDA 则 即： 解得： B C A x y (-3,0) (1,0) tan∠ABC= O D P Q

例2 如图，有一块锐角三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，加工成正方形零件的边长为多少毫米？ E P Q M N

②如果把正方形的零件改变为加工矩形零件,设DP=x，DE=y，写出y与x之间的函数关系式，试确定x的取值范围。 如图，△ABC是一 块余料，边AB=90厘米，高CN=60厘米，要把它加工成正方形零件，使正方形 的一边在AB上，其余两个顶点分别在BC、AC上 ①这个正方形零件的边长是多少？ ②如果把正方形的零件改变为加工矩形零件,设DP=x，DE=y，写出y与x之间的函数关系式，试确定x的取值范围。 C ③当DE是DP的1.5倍时恰好符合要求，求此时零件的面积是多少? D E ④在问题3中，具体操作时，发现在AB线段上离B点34cm处有一蛀虫洞，请你确定一下，它是否影响余料的使用，说明理由。（量得BN=70cm） M A P N F B

右图中，在一直角三角形余料中截出一个面积最大的正方形零件，应如何截取？ （设正方形的三边分别是3、4、5、那么最大的面积是多少？） C 课外拓展: 右图中，在一直角三角形余料中截出一个面积最大的正方形零件，应如何截取？ （设正方形的三边分别是3、4、5、那么最大的面积是多少？） C A B C C E E D M D A P N F B A B F 图二 图一

问题解答: 解：设正方形DEFP的边长为x厘米。 因为DE∥AB，所以△CDE∽ △CBA 所以 CM CN DE AB C D M A P = DE AB C 因此 ， 得 x=36（毫米）。 答：-------。 60–x 60 = x 90 E D M A P N F B

演变1：如图，有一块锐角三角形余料ABC，它的边BC=a，高AD=h，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上。 求（1）设PN=x，矩形PQMN的面积为y，求y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围。（2）当h=6，a=8时，请你求出面积等于9的矩形PQMN的边长PN。（3）按题设要求得到的无数个矩形中，是否能找到两个不同的矩形，使它们的面积之和等于∆ABC的面积？如果能找到，请求出它们的边长，如果找不到，请你说明理由。

(2)当h=6，a=8时，请你求出面积等于9 的矩形PQMN的边长PN。 求（1）设PN=x，矩形PQMN的面积为y，求y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围。 (2)当h=6，a=8时，请你求出面积等于9 的矩形PQMN的边长PN。 （3）按题设要求得到的无数个矩形中，是否 能找到两个不同的矩形，使它们的面积之和 等于∆ABC的面积？如果能找到，请求出它们 的边长，如果找不到，请你说明理由。 A B C D E P Q M N

演变2：把正方形PQMN换成等腰直角三角形PMN，直角顶点P在BC上,斜边MN的两个端点分别在AB,AC上,且斜边MN‖BC,结论改为“求等腰直角三角形PMN的面积”。 E

A B C P Q 80 N 120

N A B C D P Q M 120 80

变式3： C A B 60 80

变式4：把正方形PQMN换成矩形PQMN，并增加条件矩形PQMN的周长为200mm，结果改为“求矩形PQMN的长和宽” A B C P Q M N D 120 80

变式5：把正方形PQMN改为矩形PQMN，并把“AD=80，BC =120”改为AD=6mm，BC=8mm”，把结果改为求设PN=x，矩形PQMN的面积为y，求y关于x的函数表达式，并指出x的取值范围.当为PQ何值时，矩形PQMN的面积最大 A B C P Q M N D 8 6 x

变式6：把正方形PQMN换成等腰直角三角形PMN，直角顶点P在BC上，斜边MN的两个端点分别在AB，AC上，且MN//BC，结论改为“求等腰直角三角形PMN的面积” 80 M E N C B P D 120

探索：如图梯形ABCD中，AB‖CD。已知AB=25，AD=DC=16，问对角线BD能否把梯形分成两个相似的三角形。若不能，请给出证明；若能，求出的BC，BD长。

再见