4-7 Cauchy-Euler Equation 4-7-1 解法限制條件 k not constant coefficients but the coefficients of y(k)(x) have the form of ak is some constant associated homogeneous equation particular solution

4-7-2 解法 Associated homogeneous equation of the Cauchy-Euler equation 4-7-2 解法 Associated homogeneous equation of the Cauchy-Euler equation Guess the solution as y(x) = xm , then

auxiliary function 比較: 和 constant coefficient 時有何不同？ 規則：把 變成

4-7-3 For the 2nd Order Case auxiliary function: roots [Case 1]: m1  m2 and m1, m2 are real two independent solution of the homogeneous part:

[Case 2]: m1 = m2 Use the method of reduction of order Note 1: 原式 Note 2: 此時

If y2(x) is a solution of a homogeneous DE then c y2(x) is also a solution of the homogeneous DE If we constrain that x > 0, then

[Case 3]: m1  m2 and m1, m2 are the form of two independent solution of the homogeneous part: 同理

Example 1 (text page 167) Example 2 (text page 168)

Example 3 (text page 169)

solution of the nth order associated homogeneous equation 4-7-4 For the Higher Order Case Process: auxiliary function Step 1-1 roots n independent solutions Step 1-2 solution of the nth order associated homogeneous equation Step 1-3

(1) 若 auxiliary function 在 m0 的地方只有一個根 是 associated homogeneous equation 的其中一個解 (2) 若 auxiliary function 在 m0 的地方有 k 個重根 皆為 associated homogeneous equation 的解

(3) 若 auxiliary function 在  + j 和  − j 的地方各有一個根 (未出現重根) 是 associated homogeneous equation 的其中二個解 (4) 若 auxiliary function 在  + j 和  − j 的地方皆有 k 個重根 是 associated homogeneous equation 的其中2k 個解

Example 4 (text page 169) auxiliary function

4-7-5 Nonhomogeneous Case To solve the nonhomogeneous Cauchy-Euler equation: Method 1: (See Example 5) (1) Find the complementary function (general solutions of the associated homogeneous equation) from the rules on pages 248-251, 255-256. (2) Use the method in Sec.4-6 (Variation of Parameters) to find the particular solution. (3) Solution = complementary function + particular solution Method 2: See Example 6，很重要 Set x = et, t = ln x

Example 5 (text page 169, illustration for method 1) Step 1 solution of the associated homogeneous equation auxiliary function Step 2-2 Particular solution Step 2-3

Step 2-4 Step 2-5 Step 3

Example 6 (text page 170, illustration for method 2) Set x = et, t = ln x (chain rule) Therefore, the original equation is changed into

(別忘了 t = ln x 要代回來) Note 1: 以此類推 Note 2: 簡化計算的小技巧：結合兩種解 nonhomogeneous Cauchy-Euler equation 的長處

4-7-6 本節要注意的地方 (1) 本節公式記憶的方法： 把 Section 4-3 的 ex 改成 x，x 改成 ln(x) 4-7-6 本節要注意的地方 (1) 本節公式記憶的方法： 把 Section 4-3 的 ex 改成 x，x 改成 ln(x) 把 auxiliary function 的 mn 改成 (2) 如何解 particular solution? Variation of Parameters 的方法 (3) 解的範圍將不包括 x = 0 的地方 (Why?)

還有很多 linear DE 沒有辦法解，怎麼辦 (1) numerical approach (Section 4-9-3) (2) using special function (Chap. 6) (3) Laplace transform and Fourier transform (Chaps. 7, 11, 14) (4) 查表 (table lookup)

(1) 即使用了 Section 4-7 的方法，大部分的 DE還是沒有辦法解 (2) 所幸，自然界真的有不少的例子是 linear DE 甚至是 constant coefficient linear DE

Exercise for practice Section 4-4 5, 6, 14, 17, 18, 24, 26, 32, 33, 39, 42 Section 4-5 2, 7, 8, 13, 18, 31, 45, 60, 62, 69, 70 Section 4-6 4, 5, 8, 13, 14, 17, 18, 21, 28, 29, 34 Section 4-7 11, 17, 18, 20, 21, 24, 32, 34, 36, 37, 40, 42 Review 4 2, 21, 22, 25, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 34, 37, 42

Chapter 5 Modeling with Higher Order Differential Equations 自然界，有不少的系統可以用 linear DE 來表示 其中有不少的系統可以進一步簡化成 linear DE with constant coefficients

5-1 Linear Models: Initial Value Problem 位置：x, 速度： 加速度 v: 速度， v: 磨擦力

5-1-1 ~ 5-1-3 Spring / Mass Systems 彈力 F

Solution:

彈力 F 摩擦力

解有成三種情形

需要注意的概念 (1) 名詞一 被稱作 input 或 deriving function 或 forcing function 被稱作 output 或 response

(2) 名詞二 對一個 2nd order linear DE with constant coefficients auxiliary function 當 時，稱作 overdamped 當 時，稱作 critical damped 當 時，稱作 underdamped 當 , a1 = 0 時，稱作 undamped

(3) 當中 a1 的值將影響衰減速度 當 a2 , a1 , a0 的值皆為正， a1/ a2 的值越大，衰減的進度越快 When When

5-1-4 RLC circuit inductance 的電壓 capacitor 的電壓 resistor 的電壓 using 一定可以解

auxiliary function roots: Case 1: R2  4L/C > 0 (m1  m2, m1, m2 are real) (overdamped) Complementary function: 註：由於 R, L, C 的值都是正的, 必定可以滿足 所以 m1, m2 都是負的 when t  

Particular solution (1) E(t) 有的時候可用”guess” 的方法來解 (2) E(t) 用 variation of parameters 的方法一定解得出來(但較耗時)

Specially, when E(t) = E0 where E0 is some constant (m1m2 = 1/LC)

Case 2: R2  4L/C = 0 (m1 = m2 = R/2L) (critically damped) when t   Particular solution When E(t) = E0 ,

(underdamped) Case 3: R2  4L/C < 0 when t   Particular solution General solution

When E(t) = E0 where E0 is some constant When R = 0 , then  = 0 When R = 0 , E(t) = E0

以 DE 的觀點來解釋 RLC 電路的問題 (1) R2 < 4L/C 產生弦波 (2) R 越小，弦波衰減得越慢

例子 E(t) = 1, L = 0.25, C = 0.01

R = 100 R = 25 R = 10

R = 5 R = 1.5 R = 0.2

5-1-5 Express the Solutions by Other Forms (1) Express the Solution by the Form of Amplitude and Phase 當　　　　　　　時，solution 為 　　　　　　　　　　　 Solution 可改寫成

damped amplitude damped frequency phase angle

(2) Express the Solution by Hyperbolic Functions 當 a1 = 0 且 a2 > 0, a0 < 0 (或 a0 > 0, a2 < 0)

5-1-6 本節要注意的地方 (1) 將力學現象寫成 DE 時，要注意正負號 (根據力的方向) (2) 注意 page 274 的四個專有名詞 (3) 注意 linear DE with constant coefficients 的解，有其他的寫法 (see pages 287 and 289)

5-2 Linear Models: Boundary-Value Problem (不在考試範圍) Section 5-2 的問題，和 Section 5-1 類似 (都是 Linear DE) 只是將 initial value problems 變成 boundary value problems 複習： 將 IVP 改成 boundary value problems， 對 solution 有什麼影響？

Section 5-1 的例子 (1) 牛頓運動定律 (2) 彈簧運動　 (subsection 5-1-1~5-1-3) (3) RLC Circuit (subsection 5-1-4) Section 5-2 的例子 (1) 樑彎曲 (a) 橫放 (subsection 5-2-1) (b) 上方施力 (subsection 5-2-2) (2) 跳繩 (subsection 5-2-3)

4-9 Solving Systems of Linear Equations by Elimination 4-9-1 方法適用的情形和限制 處理有 2 個以上 dependent variables 的問題 例如：Section 3-3 電路學上 “並聯” 的例子 限制：必需是 linear and constant coefficients

4-9-2 方法 (Step 1) 先將 寫成 D n (Step 2) 再用聯立方程(或線性代數)的方式 將各個 dependent variable 所對應的 DE 寫出 (Step 3) 再運用 Sections 4-3, 4-4 的方法， 得出各 dependent variables 的解 (Step 4) 代回原式，求出 unknowns 之間的關係 (別忘了這一步，可以參考講義 page 298)

4-9-3 範例 Figure 3.3.4 的例子 (See Pages 96, 97) 4-9-3 範例 Figure 3.3.4 的例子 (See Pages 96, 97) 令 L1 = L2 = 1, R1 = 4, R2 = 6, E(t) = 10 求解

Step 1 …….. (式 1) …….. (式 2) Step 2-1 (D + 4)  (式 1) − 4  (式 2) Note: Step 3-1 auxiliary function: roots

Step 2-2 4  (式 1) − (D+10)  (式 2) Step 3-2 auxiliary function: roots complementary function for i3,c(t) = Particular solution: i3, p(t) = A

Step 4 代回(式 1) 將 此即 i2(t) 和 i3(t) 的解

問題：需要代回另一式嗎？ 將 代回(式 2) 無論 c1 和c2 的值為多少，等號皆成立

  較快速的解法 Step 2-2 將 i2(t) 解出來以後 直接將 i2(t) 代回 (式1) 但這種簡化的解法不是任何情形都適用 (式子當中沒有對第二個 dependent variable i3(t) 作微分時才適用)

Example on text page 184 Example 1 (text page 185) Example 3 (text page 186)

Example 2 (text page 185) Step 1 (式1) (式2) Step 2-1 (式2) D − (式1) Step 3-1 complementary function: particular solution:

Step 2-2 (式1) (D+1) − (式2)  (D−4) complementary function: particular solution 注意，不可設為

Step 4 (代入式2) (因為式2比式1容易) 解

4-9-4 多個 Dependent Variables Exercise 19 (式1） (式2 ） (式3 ） Steps 2, 3：分別簡化成只包含 x, y, z 的 DE (式4 ） (式2)  D + (式3) (式4)  6 + (式1)  (1−D2) m = −1, −2, 3

(式4)  D − (式1)  (1+D) (式3)  6 + (式1) (式5 ） (式1)  D − (式2)  6 (式6 ） (式5)  (D2 −6) + (式6)  (D+6) Step 4：把 c4, c5, c6, c7, c8, c9 用 c1, c2, c3 表示 將 代回 (式1)

將 代回 (式2) 思考：y 和 z 有無快速解法？

Higher order 規則 (1) 假設有 N 個 dependent variables, 　 　則至少需要有 N 個 DE 才可以得出 solutions (2) 若每一個 DE 的 orders 分別為 k1, k2, k3, ….…., kN 最後將「可能」得出 order 為 k1 + k2 + k3 + ….…. + kN 的 DE (3) 要代回其中 N −1 個式，來求 unknowns 之間的關係

A circuit that can be modeled by a 2nd order polynomial.

4-9-5 本節需注意的地方 (1) Section 4.9 的方法只適用於 constant coefficients 的情形 4-9-5 本節需注意的地方 (1) Section 4.9 的方法只適用於 constant coefficients 的情形 (2) 每一個 dependent variable 的解， homogeneous 的部分通常會有相同的型態 (3) 概念不難，但計算繁雜 (自我訓練解題速度和解題正確度是必要的) (4) 驗算 (5) 別忘了 Step 4 計算 unknowns 之間的關係 (6) 何時可以用較快速的解法？

4-10 Nonlinear Differential Equations Method 1: Reduction of Order Method 2: Taylor Series Method 3: Numerical Approach

4-10-1 Method 1: Reduction of Order 精神：變成 1st order DE 再用 1st order DE 的方法求解 (這方法的名字和 Section 4-2 一樣，但是不限於 linear， 而且不必知道其中一個解) 限制：The DE should have the form of Case 1, page 313 Case 2, page 315 or (Without the term y) (Without the term x)

Case 1: The 2nd order DE has the form of (Without the term y) u 解法： (Step 1) Set 此時DE 變成 (對 u 而言，是 1st order DE) (Step 2) 將 u 解出來 (用 Section 2 的方法) (Step 3) 對 u 作積分，即解出 y

Example 1 (text page 189) (Step 1) 問題： u 要用什麼方法解？ (Step 2) (Step 3)

Case 2: The 2nd order DE has the form of (Without the term x) u 解法：(Step 1) Set (Chain rule) 此時DE 變成 (對 u 而言，是1st order DE, independent variable 為 y)

(Step 2) 將 u 解出來 (用 Section 2 的方法) 得出的解, u 是 y 的函數 (Step 3) 用 separable variable 的方法即可將解得出

Example 2 (text page 190) (Step 1) Set (Step 2) (Step 3)

4-10-2 Method 2: Taylor Series 更一般化的型態 Step 1 算出 Step 2 代回 Taylor series

Example 3 (text page 190) : 代回 Taylor series

限制：(1) y(x) 在 x0 的地方必需為 analytic, (x = x0 不為 singular point) (2) 在解 nth order DE 時，y(x0)， y'(x0)， y''(x0)， ….. y(n1)(x0) 的值必需皆為已知 (3) 得出的解只有在 x0 附近較為正確 問題：(1) Taylor series 應該取多少項？ (2) |x x0| 的範圍？

x0 =0

4-10-3 Method 3: Numerical Method subject to 解法 使用Section 2-6 的 Euler’s Method

Recursive 的解法 Initial: n = 0 n = n + 1

更一般化的情形 …………… 改變為 subject to

Recursive 的解法 n = n + 1

解法的限制： (1) 當 為無窮大 (例如 singular point) 或者 雖然不是無窮大，但是值相當大 用以上的方法會產生問題 (2) 必需有 k 個在同一點的initial conditions

4-10-4 本節需注意的地方 (1) Section 4.10 的方法並非任何情形都可以解 每一種方法都有一些限制 4-10-4 本節需注意的地方 (1) Section 4.10 的方法並非任何情形都可以解 每一種方法都有一些限制 (2) Section 4.1 的定理不適用於本節 (例如 exercises 4.10 的第 1, 2 題) (3) Method 1 比較有挑戰性，要多加變通 (4) Method 1 別忘了將 u 用 dy/dx 代回

5-3 Nonlinear Models 非線性彈簧的例子 (text pages 222, 223)

5-3-1 火箭的例子 F = ma F 會隨著 y 而改變 (萬有引力定律) 萬有引力 M: 地球的質量 m: 火箭的質量  修正： 5-3-1 火箭的例子 F = ma F 會隨著 y 而改變 (萬有引力定律) 萬有引力 M: 地球的質量 m: 火箭的質量  修正： 推進力

20 N 5-3-2 拿鏈子的例子 m: 質量, v: 速度, mv: 動量 m 會隨著 x 而改變 (拿鏈子的例子), m = kx(t) 5-3-2 拿鏈子的例子 m: 質量, v: 速度, mv: 動量 20 N m 會隨著 x 而改變 (拿鏈子的例子), m = kx(t) In Example 4, chain weight = 1 N/m 重量 (weight) = x(t) 質量 (mass) = x(t)/9.8

F0: 施力, k: 每單位長的質量, x(t) 高度 (如前頁) 小常識：使用公制時， g = 9.8 metres per s2 使用英制時， g = 32 feet per s2

Example 4 (text page 227) k = 1/9.8 g = 9.8 F0 = 20

(1) Cauchy-Euler equation 缺乏應用 (2) 許多情形還是只能用 Numerical Method 來解

5-3-3 本節需注意的地方 (1) 大部分的情形，用到的 DE 都還算很簡單 但是練習將將物理問題變成 DE 的問題。 (2) 正負號 (和方向有關）易出錯 (3) tan = 斜率 (4) 儘可能用比較簡單的方法來計算一個問題

Reviews for Higher Order DE: (A) Linear DE Complementary Function 3 大解法 (1) Reduction of Order (Section 4-2) 適用情形： (2) Auxiliary Function (Section 4-3) 適用情形： 4 Cases (See pages 182, 183)

(3) Cauchy-Euler Equation (Section 4-7) 適用情形：

(B) Linear DE Particular solution 3 大解法 (1) Guess (Section 4-4) (熟悉講義 page 194 的表) 要訣： yp should be a linear combination of g(x), g'(x), g'' (x), g'''(x), g(4)(x), g(5)(x), ……………. 適用情形： 遇到重覆，乘 x 或 lnx (2) Annihilator (Section 4-5) 若原本的 DE 為 L[y(x)] = g(x) Annihilator: L1[ g(x)] = 0 Particular solution 為 L1{L[y(x)]} = 0 的解 (扣去和 L[y(x)] = 0 的解重複的部分) 適用情形： Annihilator 算法三大規則： Pages 213-215

(3) Variation of parameters (Section 4-6) Wk : replace the kth column of W by 適用情形：

(4) For Cauchy-Euler Equation (Section 4-7) 可採用二種方法 (1) 先用 解 complementary function 再用 Variation of parameters 解 particular solution (2) Use the method on pages 261, 262 Set x = et, t = ln x then

(C) Combination of Linear DEs (Section 4-9) 方法： Step 1: 將 變成 Dn Steps 2, 3: 用代數消去法，變成只含有一個 dependent variable 的 DE，再將這個 dependent variable 解出來 Step 4: 代回原式，求各 dependent variable 的常數 ck 之間的 關係 適用情形：

(D) Nonlinear DE 的3大解法 (Section 4-10) (1) Reduction of Order (1-1) Set (1-2)

(2) Taylor Series 適用情形： (3) Numerical Method

Exercises for practicing Section 4-9 5, 8, 10, 14, 17, 18, 20, 22, 23 Section 4-10 1, 4, 5, 8, 10, 12, 15, 16, 19, 21, 22, 23 Review 4 43, 44, 48, 50 Section 5-1 1, 11, 29, 43, 44, 49, 52, 56, 60 Section 5-3 14, 15, 16 Review 5 12, 21, 22 註：應用題 2012版本單位用英制，2016, 2017版本用公制 9,