張美玲 老師製作 參考資料：數學的故事(列志佳 簡珮華 黃家鳴 主編) 娛樂數學100(呂民揚 編著) 魔方陣 張美玲 老師製作 參考資料：數學的故事(列志佳 簡珮華 黃家鳴 主編) 娛樂數學100(呂民揚 編著)

你相信由一些簡單的數字排列成的方塊圖中，竟然藏著一股神秘的力量嗎？

縱橫圖 這種以多個小正方塊組成的數字方陣最早發現於中國。人們把它叫做「縱橫圖」 。 這表示了他無論橫、直、斜各方位數字相加，都可得到相同總和的奇妙特性。

想 一想 如何將數字1至9填入下列方格中，使得無論橫、直、斜各方位數字相加，都可得到相同總和。 首先要思考1~9各數字總和是多少？ 其次再思考，每一直行或橫行的數字總和是多少？

「魔方」或「幻方」 「縱橫圖」因這有趣的特性，不少東西方國家都相信它具有不可思議的力量，因而把它稱為「魔方」或「幻方」。 最早的中國「縱橫圖」要算是早在四、五千年前出現的「河圖」和「洛書」。

「河圖」的歷史 在遠古伏羲氏的時代，有一匹龍馬從黃河中跳出，他的背上負有一幅圖，上有黑白色小圈共五十五個，用直線串連一起，顯示了一至十這些基本數字，此名為「河圖」 。

「河圖」的故事 「河圖」裡由黑色圓點組成的是偶數，白色小圈組成的是奇數。據說由於河圖的影響，伏羲氏才畫成八卦。 而就「河圖」本身來看，其實只是顯示著十個基本的整數，或許含有十進位的意思。 若拋開中間的5和10，則白點與黑點（及奇數和偶數）各自相加均是20。

「洛書」的歷史 約在夏朝帝禹好滔滔洪水後，洛水裡出現一隻大烏龜，背馱著一幅跟「河圖」相似的圖，其中黑白色小圈共四十五個，也用直線串聯著，顯示出一至九的數字，稱為「洛書」。

「洛書」的故事 「洛書」裡每直行、橫行、斜行的總和均是十五，排列方法奇特，是歷史上第一個縱橫圖。 此發現不單開啟了縱橫圖發展之頁，對日後數學知識的開拓亦有深遠的影響。據古籍說，河圖、洛書也包含了一些治國安邦的道理。

古書上的歌訣 古代算數上有這樣的歌訣： 「九宮之義，法之靈龜。 二四為肩，六八為足， 左七右三，戴九履一， 五居中央。」 古代算數上有這樣的歌訣： 「九宮之義，法之靈龜。 二四為肩，六八為足， 左七右三，戴九履一， 五居中央。」 其實這就是三行三列的魔方陣。 試試看：依此歌訣，寫出三階魔方陣。

南宋數學家---楊輝 楊輝是第一個對縱橫圖有深入探究的數學家，它在書中記載三階、四階以至九階等造陣方法，將方陣圖不斷推衍能得出多種不同排列圖樣。 以下介紹楊輝的方法：

三階魔方陣 將方陣外的數字移動三步入方陣內 問題：請模仿楊輝的方法，造一個五階魔方陣。

五階魔方陣 將方陣外的數字移動五步入方陣內

奇數階方陣 楊輝此一方法僅適用於奇數階方陣，偶數階造陣規則不同。 同學可依此方法自行造七階或九階方陣。 想一想：為何此方法所製造的方陣，每直行、橫行、對角線之和均相同。

奇數階方陣另一造陣方法 先將1寫在第一列的中間 再依序將數字填入前一個數字的右上方 若數字跑到方陣外，則移到最下方或最左邊 若左上方已有數字則改移至前一個數字下方

四階魔方陣 四階魔方陣直到第十五世紀才傳入歐洲。 仔細加以觀察，不但每行、每列、對角線上4個數字和皆為34，而且還有很多特別的地方。

四階魔方陣特別的地方 四個角上的四個數字1，4，13，16的和亦為34 四角落及中心共5個兩行兩列方陣內4個數的和亦皆是34 每列上各數的平方和，外圍兩列相等；裡面兩列相等 外圍兩行的平方和皆為378； 裡面兩行的平方和皆為370 虛線所示的方陣上，相對的兩個邊上4個數的和亦為34

12+142+152+42＝438; 122+72+62+92＝310; 82+112+102+52=310; 132+22+32+162=438 12+122+82+132=378; 142+72+112+22=370; 152+62+102+32=370; 42+92+52+162=378 12+14+3+5=15+9+8+2=34; 122+142+32+52=152+92+82+22; 123+143+33+53=153+93+83+23

四階魔方陣的填法 將5個方形內的數字，以方陣中心為核心，將每對互調。1↔16,6 ↔11,4↔13, 7 ↔10 將1~16順序填入方格 畫兩條垂直線，兩條水平線

八階魔方陣的填法

八階魔方陣的填法 1↔64,10 ↔55, 2 ↔63,9 ↔56 8↔57,15 ↔50, 7 ↔58,16 ↔49

八階魔方陣的填法 19↔46,28 ↔37, 22 ↔43,29 ↔36 20↔45,21 ↔44, 30 ↔35,38 ↔27

八階魔方陣完成圖 4階，8階，12階，16階……都可以此法完成

六階魔方陣的填法 將4階魔方陣內的每一個數字都加10 加一外框，使成六階方陣。分別將1~10及27~36各數填入 10,14,18等方階之魔方陣皆一此技巧

延伸問題 將方陣內每一個數字，同時加（減）相同的數，使否仍為魔方陣？其每一直、橫、斜的數字總和有沒有改變？ 將方陣內每一個數字，同時乘（除）以相同的數，使否仍為魔方陣？其每一直、橫、斜的數字總和有沒有改變？

方陣的魔力 西方有不少國家相信方陣蘊藏著無窮的神秘力量，每一個國家在不同的時期都賦予他們一些特別的意義。 大約公元八世紀，一些埃及煉金術士相信方陣能將普通金轉變成為黃金。 中東的阿拉伯人將每一行星用特定的方陣來聯繫說明，用來研究天體行星的工作。他們相信方陣的魔法可避邪驅疫，所以佩帶方陣護身符可以帶來好運及治療疾病。 結束