數學教材教法 圖形變換 TKU94B余婷筠

大綱 壹、數學結構 貳、認知結構 參、教學策略 肆、綱要結構 伍、評量範例 一、圖形變換定義 二、全等變換 一、幾何主題能力指標 三、全等變換特殊類型：對稱 （一）線對稱 （二）點對稱 四、相似變換 貳、認知結構 參、教學策略 肆、綱要結構 一、幾何主題能力指標 二、分年細目詮釋 伍、評量範例

壹、數學結構

一、圖形變換定義 所謂的圖形變換，就是指平面上全部的點按照一定的規則（即相互對應的關係，也就是對應點），可以與另一個平面上全部的點有一對一的關係。 簡單的說，就是能夠將一個平面圖形按照一定的規則移到另一個平面圖形上。

二、全等變換 即兩個圖形互相重疊時，可運用直接比較的方式，如果圖形的形狀與大小都一樣，就稱為全等圖形。透過以下三種移動方式： （一）平移變換 （二）旋轉變換 （三）翻轉變換 將圖形移動的時候，無論形狀、大小、角度的大小、邊長以及面積都沒有任何改變，則為全等圖形。

在平面上透過平行移動或垂直移動，使原物件的位置產生移動的現象，就是平移變換。 例如： （一）平移變換 在平面上透過平行移動或垂直移動，使原物件的位置產生移動的現象，就是平移變換。 例如：

將一個圖形繞一個頂點旋轉產生位移，而圖形與所呈現的圖像不變。 例如： （二）旋轉變換 將一個圖形繞一個頂點旋轉產生位移，而圖形與所呈現的圖像不變。 例如：

將平面圖形翻轉180°，使圖形產生位移，此時圖形的形狀並未改變，而圖像從原來的正面轉為反面。 （三）翻轉變換 將平面圖形翻轉180°，使圖形產生位移，此時圖形的形狀並未改變，而圖像從原來的正面轉為反面。 1.水平翻轉 2.垂直翻轉 （水面倒影） 3.鏡子反射

三、全等變換特殊類型：對稱 （一）線對稱 若一個圖形可沿一直線(對稱軸)對摺後，使其在直線兩側的部分完全重合，則稱此圖形為關於此折線的對稱圖形，簡稱為「線對稱圖形」或「軸對稱圖形」。 線對稱圖形的基本要素：對稱軸、對稱點和對稱邊。

正多邊形 偶數邊：其對稱軸的個數=正多邊形的邊數 奇數邊：一定是線對稱圖形 正方形 正五邊形 幾何圖形的線對稱 正多邊形 偶數邊：其對稱軸的個數=正多邊形的邊數 奇數邊：一定是線對稱圖形 正方形 正五邊形

生活中的線對稱

（二）點對稱 以一點為中心，圖形其中一半旋轉180度以後，能與另一半重合的是點對稱圖形。旋轉的中心點是對稱中心。 點對稱圖形的其中一半繞對稱中心旋轉180度後，重合的兩點是對稱點，重合的邊是對稱邊。 點對稱圖形的所有對稱兩點連線都通過對稱中心，同時對稱中心到相對稱兩點距離相等。

生活中的點對稱

四、相似變換 當圖形變換後的形狀一樣，但是大小不同，變成放大或縮小的形狀，這種變換就叫做相似變換。 相似變換主要特徵是形狀相似但大小不同。 兩個圖形相似時，其之間有三種共同關係： 1.兩圖形間可配出對應點。 2.對應線段的長度比值相等(對應邊成比例)。 3.對應角的角度大小相同。

相似變換主要區分為： （一）擴大圖 （二）縮小圖 生活中的應用：比例尺 常以1和其縮小（擴大）倍率的比、比值或線段圖表示。

貳、認知結構

荷蘭數學教育家Van Hiele夫婦幾何學習發展理論 第0層次－視覺期（Visualization） 國小低年級 學童可以分辨、稱呼、比較及操弄幾何圖形，以視覺觀察具體實物的整體輪廓來辨認圖形。可以使用標準數學術語描術物件的形狀。 如：門的形狀為長方形，盤子的形狀為圓形。但不能瞭解形狀真正定義。

第一層次－分析期（Analysis） 國小中高年級 學童可以從圖形的構成要素以及其之間的關係分析圖形。 可以利用實際操作（如折疊、尺量，以格子觀察或設計特別的圖樣）的方式，發現某一群圖形的共有性質或規則。 已具有豐富的視覺辨識經驗，如：能夠察覺到長方形有四個邊，四個角，且有兩個長邊，兩個短邊，對邊相等，但不能解釋性質間的關係。

第二層次－關係期（Relation）或 非形式演繹期(Informal Deduction) 高年級學童大約在第一層至第二層的過渡時期 兒童可以透過非正式地論證把先前發現的性質作邏輯地聯結。 能進一步探索圖形內在所屬關係及各圖形間的包含關係。 如：四邊形兩雙對邊相等即是平等四邊形，而不必將所有屬性均描述出來才能確認其圖形。

參、教學策略

一、全等變換 低年級迷思： 1.將正方形或三角形轉個方向，則學生會認為這些圖形就不是正方形或三角形。 2.課本中常出現的三角形是 如果形狀換成 ，有些學生會不覺得這也是三角形的一種。

教學策略： 讓學生利用色紙，剪成兩個大小一樣的正方形，再讓他們拿 轉一轉或貼在 形上，可以讓學生清楚了解，其實 與 皆是正方形。 老師準備許多三角形、圓形、長方形、正方形的色紙發給每組同學，請同一組的學生利用這些色紙排出一幅圖畫。在拼湊的過程中，有的學生會把形狀顛倒貼，或是換個角度貼，由此去引導學生了解三角形顛倒貼也是三角形（正方形、長方形…亦是）。

中年級迷思： 將正方形或三角形轉個方向，則學生會認為這些圖形就不是正方形或三角形。 教學策略： 老師可以指導學生利用每一種圖形的特色去做判斷，而不是光看圖形就判斷圖形。

二、線對稱 線對稱教學多透過摺、剪、繪等操作活動的方式進行，所以以實際操作來了解線對稱圖形的特性是較佳的方式。 學生在進行畫對稱軸的活動時，應先透過對摺，然後描出摺線，即為對稱軸；但如果受到外框(長方形的紙)的影響時，則可指導學生先將圖剪下，再對摺即可，或是將紙拿起對著電燈，則可以映出圖樣以進行活動。

三、點對稱 先讓學生經驗180度的旋轉情境，藉由圖形平面固定一點旋轉一個角度的操作活動引入。學生由具體操作活動逐步分析，才能進而瞭解抽象的點對稱圖形。 讓學生察覺相互對應的點與旋轉中心等距離的現象，作為引入點對稱圖形意義的基礎。對點對稱圖形特性了解後，再請學生製作簡單的點對稱圖形以及由整體圖形的呈現找出旋轉中心等操作活動。

四、相似變換 由觀察不同遠近的景色，經驗圖像的擴大和縮小後的效應，並利用方格觀察，嘗試說出圖形的擴大或縮小圖的關係。 觀察擴大或縮小圖之對應邊和對應角之間的關係。 藉由觀察擴大（縮小）圖與原圖之對應邊和對應角關係判斷擴大（縮小）圖，並經驗擴大N倍的圖形，面積擴大N的平方倍之關係。 由比例尺之需要感情境，認識比例尺，並運用於地圖上有關情況的閱讀。

肆、綱要結構

五大主題能力指標－幾何 第一階段： S-1-02 能描繪或仿製簡單幾何形體。 S-1-03 能認識周遭物體中的角、直線和平面。 S-1-05 能透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形。 第二階段： S-2-04 能認識平面圖形全等的意義。 S-2-05 能理解旋轉角的意義。 S-2-06 能理解平面圖形的線對稱關係。 第三階段： S-3-02 能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認識比例尺。

圖形變換 分年細目 1-s-04 能依給定圖示，將簡單形體作平面舖設與立體堆疊。 2-s-05 能認識面積，並作直接比較。

伍、評量範例

剪下來並摺摺看，這些圖形是線對稱圖形嗎？ 他們的對稱軸各在哪裡？ （1）大雄說全部的圖形都是線對稱圖形。 □ 對 □ 不對 理由是 ________________ （1）宜靜說是菱形、等腰梯形、等腰三角形才是線對稱圖形。

星期六的下午，小玉和小丸子在房間玩畫小船的遊戲，小玉先畫好了一隻小船後，向小丸子說：『小丸子，妳可以畫一隻比我的小船大2倍的大船嗎？』 小玉畫的 小丸子說：『這太簡單了，看我的！』 小丸子畫的 小朋友，你認為小丸子畫的大船有比小玉畫的小船大2倍嗎？ □有 □沒有 理由是：____________