24.1.2 垂直于弦的直径
想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？ 【解析】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠. O C D
观察右图，有什么等量关系？
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 【证明猜想】 已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E.求证：AE＝BE， = = BC AD AC BD 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
叙述垂径定理，关注定理的题设和结论. 结论 题设 ③直线CD平分弦AB ①直线CD经过圆心O ④直线CD平分 ②直线CD垂直弦AB
【定理辨析】 1.判断下列图形，能否使用垂径定理？
2.如图，已知在圆O中，直径CD⊥弦AB于E点 (1)若AB=8,OE=3,则圆O半径为 . (2)若CD=8,DE=2,则AB长为 . 【例题】 2.如图，已知在圆O中，直径CD⊥弦AB于E点 (1)若AB=8,OE=3,则圆O半径为 . (2)若CD=8,DE=2,则AB长为 . (3)若圆O半径为6,AB=8，则DE= . (4)若AB=8,DE=2,则OC长为 . D B A E O C
. 3、已知：如图，在以O为圆 心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C，D两点. 求证：AC＝BD. 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE. AE－CE＝BE－DE. 所以，AC＝BD . O E A B C D
4.
5.如图， ⊙O 半径为6，P为⊙O的弦BA延长线上一点，OP=8,∠P=30°求AB的长. H 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线.
6.如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA=AB=2，PO＝5，求⊙O的半径. M 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线.
7.如图， AB为⊙O 直径，C为AB上一点，D为⊙O上一点，∠DCB=45°,AC=4，BC=12，求Cd的长. H A C
【推论1】 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧.
【推论2】 圆的两条平行弦所夹的弧相等. 如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什么结论？ F O B A E C D
1.（安徽·中考）如图，⊙O过点B，C.圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为（ ） A. B. C. D. 【解析】选D.延长AO交BC于点D，连接OB， 根据对称性知AO⊥BC，则BD=DC=3. 又△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°， 则AD= =3,∴OD=3-1=2, ∴OB=
课堂小结 通过本课时的学习，需要我们： 1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明. 2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二推三” 的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.