循环群与群同构
回顾 子群的定义及其判定 子群的陪集与划分 拉格朗日定理
提要 循环群与生成元 循环群的子群 群的同构与同态 (循环)群的直积
循环群与生成元
循环群与生成元（续）
例
例 5^2表示二元运算5*5
例
无限循环群的生成元
无限循环群的生成元（续）
有限循环群的生成元 元素阶的性质第一条：a^k=e 等价于 |a| | k
有限循环群的生成元（续）
例
循环群的子群 幂 自然成立 我们有子群判定定理，但求一个群的子群并不容易 循环群是个例外(生成子群)
循环群的子群（续）
例
群同构与同构映射
群同态与同态映射
群同态与同态映射（续）
无限循环群的同构群
有限循环群的同构群
循环群的同构群
群的直积 给定两个群: (S, ⃘), (T,*), 定义笛卡儿乘积ST上 的运算⊗如下： (ST, ⊗)是群 <s1,t1> ⊗ <s2,t2> = <s1 ⃘s2, t1*t2> (ST, ⊗)是群 结合律： <(s1 ⃘s2) ⃘s3, (t1*t2)*t3> = <s1 ⃘(s2 ⃘s3), t1*(t2*t3)> 单位元素：<1S, 1T> 逆元素：<s, t> 的逆元素是 <s-1, t-1> (其中： s, s-1S, t, t-1T)
循环群的直积 CmCn≅Cmn iff m与n互质。其中Ck表示k阶循环群。 若m与n互质，只需证明CmCn含有阶为mn的元素。 (a,b)mn = e, 其中a,b分别是Cm和Cn的生成元素。 若(a,b)k = e, k必是m,n的公倍数，因m与n互质，故k 是 mn的倍数。所以，(a,b)的阶是mn。 若CmCn≅Cmn，则CmCn是循环群，设其生成元是(s,t), 则(s,t)的阶是mn, 若gcd(m,n)=k>1, 则(s,t)mn/k =e, 这与(s,t)的 阶是mn矛盾。 由上页，CmCn的单位元是（e1，e2） 注意：sm=e1, tn=e2,
欧拉函数和欧拉定理 Cn中元素按其阶分类，d阶元素共有φ(d)个，d|n. (Euler定理）若正整数a与n互质，则 n的每个因子d，恰有一个d阶子群<a^{n/d}>，该d阶循环群生成元个数是φ(d)，且每个都是d阶元素 可用Z12举例：区分d阶子群和d阶元素 该群的单位元是1；假设某个满足条件(a,n)=1的元素a的阶是k，即ak ≡ 1 (mod n)，则<a>是一个子群，由拉格朗日定理有φ(n)=k*M，于是有a^φ(n)= a^{kM} = (a^k)^M = 1^M =1 mod n Euler's theorem can be proven using concepts from the theory of groups:[3] The residue classes (mod n) that are coprime to n form a group under multiplication (see the article Multiplicative group of integers modulo n for details.) The order of that group is φ(n). Lagrange's theorem states that the order of any subgroup of a finite group divides the order of the entire group, in this case φ(n). If a is any number coprime to n then a is in one of these residue classes, and its powers a, a2, ...,ak ≡ 1 (mod n) are a subgroup. Lagrange's theorem says k must divide φ(n), i.e. there is an integer M such that kM = φ(n). But then, <math>a^{\varphi(n)} = a^{kM} = (a^{k})^M = 1^M =1 \equiv 1 \pmod{n}.</math> 小于n且与n互质的正整数及乘法（模n ）构成一个群
作业 见课程主页