优化试验设计与数据分析 第一章 正交试验基本方法 本章主要内容 · 多因素试验问题、正交试验、正交表符号的意义。 · 多因素试验问题、正交试验、正交表符号的意义。 · 因素、水平、自由度、试验指标、交互作用。均衡分散性、整齐可比性、自由度选表原则、表头设计。 · 正交表的特点、用正交表安排试验及结果分析。正交试验的步骤。
试验因素（experimental factor） §1-1 多因素试验的提出 试验因素（experimental factor） 试验中，凡对试验指标可能产生影响的原因或要素，都称为因素，也称因子。 由于客观条件的限制，一次试验中不可能将每个因素都考虑进去。把试验中所研究的影响试验指标的因素称为试验因素，通常用大写字母A，B，C……表示。 把除试验因素外其他所有对试验指标有影响的因素称为条件因素，又称试验条件（experimental conditions）。 考察1个试验因素的试验叫单因素试验，考察2个因素的试验叫双因素试验，考察3个或3个以上试验因素的试验叫多因素试验。
单因素试验 例 有三台机器，用来生产规格相同的铝合金薄板。取样，测量薄板的厚度精确至千分之一厘米。得结果如下表所示。 表 铝合金板的厚度 机器Ⅰ 机器Ⅱ 机器Ⅲ 0.236 0.238 0.248 0.245 0.243 0.257 0.253 0.255 0.254 0.261 0.258 0.264 0.259 0.267 0.262 试验指标:薄板的厚度 因素:机器 水平:不同的三台机器是因素的三个不同的水平
双因素试验 例 一火箭用四种燃料,三种推进器作射程试验.每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次,得射程如下（以海里计）. 表 火箭的射程 推进器(B) B1 B2 B3 燃料(A) A1 A2 A3 A4 58.2 52.6 49.1 42.8 60.1 58.3 75.8 71.5 56.2 41.2 54.1 50.5 70.9 73.2 51.0 65.3 60.8 51.6 48.4 39.2 40.7 48.7 41.4
反应时间 设备状态 原料成分 溶液浓度 化工产品 的质量 操作水平 原料剂量 压力 反应温度 多因素试验 各个因素对化工产品质量的影响是否显著
例1-1 为提高某化工产品的转化率, 选择了三个有关的因素进行条件试验, 反应温度 【例1-1】 例1-1 为提高某化工产品的转化率, 选择了三个有关的因素进行条件试验, 反应温度 (A) , 反应时间(B) , 用碱量(C) , 并确定了它们的试验范围: 反应温度A: 80～90℃ 反应时间B: 90～150 分钟 用碱量C: 5～7%
对于单因素或两因素试验，因其因素少 ，试验的设计 、实施与分析都比较简单 。但在实际工作中 ，常常需要同时考察 3个或3个以上的试验因素 ，若进行全面试验 ，则试验的规模将很大 ，往往因试验条件的限制而难于实施 。正交试验设计就是安排多因素试验 、寻求最优水平组合 的一种高效率试验设计方法。
【例1-1】中因素A、B、C在试验范围内分别选取三个水平 A：A1＝80℃、A2＝85℃、A3＝90℃ B：B1＝90Min、B2＝120Min、B3＝150Min C：C1＝5%、C2＝6%、C3＝7% 正交试验设计中，因素可以定量的，也可以使定性的。而定量因素各水平间的距离可以相等也可以不等。
共有3³=27次试验，如图所示，立方体包含了27个节点，分别表示27次试验。 取三因素三水平，通常有两种试验方法： （1）全面实验法： A1B1C1 A2B1C1 A3B1C1 A1B1C2 A2B1C2 A3B1C2 A1B1C3 A2B1C3 A3B1C3 A1B2C1 A2B2C1 A3B2C1 A1B2C2 A2B2C2 A3B2C2 A1B2C3 A2B2C3 A3B2C3 A1B3C1 A2B3C1 A3B3C1 A1B3C2 A2B3C2 A3B3C2 A1B3C3 A2B3C3 A3B3C3 共有3³=27次试验，如图所示，立方体包含了27个节点，分别表示27次试验。 A1 A2 A3 B3 B2 B1 C1 C2 C3
优点：对各因素于试验指标之间的关系剖析得比较清楚 缺点： 全面试验法的优缺点： 优点：对各因素于试验指标之间的关系剖析得比较清楚 缺点： (1)试验次数太多，费时、费事，当因素水平比较多时，试验无法完成。 (2) 不做重复试验无法估计误差。 (3)无法区分因素的主次。 例如选六个因素，每个因素选五个水平时，全面试验的数目是56 ＝15625次。 1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于10，此时靠全面试验法是无法完成的。
（2）简单比较法 变化一个因素而固定其它因素，如首先固定B、C于B1、C1，使A变化之，则： 如果得出结果A3最好，则固定A于A3，C还是C1，使B变化，则： 得结果B2最好，则固定B于B2，A于A2，使C变化，则： 试验结果以C3最好。于是得出最佳工艺条件为A3B2C2。 A1 B1C1 A2 A3(好结果) B1 A3C1 B2(好结果) B3 C1 A3B2 C2 (好结果) C3
A1 A2 A3 B3 B2 B1 C1 C2 C3 简单比较法的试验点
简单比较法的优缺点 优点：试验次数少 缺点： （1）试验点不具代表性。考察的因素水平仅局限于局部区域，不能全面地反映因素的全面情况。 （2）无法分清因素的主次。 （3）如果不进行重复试验，试验误差就估计不出来，因此无法确定最佳分析条件的精度。 （4）无法利用数理统计方法对试验结果进行分析，提出展望好条件。
譬如：考察两个因子，先固定A在A1，发现B3好，再固定B3，发现A1好，但是实际上好的条件是A2B2。 “单因素轮换法” 不一定能找到好的条件 譬如：考察两个因子，先固定A在A1，发现B3好，再固定B3，发现A1好，但是实际上好的条件是A2B2。 B1 B2 B3 A1 50 56 62 A2 56 70 60 A3 54 60 58
正交试验的提出： 考虑兼顾全面试验法和简单比较法的优点，利用根据数学原理制作好的规格化表——正交表来设计试验不失为一种上策。 用正交表来安排试验及分析试验结果，这种方法叫做正交试验法。 事实上，正交最优化方法的优点不仅表现在试验的设计上，更表现在对试验结果的处理上。
正交试验法优点： （1）试验点代表性强，试验次数少。 （2）不需做重复试验，就可以估计试验误差。 （3）可以分清因素的主次。 （4）可以使用数理统计的方法处理试验结果，提出展望好条件。 正交试验（表）法的特点： （1）均衡分散性－－代表性。 （2）整齐可比性－－可以用数理统计方法对试验结果进行处理。
用正交表安排试验时，对于例1－1： 用正交试验法安排试验只需要9次试验 3 9 6 5 2 8 7 4 1 B3 B2 B1 C3 C2 A1 A2 A3 B3 B2 B1 C1 C2 C3 1 2 3 6 5 4 7 8 9 用正交试验法安排试验只需要9次试验
试验指标 §1-2用正交表安排试验 一、试验指标、因素和水平 在试验设计中，根据试验的目的而选定的用来衡量或考核试验效果的质量特性称为试验指标。 试验指标可分定量指标和定性指标两类。
定量指标:能用数量表示的指标。如重量、尺寸、速度、硬度、pH值、结晶度、吸光度、试剂浓度、温度、流速、混合物的组成、雾化。 定性指标:不能用数量表示的指标称为，如外观、色泽、气味等。 定性指标可以按评定结果打分或者评出等级，可以用数量表示，称为定性指标的定量化。
试验中要考虑的对试验指标可能有影响的变量简称为因素，用大写字母A、B、C…表示 因子在试验中所取的状态称为水平。因子A的水平用代表因子的字母加下标表示，记为A1，A2，…Ak。 在一次试验中每个因子总取一个特定的水平，称各因子水平的一个组合为一个处理或一个试验条件。
二、正交表符号的意义 正交表的纵列数 （最多允许安排因素的个数） L9(34) 正交表的代号 字码数（因素的水平数） 正交表的横行数
“L”表示正交表，“9”是行数，在试验中表示试验的条件数，“4”是列数，在试验中表示可以安排的因子的最多个数，“3”是表的主体只有三个不同数字，在试验中表示每一因子可以取的水平数。
三、正交表的正交性（以L9 (34 )为例） 1 2 3 4 正交表的特点： 每列中，“1”、“2”、“3”出现的次数相同； 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 1 3 3 3 4 2 1 2 3 5 2 2 3 1 6 2 3 1 2 7 3 1 3 2 8 3 2 1 3 9 3 3 2 1 列号 正交表的特点： 每列中，“1”、“2”、“3”出现的次数相同； 任意两列，其横方向形成的九个数字对中，恰好(1，1)、(1，2)、(1、3)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、(3，2)、(3、3)出现的次数相同 这两点称为正交性： 均衡分散，整齐可比，代表性强，效率高 均衡分散：试验点散布均匀 整齐可比：试验点排列规律整齐可分析 试验号
正交表的特点 这是设计正交试验表的基本准则 1、正交表中任意一列中，不同的数字出现的次数相等； 表示：在试验安排中，所挑选出来的水平组合是均匀 分布的（每个因素的各水平出现的次数相同） ——均衡分散性 2、正交表中任意两列，把同行的两个数字看成有序数 对时，所有可能的数对出现的次数相同。 表示：任意两因素的各种水平的搭配在所选试验中出现 的次数相等，可以进行数据分析 ——整齐可比性 这是设计正交试验表的基本准则
四、用正交表安排试验（以例1-1为例） 1 2 3 80 85 90 90 120 150 5% 6% 7% 1 2 3 A1 A2 A3 （1）明确试验目的，确定试验指标 例1－1中，试验目的是搞清楚A、B、C对转化率的影响，试验指标为转化率 （2）确定因素－水平表 （3）选用合适正交表 本试验可选取正交表L9 (34 ) 安排试验 因 因 水 水 素 A 温度（℃） B 时间（Min） C 用碱量（x%） 素 A B C 平 平 1 2 3 80 85 90 90 120 150 5% 6% 7% 1 2 3 A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3
A温度（℃） B时间（Min） C用碱量（x%） 4 转化率（x%） （4）确定试验方案 “因素顺序上列，水平对号入座，横着做” A温度（℃） B时间（Min） C用碱量（x%） 4 转化率（x%） 1 1(80℃) 1(90Min) 1(5%) 1 31 2 1(80℃) 2(120Min) 2(6%) 2 54 3 1(80℃) 3(150Min) 3(7%) 3 38 4 2(85℃) 1(90Min) 2(6%) 3 53 5 2(85℃) 2(120Min) 3(7%) 1 49 6 2(85℃) 3(150Min) 1(5%) 2 42 7 3(90℃) 1(90Min) 3(7%) 2 57 8 3(90℃) 2(120Min) 1(5%) 3 62 9 3(90℃) 3(150Min) 2(6%) 1 64 列号 试验号
3个因素中，哪些因素对收益率影响大，哪些因素影响小； 如果某个因素对试验数据影响大，那么它去哪个水平对提高收益率有利。 §1-3正交试验结果分析极差分析法 以例1－1为例 分析内容： 3个因素中，哪些因素对收益率影响大，哪些因素影响小； 如果某个因素对试验数据影响大，那么它去哪个水平对提高收益率有利。 利用正交表的“整齐可比”性进行分析：
对于因素A A温度（℃）1 B时间（Min） 2 C用碱量（x%）3 4 转化率（x%） 列号 试验号
从表中可以看出，A1、A2、A3各自所在的那组试验中，其它因素（B、C、D）的1、2、3水平都分别出现了一次。 计算方法如下： K1A = x1 + x2 + x3 = 31+54+38=123 k1A = K1A/3=123/3=41 K2A = x4 + x5+ x6 =53+49+42=144 k2A = K2A/3=144/3=48 K3A = x7 + x8+ x9 = 57+62+64=183 k3A = K3A/3=183/3=61 我们比较K1A、 K2A、K3A 时，可以认为B、C、D对K1A、 K2A、K3A 的影响是大体相同的。于是，可以把K1A、 K2A、K3A 之间的差异看作是A取了三个不同水平引起的。——正交设计的整齐可比性
对于因素B A温度（℃）1 B时间（Min） 2 C用碱量（x%）3 4 转化率（x%） 4 2(85℃) 2(6%) 3 53 7 3(90℃) 3(7%) 2 57 2 1(80℃) 2(120Min) 2(6%) 2 54 5 2(85℃) 3(7%) 1 49 8 3(90℃) 1(5%) 3 62 3 1(80℃) 3(150Min) 3(7%) 3 38 6 2(85℃) 1(5%) 2 42 9 3(90℃) 2(6%) 1 64 列号 试验号
同理可以算出： K1B = x1 + x2 + x3 = 31+53+57=141 k1B = K1B/3=141/3=47 K2B = x4 + x5+ x6 =54+49+62=165 k2B = K2B/3=165/3=55 K3B = x7 + x8+ x9 = 38+42+64=144 k3B = K3B/3=183/3=48 我们比较K1B、 K2B、K3B 时，可以认为A、C、D对K1B、 K2B、K3B 的影响是大体相同的。于是，可以把K1B、 K2B、K3B 之间的差异看作是B取了三个不同水平引起的。 对于C与此同理。
A C B 主 次 将每列的 k1 、 k2 、k3 中最大值于最小值之差称为极差 （1）确定因素的主次 将每列的 k1 、 k2 、k3 中最大值于最小值之差称为极差 即：第一列（A因素）＝ k3A－ k1A＝61－41＝20 第二列（B因素）＝ k2B－ k1B＝55－47＝8 第三列（C因素）＝ k2C－ k1C＝57－45＝12 影响大，就是该因素的不同水平对应的平均收益率之间的差异大。 直观看出：一个因素对试验结果影响大，就是主要因素 本例中：因素主次为 A C B 主 次
（2）确定各因素应取的水平 A温度（℃）1 B时间（Min） 2 C用碱量（x%）3 4 转化率（x%） K1＝123 K2＝144 k1A = K1A/3=123/3=41 k2A = K2A/3=144/3=48 k3A = K3A/3=183/3=61 （2）确定各因素应取的水平 A温度（℃）1 B时间（Min） 2 C用碱量（x%）3 4 转化率（x%） 1 1(80℃) 1(90Min) 1(5%) 1 31 2 1(80℃) 2(120Min) 2(6%) 2 54 3 1(80℃) 3(150Min) 3(7%) 3 38 4 2(85℃) 1(90Min) 2(6%) 3 53 5 2(85℃) 2(120Min) 3(7%) 1 49 6 2(85℃) 3(150Min) 1(5%) 2 42 7 3(90℃) 1(90Min) 3(7%) 2 57 8 3(90℃) 2(120Min) 1(5%) 3 62 9 3(90℃) 3(150Min) 2(6%) 1 64 列号 试验号 本例要求指标越大越好， 应取指标最大 的水平， k3A最大，故因素A应该取A3
指标越大越好，应该选取指标最大的水平。从上表可以看出，本试验应该选取每个因素中k1、k2、k3最大的哪个水平。即： 表格示意如下： K1 123 141 135 K2 144 165 171 K3 183 144 144 k1 41 47 45 k2 48 55 57 k3 61 48 48 R 20 8 12 指标越大越好，应该选取指标最大的水平。从上表可以看出，本试验应该选取每个因素中k1、k2、k3最大的哪个水平。即： A3B2C2
也可以选取图形中最高的水平点得到最优生产条件： 指标 同时可以估计，随着A的增加，指标还有向上的趋势 70 60 50 40 A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 因素 指标－因素图
于是用A3B2C2、A3B1C2各做一次验证试验，结果如下： 选取原则： （1）对主要因素，选使指标最好的那个水平 于是本例中A选A3，C选C2 （2）对次要因素，以节约方便原则选取水平 本例中B可选B2或者B1 于是用A3B2C2、A3B1C2各做一次验证试验，结果如下： 试验号 试验条件 收益率（x％） 1 A3B2C2 74 2 A3B1C2 75 最后确定最优生产条件为A3B1C2
总结1：正交试验设计的步骤 因素顺序上列 水平对号入座 横着做
总结2：正交表安排试验的极差分析步骤 A温度（℃）1 B时间（Min） 2 C用碱量（x%）3 4 转化率（x%） 列号 试验号
2,4—二硝基苯肼的工艺改进 试验目的: 2,4—二硝基苯肼是一种试剂产品。过去的工艺过程长,工作量大且产品经常不合格。北京化工厂改革了工艺, 采用2,4—二硝基氯化苯(简称氯化苯)与水合肼在乙醇作溶剂的条件下合成的新工艺。小的试验已初步成功,但收率只有45%, 希望用正交试验法找出好的生产条件, 达到提高生产效率的目的。 试验指标: 产率(%)与外观颜色。
1、制定因素水平表 因素 水平 A （ml） B C （℃） D （小时） E F 1 200 两倍 回流 4 精品 中速 2 1.2倍 乙醇用量 （ml） B 水合肼用量 C 反应温度 （℃） D 反应时间 （小时） E 水合肼纯度 F 搅拌速度 1 200 两倍 回流 4 精品 中速 2 1.2倍 60 粗品 快速
2.选择合适的正交表 3.确定试验方案 将本试验的6个因素及相应水平按因素顺序上列、水平对号入座原则,排入L8(27)表中前6个直列。试验方案如下表1－9。 4.结果分析 (1) 直接看,可靠又方便 (2) 算一算,重要又简单 (3) 可能好配合 A2B1C2D2E2F2
表1-10 试验方案及结果计算表 因素 试验号 K1 k1 k2 R A 乙醇用量 （ml） B 水合肼用量 C 反应温度 （℃） D 反应时间 （小时） E 水合肼纯度 F 搅拌速度 实际试 验顺序 试验指标 产率 颜色 1 1(200 ml) 1（两倍） 1（回流） 2（2h） 2（粗品） 1（中速） 7 56 桔黄 2 2(0 ml) 2（） 1（精品） 4 65 紫色 3 2（1.2倍） 2（快速） 54 43 5 1（4h） 8 63 6 60 42 K1 215 244 201 207 213 205 210 181 224 218 212 220 k1 53.75 61 50.25 51.75 53.25 51.25 k2 52.25 45.25 54.50 53 55 R 1.20 15.75 4.75 2.75 0.25 3.75
正交设计的三个随机化过程 因素顺序随机化 因素水平随机化 试验顺序随机化
5 第二批撒小网 在第一批试验的基础上,为弄清产生不同颜色的原因及进一步如何提高产率,决定再撒个小网。做第二批正交试验。 5 第二批撒小网 在第一批试验的基础上,为弄清产生不同颜色的原因及进一步如何提高产率,决定再撒个小网。做第二批正交试验。 (1) 制定因素—水平表 对最重要的因素B，应详加考察,从趋势上看,随水合肼用量的增加产率提高。在好用量两倍的周围,再取1.7倍与2.3倍两个新用量继续试验——这即是有苗头处着重加密原则。 表1-11 因素—水平表 因素 水平 A 水合肼用量 B 反应时间 C 加料速度 1 1.7倍 2小时 快 2 2.3倍 4小时 慢
（2）利用正交表确定试验方案 因素 水平 A B C 试验指标 产率（%） 颜色 1 62 紫色 2 86 桔黄 3 70 4 K1 132 表1-12 试验方案及结果计算表 因素 水平 A 水合肼用量 B 反应时间 C 加料速度 试验指标 产率（%） 颜色 1 62 紫色 2 86 桔黄 3 70 4 K1 132 148 156 140 k1 33 37 k2 39 35 R 6
（3）试验结果的分析 投产效果是:平均产率超过80%,从未出现过紫色外形,质量达到出口标准。总之, 这是一个最优方案，达到了优质、高产、低消耗的目的。
第二步:确定因素—水平表后,选择合适的正交表,进而确定试验方案。 第三步:对试验结果进行分析,其中有: 正交试验法的一般步骤 第一步:明确试验目的,确定试验指标。 第二步:确定因素—水平表后,选择合适的正交表,进而确定试验方案。 第三步:对试验结果进行分析,其中有: (1)直接看 (2)算一算 (Ⅰ)各列的K、k和R计算 R(第j列)=第j列中的k1、k2…中最大的减去最小的差。
正交试验法的一般步骤（续） (3)选取可能好的配合 (Ⅱ)画趋势图(指标—因素图) (Ⅲ)比较各因素的极差R,排出因素的主次。 对于多于两个水平的因素画指标—因素图。 (Ⅲ)比较各因素的极差R,排出因素的主次。 (3)选取可能好的配合 综合直接看与算一算这两步的结果,并参照实际经验与理论上的认识选取可能好的配合。 若所选取的可能好的配合在正交试验中没有出现过,则需做验证试验。
不仅因素的水平变化对指标有影响，而且有些因素间各水平的联合搭配对指标也产生影响，这种联合作用称为交互作用。 §1-4 有交互作用的正交试验 不仅因素的水平变化对指标有影响，而且有些因素间各水平的联合搭配对指标也产生影响，这种联合作用称为交互作用。 考虑氮肥（N） 和磷肥（P） 对豆类增产的效果，可在四块情况大体相同的土地上做4个试验，施肥情况和产量情况如表所示 磷肥（P） 氮肥（N） P 1 = 0 P 2 = 4 N1 = 0 400 450 N2 = 6 430 560
从表 可看出，只加4斤磷肥，亩产增加50斤；只加6斤氮肥，亩产增加30 斤；而氮肥、磷肥都加，亩产增加160 斤。这说明，增产的160斤除氮肥的单独效果30斤和磷肥的单独效果50 斤外，还有它的联合起来发生的影响。这种联合作用叫交互作用，记作N×P，这里N×P是起加强作用，其大小是： （560- 400） - （430- 400） - （450- 400） = 160- 30- 50= 80（斤）
因此，反映在上述水平搭配的交互作用（记作A×B） 是： 22- （80+ 88） = - 156伏
二元图两直线交叉可判断黄药和氰化物之间有交互作用，黄药水平的取值受氰化物水平取值的影响，二者最佳条件为A1B1和A2B2。
正交表交互作用表的使用（以L8 (27)为例） 1 2 3 4 5 6 7 列号 (1) 3 2 5 4 7 6 1 (2) 1 6 7 4 5 2 (3) 7 6 5 4 3 (4) 1 2 3 4 (5) 3 2 5 (6) 1 6 (7) 7 第1列和第2列的交互作用列，从(1)横向右看，从(2)竖向上看，它们的交叉点为3。第3列就是1列与2列的交互作用列。 第1列排A因素，第2列排B因素，第3列则需要反映它们的交互作用A×B，就不能在第3列安排C因素或者其它因素，这称为不能混杂。
要考察的因素及交互作用的自由度总和必须不大于所选用正交表的总自由度 自由度选表原则 自由度选表必须遵循一条原则： 要考察的因素及交互作用的自由度总和必须不大于所选用正交表的总自由度
自由度的两条规定 （1） 正交表的总自由度：f总＝试验次数－1 正交表每列的自由度：f列＝列的水平数－1 （2） 因素A的自由度：fA＝因素A的水平数－1 因素A、B间交互作用自由度：fAxB＝ fA×fB
例1-4 乙酰胺苯磺化反应试验 有交互作用的正交试验及结果分析 试验目的：提高乙酰胺苯的产率 因素－水平表 因素 A 反应温度 ℃ B 反应时间 小时 C 硫酸浓度 x（％） D 操作方法 水平 1 50 1 17 搅拌 2 70 2 27 不搅拌 考虑反应温度与反应时间可能会有交互作用，另外，反应温度与 硫酸浓度也可能会有交互作用，即考虑A×B、A×C
自由度考虑： 表头设计： 4因素及交互作用A×B、A×C，总自由度数＝4×1＋2×1＝6。而L8 (27)共有8－1＝7个自由度，可以安排 把需要试验的各因素的各水平安排入正交表内一定列，得到试验设计表的过程： （1）考虑交互作用的因素A和B，将A放第1列，B放第2列。则由L8 (27)的交互作用表查得A×B在第3列 （2）考虑要照顾到交互作用的因素C，将C放在第4列，此时A×C由L8 (27)的交互作用表查得占第5列，第6、7列为空，D可排其中任意一列，我们将其排在第6列。则：
表头设计 表头设计 表头设计 A B A×B C A×C D 列号 1 2 3 4 5 6 7 A B A×B C A×C A×D 表头 列号 1 2 3 4 5 6 7 如果例1-4中交互作用A×B、A×C、A×D、B×C、B×D、C×D都要考虑，如 果我们仍使用L8 (27)来安排试验，则表头设计如下 表头设计 A B A×B C A×C A×D C×D B×D B×C D 表头 列号 1 2 3 4 5 6 7
凡是可以忽略的交互作用尽量删除，一般使用较小的正交表来制定试验计划， 减少试验次数 这样就产生了混杂，是不合理的 4因素及6个交互作用，自由度总和为4×1＋6×1＝10，而L8 (27)表却只有8－1＝7个自由度，容纳不下，只能选用更大正交表的L16 (215)来做表头设计，如下所示 表头设计 A B A×B C A×C B×C D A×D B×D C×D 列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 表头设计 表头设计的重要原则： 凡是可以忽略的交互作用尽量删除，一般使用较小的正交表来制定试验计划， 减少试验次数
例1-4的试验方案及试验结果如下 试验方案及计算结果表 8 K1 K2 k1 k2 R 1(50℃) 2(70℃) 283 272 列号 试验号 A 反应温度 1 A×B 3 产率 （％） B 反应时间 2 C 硫酸浓度 4 A×C 5 6 D 操作方法 7 8 K1 K2 k1 k2 R 1(50℃) 2(70℃) 283 272 70.75 68.25 2.75 1(1小时） 2(2小时） 282 273 70.50 71.75 2.25 268 287 67.00 4.75 1（17％） 2（27％） 69.75 276 279 69.00 0.75 1（搅拌） 2（不搅拌） 65 74 71 73 70 62 67
从极差可以看出，因素和交互作用主次为： A×B C A B D A×C 主 次 主 次 由极差知，A×C是次要因素，可不必考虑。A×B、C是重要因素， A是较重要因素，B、D是次重要因素，它们对指标的影响较大，对其 水平的选取按下列原则： （1）不涉及交互作用的因素（或交互作用不考虑的因素）它的水平选平均值中指标较好的水平； （2）有交互作用的因素，它的水平的选取无法单独考虑，需要画出二元表和二元图，进行比较后再选择对指标优先的水平。
A与B间有交互作用，二元表和二元图如下： 70 69 67 65 A1(50℃) A2(70℃) B1＝1小时 B2＝2小时 平均产率 A B A1 A2 B1 B2 (65+74)/2=69.5 (1,2) (70+73)/2=71.5 (5,6) (71+73)/2=72 (3,4) (62+67)/2=64.5 (7,8) 可以看出，A1B2（50℃，2小时）平均产率较高，与A2B1（70℃，1 小时）产率差不多，从提高工效来看，A2B1比用A1B2好，因为时间 可以减少一半。于是得到最好条件为： A2B1C2D2
两点启示： （1）在安排表头时，应使要考虑的交互作用和因素不致发生混杂； （2）对试验结果的数据进行计算后，在优选各个因素的水平时，有交互作用的因素，他们的水平不能单独考虑，必须用二元表和二元图进行综合考虑。
带交互作用正交表的表头设计 4因素2水平试验，交互作用A×B、A×C、A×D、B×C、B×D、C×D都要考虑 表头设计 表头设计 A B A×B C A×C B×C D A×D B×D C×D 列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 表头设计 L16(215)交互作用表P326
L16(215)两列间交互列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 列号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15)
带交互作用正交试验的处理 计算自由度，选择正交表，进行表头设计 计算K，k，R 交互作用两列以上时以极差R最大的为准 交互作用需计算二元表，作出二元图
水平的选取 某因素只有一个交互作用是重要的，不管该因素本身极差大小，都应按二元表和二元图选取； 重要因素和交互作用的水平选择组合有矛盾时，优先照顾更主要的因素； 具体操作时可以进行验证试验进行比较。
eg 1-8 因素(列号) 试验号 A 温度(℃)1 B 时间(分)2 A×B 3 4 试验指标 （得分） 1 -5.1 2 -2.2 0.3 5 6 -0.1 7 1.7 8 0.2 9 0.4 K1 -12.4 -3.1 -5.0 -4.7 -2.0 -1.5 -0.6 K3 2.3 -4.8 -3.4 -4.6 k1 -4.1 1.0 -1.7 -1.6 k2 0.1 -0.7 -0.5 -0.2 0.8 -1.1 R 4.9 0.9 1.2 1.4
A B A 1 A2 A3 B1 -5.1 0.3 1.7 B2 -2.2 0.2 B3 -0.1 0.4 不论 B 取什么水平，总是 A3 好（这是因为因素 A 对指标的影响远超过了交互作用 A×B 的影响）
Eg 1-9 例1-9 抗氧剂“303”的合成试验。 试验目的：抗氧剂“303”是一种高分子量多元阻碍酚，用作橡胶、高溶点润滑油和聚烯烃等的抗氧剂。试验目的是寻求较好的反应条件以提高反应收率。 选因素水平如表1-30 所示。
要考虑的因素有A、B、C、D、E，以及交互作用B×C、B×D，另外D×E 也可以再考虑一下，记为（D×E） 表1-30 因素-水平表 因素 水平 A 原料配比 B 催化剂量 C 加酸温度(℃) D 反应温度(℃) E* 反应时间 1 1:3 1:0.8 -5 短 1.5 1.0 0.5 2 1:4 1:1 20 中 3.0 2.0 3 1:5 1:1.2 10 40 长 4.5 要考虑的因素有A、B、C、D、E，以及交互作用B×C、B×D，另外D×E 也可以再考虑一下，记为（D×E） 自由度应该如何计算？
列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 表头设计 B C B×C (D×E) D B×D A E 按因素、复杂的程度排出次序： B→D→C→E→A 表头设计 列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 表头设计 B C B×C (D×E) D B×D A E 先安排E时表头设计应该是怎样？
(三)交互作用在试验中的地位（参见书28页） 混杂易给结果分析带来干扰，导致规律与实际不符 造成混杂时结论可能不正确，试验效果仍然较好 初试工作不必看重交互作用 若空白列极差比其他所有因素极差都大，说明可能存在不可忽略的交互作用，或未考虑到某重要因素
eg:正交设计法优化柴油机燃烧系统 指标：柴油机功率。七个单因素。柴油机燃烧系统的油气室参数之间存在重要匹配关系, 还考虑三组交互作用。交互作用分别为喷孔数与涡流比、油束夹角与锥台角度、喷油压力与喉口半径, 即油与气、油与室之间的交互作用。
指标：工具体积损耗率 因素：振幅、工具进给速度、转速、工作液中金刚石磨粒粒度以及金刚石质量分数 eg:微晶云母陶瓷加工正交试验 指标：工具体积损耗率 因素：振幅、工具进给速度、转速、工作液中金刚石磨粒粒度以及金刚石质量分数
5 6 2 1 3 4
关于自由度： 正交表的总自由度＝ 正交表每列的自由度＝ 因素的自由度 ＝ 因素A、B间交互作用的自由度fAxB ＝ 试验次数－1 此列水平数－1 因素的水平数－1 fA×fB
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