子群及其陪集
回顾 引言 半群、幺半群、群 群的性质 群方程*
提要 子群的定义及其判定 子群的陪集与划分 拉格朗日定理
子群的定义 设(G, ⃘)是群，H是G的非空子集，如果H关于G中的运算构成群，即(H, ⃘)也是群，则H是G的子群。 例子：偶数加系统是整数加群的子群 平凡子群 (G, ⃘)， ({e}, ⃘) 注意：结合律在G的子集上均成立。 群：封闭 + 结合律 + 单位元 + 逆元
关于子群定义的进一步思考 问题1：eH是否一定是eG? eH eH= eH eH = eG 问题2：ab应该在哪儿？ 群G b a eH a-1H 子群H
子群的判定：判定定理一 G是群，H是G的非空子集。H是G的子群当且仅当： 证明 a,bH, abH, 并且 aH, a-1H （注意：这里a-1是a在G中的逆元，当H确定为群后，它也是a在H中的逆元） 证明 必要性显然 充分性：只须证明G中的单位元也一定在H中，它即是H的单位元素。
子群的判定：判定定理二 G是群，H是G的非空子集。H是G的子群当且仅当： a,bH, ab-1H 证明 必要性易见 充分性： 单位元素：因为H非空，任取aH, e=aa-1H 逆元素： aH, 因为eH, 所以 a-1=ea-1H 封闭性： a,bH, 已证b-1H，所以ab=a(b-1)-1H
子群的判定：判定定理三 G是群，H是G的非空有限子集。H是G的子群当且仅当： a,bH, abH 证明. 必要性显然. 下证充分性，只须证明逆元素性 若H中只含G的单位元，H显然是子群。 否则，任取H中异于单位元的元素a, 考虑序列 a, a2, a3, ... 注意：该序列中各项均为有限集合H中的元素，因此， 必有正整数i, j(j>i), 满足：ai=aj,由消去率有e=aj-i，因 此： a-1=aj-i-1 H
am,anH, am(an)–1 =am-nH, 生成子群 设G是群，aG，构造G的子集H如下： H = {ak | k是整数 } 则H构成G的子群，称为a生成的子群 〈a〉 证明： H非空：a在H中 利用判定定理二： am,anH, am(an)–1 =am-nH,
左(右)陪集 若H是群G的一个子群，a是G中的任意一个元素， 定义：aH = { ah | hH } aH称为H的一个左陪集 由群的封闭性可知，aH也是G的子集 hH. ahH iff aH 相应地可定义右陪集
陪集与划分 设H是群G的子群，则H的所有左陪集构成G的划分 注意：a, b属于同一左陪集 G中任意元素a一定在某个左陪集中：aaH a,bG, aH=bH或者aHbH= 假设aHbH, 即存在caHbH, 令c=ah1=bh2, 则a=bh2h1-1, 从而aHbH， 同理可得： bHaH. 所以 aH=bH 注意：a, b属于同一左陪集 iff abH iff b-1aH Iff1：a属于bH 等价于 存在H中的h使得a=bh 等价于 存在H中的h使得b^{-1}a=h 等价于 b^{-1}a属于H
陪集与划分（续）
例
c-1a=c-1(bb-1)a=(c-1b)(b-1a)H 例 设H是群G的子群，定义G上的二元关系R如下： a,bG, (a,b)R当且仅当b-1aH。证明R是G上的等 价关系，并给出R的等价类。 R是G上的等价关系 自反性：aG, a-1a=e 对称性：注意a-1b= (b-1a)-1 传递性：如果b-1aH, c-1bH, 则 c-1a=c-1(bb-1)a=(c-1b)(b-1a)H [a]R=aH：x[a]R aRx x-1a=hH x=ah-1 aH P11: b^{-1} a 属于H，就等价于a b同属一个左陪集
Lagrange 定理 一般而言，Ha不等于aH，但他们的个数是相等的
Lagrange 定理（续）
Lagrange 定理（续）
Lagrange 定理（续） P9：生成子群
Lagrange 定理（续）
拉格朗日定理的应用 6阶群G必含3阶子群 证明 如果G中有6阶元素a, 则b=aa是3阶元素，因此〈b〉是3阶子群 如果没有3阶元素，即xG, x2=e, 那么x, yG, xy=(yx)2(xy)=yx, 即G是交换群。 因此，易证{e,a,b,ab}构成4阶子群，但4不能整除6，矛盾。 所以G中必含3阶元素a, 即由a生成的子群是3阶子群。 yx也为二阶元素 4阶子群即为klein四元群
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