畢氏定理(商高定理)的證明 張美玲 製作 參考資料：數學的故事(列志佳 簡佩華 黃家鳴 主編 九章出版社) 中國數學五千年(李信明 著) 數學答問集（曾煥華 譯）

何謂畢氏定理 畢氏定理是指直角三角形的斜邊（hypotenuse）的平方等於另兩邊的平方的和 即：股2＋股2＝斜邊2 a2＋b2＝c2

畢氏定理的名稱來源 追索歷史的發展，畢氏定理中的畢氏即指古希臘的畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前580-550年）。他是公元前五六世紀時的古希臘數學家 。 相傳畢達哥拉斯發現這個定理後，宰了100頭牛來慶祝，故「畢氏定理」又稱「百牛定理」。不過對畢氏發現畢氏定理，歷史上其實並無確實的記載。在希臘最早而嚴格的證明是在歐幾里得（Euclid，約公元前330-275年）所編寫的《幾何原本》（Elements）中 。

畢氏定理又稱「商高定理」、「陳子定理」、「勾股定理」 中國以前也叫"畢達哥拉斯定理"。50年代初，曾展開關於這個定理命名問題的討論。有人主張叫做「商高定理」，理由是中國在商高時代(約公元前1100年)已經知道「勾三股四弦五」的關係早於畢達哥拉斯時代，也有人認為3:4:5的關係，僅僅是特例，到陳子才提出了普遍的定理，故應稱為"陳子定理"。後來決定不用人名而稱為"勾股弦定理"，最後確定叫"勾股定理"，因為有勾股就必有弦，故弦字可以省略。

商高定理 《周髀算經》是一部中國最早的數學著作，同時也是一部天文學著作，這部書是用對話的形式寫成的，書中記載公元前1100年西周時，周公和商高的一段對話「……折矩以為勾廣三、股修四、徑隅五。」 ※把一跟直尺折成一個直角，如果短的一段（稱為「勾」）是3，較長的一段（稱為「股」）是4，那麼尺的兩端距離（直角三角形的斜邊----「弦」）便是5

陳子定理 此對話雖已清楚指出勾三、股四、弦五的關係，但是否已掌握普遍的勾股定理，尚未有足夠的證據來確定。 而知道普遍的勾股定理，可算是陳子（約公元前六、七世紀），《周髀算經》上寫了陳子測日的方法： 「若求邪（同斜）至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日……十萬里」

勾股定理 在中國後來決定不用人名而稱為"勾股弦定理"，最後確定叫"勾股定理"，因為有勾股就必有弦，故弦字可以省略。 把一根直尺折成一個直角，短的一段稱為「勾」，較長的一段稱為「股」，尺的兩端距離（直角三角形的斜邊）稱為「弦」 在中國後來決定不用人名而稱為"勾股弦定理"，最後確定叫"勾股定理"，因為有勾股就必有弦，故弦字可以省略。

畢氏定理的最古老證明 在原古巴比侖所在地出土了一塊西元前1000年的泥版(如下圖)，從雕刻的圖案可見至今最古老的「畢達哥拉斯定理」證明。

勾股數 像(3,4,5)這樣的一組能作為直角三角形的邊的正整數,稱為勾股數。如果這組數內除了1以外,沒有其他公因數,就稱為素勾股數(primitive Pythagorean triple)。一塊編號為<普林頓322>的巴比侖泥板 就有勾股數的紀錄。 常用的素勾股數：（3,4,5）（5,12,13）（7,24,25）（8,15,17）

勾股定理的證明 畢氏定理又稱「商高定理」、「陳子定理」、「勾股定理」，是數學上極重要又簡潔的單一定理 古往今來，世界上不同文化、年代的數學家從不同角度來探討或證明，其證明方式有四百多種，是最多證明的數學定理。 茲列舉幾種證明方式：

證法一 動態展示 1.ΔBAF 全等於DAC(SAS) 2.ACGF的面積＝2× ΔBAF的面積＝2× ΔDAC的面積 3. .AMLD的面積＝2×ΔDAC的面積 4.∴ .ACGF的面積＝AMLD的面積 5.同理可證 BCHK的面積＝BMLE的面積 6. ∴.ACGF的面積＋ BCHK的面積＝ABED的面積 即：AC2＋BC2＝AB2 動態展示

證法二 左下圖的兩個大正方形面積相等 同時減掉四個相同的直角三角形 即：弦2＝勾2＋股2

證法三 即a2－2ab＋b2＋2ab＝c2 ∴a2＋b2＝c2 在中國，最先明確證明勾股定理的是漢朝數學家趙君卿，他在注《周髀算經》中，用4個同樣大小的直角三角形，將他們拼成左邊的圖形，再用代數式來證明商高定理 大正方形的面積＝4個直角三角形＋1個小正方形 即a2－2ab＋b2＋2ab＝c2 ∴a2＋b2＝c2

證法四 劉徽注文：「勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不動也，合成弦方之羃。」 他是用以盈補虛的方法，用不同的顏色來標記有關的圖形。 動態展示 劉徽注＜九章算術＞裡的商高定理 證明

證法五 動態展示 1.作EL平行BA，CI平行BJ，JM平行BC 2.平行四邊形ABEL的面積＝平行四邊形JBCM的面積 3.平行四邊形ABEL的面積＝正方形BCDE的面積 4.平行四邊形JBCM的面積＝長方形JBHI的面積 5.∴正方形BCDE的面積＝長方形JBHI的面積 6.同理可證 正方形ACFG的面積＝長方形AHIK的面積 7. ∴.正方形BCDE的面積＋正方形ACFG的面積＝正方形ABJK的面積 動態展示

證法六 此證明是印度的數學家巴斯卡拉（公元1114-1185年）所做的，他把左上方兩個圖畫在一起，而只說一聲「看！」 後人再畫出左下方兩個圖，便明瞭此為畢氏定理的證明。

證法七 這是中國的梅文鼎(1633-1721年)及日本的建部賢弘(1664-1721年)所做的證明 △AED順時針旋轉90度可重疊於△EFH △ABC逆時針旋轉90度可重疊於△FCG 動態展示

證法八 即c2＋2ab＝a2＋2ab＋b2 ∴a2＋b2＝c2 《周髀算經》中的弦圖亦含有左邊的圖形，可用現在的代數式來證明商高定理 大正方形的面積＝4個直角三角形＋1個小正方形 即c2＋2ab＝a2＋2ab＋b2 ∴a2＋b2＝c2

證法九 ∴a2＋b2＝c2 這是美國第二十屆總統加菲爾德在擔任共和黨議員時所提出的證明。當時他還調皮的說：此證明得到兩黨議員“一致贊同” 梯形面積等於三個直角三角形面積和 ∵(a＋b) ×(a＋b) ÷2＝a×b÷2×2＋c2÷2 (a＋b)2＝2ab＋c2 a2＋2ab＋b2＝2ab＋c2 ∴a2＋b2＝c2

證法十 拼圖法 在大野真一著的『畢氏定理』引用適當剪寫在兩股上的正方形，用他們填充寫在斜邊上的正方形

大野真一的拼圖法

大野真一的拼圖法

開普洛(17世紀德國科學家)曾說：幾何學有兩個寶藏,一個是勾股定理,一個是黃金分割。 數學就是這麼一門奇妙的學問，遠至四千年前巴比侖人已懂得畢氏定理，深信在往後的日子裡，人類依然學習畢氏定理，仍會為這文化瑰寶的美麗 、和諧性質而激賞，一代又一代，永無止息的傳下去、發展下去， 結束放映

歐幾里德的幾何原本所給的 畢氏定理證明 回上頁

劉徽的青出朱入圖 回上頁

歐幾里德的幾何原本所給的 畢氏定理另一證明 回上頁

梅文鼎的勾股定理證明 回上頁