初等矩阵 定义:对单位阵进行一次初等变换后得到的 矩阵称为初等矩阵。 三种初等行变换得到的初等矩阵分别为:

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初等矩阵 定义:对单位阵进行一次初等变换后得到的 矩阵称为初等矩阵。 三种初等行变换得到的初等矩阵分别为:

对单位阵作一次列变换得到的矩阵也包括在上面的三类矩阵之中。

初等矩阵的性质 1.

初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵. 2. 初等矩阵都是非奇异的. 初等矩阵与初等变换的关系 先看一个例子

行变换相当于左乘初等矩阵; 列变换相当于右乘初等矩阵.

例:求矩阵的标准形并用初等矩阵表示初等变换。 可以验证

=?

逆矩阵 定义:对n阶方阵A,若有n阶矩阵B, 使AB=BA=E,则称B为A的逆矩阵, 称A为可逆的。

A的逆记为: (1)逆阵惟一。 设B,C都是A的逆,则 B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C (2)并非每个方阵都可逆。 例如 就不可逆。 这是不可 能的。故 A不可逆。 要解决的问题: 1.方阵满足什么条件时可逆? 2.可逆时,逆阵怎样求?

伴随矩阵 伴随矩阵 ?? 代数余子式的顺序! 例:求二阶A矩阵的伴随矩阵. 你记住 了吗?

一个很重 要的式子

定理:n阶方阵A可逆的充要条件是 证: 牢记这个定理

例1. 解: 例 2. 证: 同理证其它两式。

这说明初等矩阵的逆阵仍为同类型的初等矩阵。 ——这是初等矩阵的第三个性质。 练习:求逆阵 ?? ? 的逆怎样求?

逆阵的性质 背过这些公式!

逆阵的求法 方法一: 初等变换法。 方法二:

Ex

方法三:用定义求。 猜:

方法四:用定义证明B为A的逆。

逆阵的应用——求解矩阵方程

求解矩阵方程时,一定要记住:先化简,再求解。