第三章 时域分析法 第六节 控制系统的稳态误差分析 一、给定信号作用下的稳态误差 二、扰动信号作用下的稳态误差 三、改善系统稳态精度的方法

一、给定信号作用下的稳态误差 及误差系数 对应于υ为0、1、2的系统，分别称为0型、I型和II型系统。 essr=lim er(t) 第六节 控制系统的稳态误差分析 一、给定信号作用下的稳态误差 及误差系数 _ H(s) G1(s) G2(s) R(s) C(s) + D(s) E(s) B(s) 对应于υ为0、1、2的系统，分别称为0型、I型和II型系统。 essr=lim er(t) t→∞ s→0 =lim s·Er(s) 根据终值定理得: 控制系统的 典型结构 输入信号表示为: R(s) 1+G(s)H(s) s→0 =lim s· 下面分别讨论不同输入信号作用下系统的稳态误差。 R(s)= A s N 系统误差： 输入信号阶次 开环传递函数表示为: 稳态误差可表示为： e(t)=r(t)-b(t) 稳态误差： ess=lim e(t) t→∞ essr=lim s A s K 1+ s→0 υ N m G(s)H(s)= s j=1 υ Π(Tjs+1) n- KΠ( i=1 τ is+1) 开环增益 R(s)作用时 设D(s)=0 n≥m Er(s)= R(s) 1+G1(s)G2(s)H(s) = R(s) 1+G(s)H(s) 积分环节个数 时间常数 系统的稳态误差与N、A、K、υ有关。

1．静态位置误差系数Kp 设 设静态位置误差系数: R(s)= R0 s Kp=lim G(s)H(s) essr=lim s· 第六节 控制系统的稳态误差分析 1．静态位置误差系数Kp 设 r(t)=R0 1(t) 设静态位置误差系数: R(s)= R0 s Kp=lim G(s)H(s) s→0 essr=lim s· 1+G(s)H(s) s→0 R0 s K s =lim υ s→0 1+limG(s)H(s) s→0 R0 = = R0 1+Kp υ=0 essr= R0 1+K Kp=K G(s)H(s)= s j=1 υ Π(Tjs+1) n- m KΠ( i=1 τ is+1) υ≥1 Kp=∞ essr=0

阶跃输入时不同型别系统响应曲线 (a)υ= 0 (b)υ≥ 1 r(t) t c(t) r(t) t c(t) ess=0 r(t) ess 第六节 控制系统的稳态误差分析 阶跃输入时不同型别系统响应曲线 (a)υ= 0 (b)υ≥ 1 r(t) t c(t) r(t) t c(t) ess=0 r(t) ess r(t) c(t) c(t) essr= R0 1+K essr=0

2．静态速度误差系数Kυ υ υ υ υ υ 设 r(t)= 0 t 设静态速度误差系数: R(s)= s2 υ 第六节 控制系统的稳态误差分析 2．静态速度误差系数Kυ 设 r(t)= υ 0 t 设静态速度误差系数: R(s)= s2 υ υ K =lim sG(s)H(s) s→0 essr=lim s· 1+G(s)H(s) s→0 2 s υ -1 K s =lim υ s→0 lim sG(s)H(s) s→0 = υ υ = K 可得： essr=∞ υ=0 K υ=0 G(s)H(s)= s j=1 υ Π(Tjs+1) n- m KΠ( i=1 τ is+1) essr= K υ υ=1 K υ=K υ≥ 2 K υ=∞ essr=0

υ 斜坡输入时不同型别系统响应曲线 (a)υ= 0 (b)υ= 1 t ess t ess essr= K essr=∞ ess t 第六节 控制系统的稳态误差分析 斜坡输入时不同型别系统响应曲线 (a)υ= 0 (b)υ= 1 r(t) t c(t) ess r(t) t c(t) ess r(t) r(t) c(t) c(t) essr= K υ essr=∞ ess r(t) t c(t) c(t) r(t) (c)υ≥ 2 essr=0

3．静态加速度误差系数Ka r(t)= 1 2 a0t2 设 设静态加速度误差系数 R(s)= s3 a0 第六节 控制系统的稳态误差分析 3．静态加速度误差系数Ka r(t)= 1 2 a0t2 设 设静态加速度误差系数 R(s)= s3 a0 Ka=lim s2G(s)H(s) s→0 a0 essr=lim s· 1+G(s)H(s) s→0 3 s -2 K s =lim υ s→0 可得： a0 lim s2G(s)H(s) s→0 = a0 Ka = υ≤1 Ka=0 essr=∞ essr= K a0 G(s)H(s)= s j=1 υ Π(Tjs+1) n- m KΠ( i=1 τ is+1) υ=2 Ka=K υ≥ 3 Ka=∞ essr=0

抛物输入时不同型别系统响应曲线 (a)υ≤1 (b)υ= 2 r(t) ess r(t) ess c(t) c(t) r(t) r(t) 第六节 控制系统的稳态误差分析 抛物输入时不同型别系统响应曲线 (a)υ≤1 (b)υ= 2 r(t) t c(t) ess r(t) t c(t) ess r(t) r(t) c(t) c(t) essr= K a0 essr=∞

根据前面的分析可得出典型结构的系统，稳态误差与系统输入和型号的关系为： 第六节 控制系统的稳态误差分析 根据前面的分析可得出典型结构的系统，稳态误差与系统输入和型号的关系为： R(s) υ s2 υ s3 a0 R0 s R0 1+K 0型 ∞ ∞ K υ ∞ I型 K a0 II型 输入的阶次越高，稳态误差越大。系统的型号越高，稳态误差越小。

积分环节消除误差的原理： I型系统： II型系统： e(t) t e(t) t r(t) t r(t) t r(t) t c(t) t e(t) t I型系统： r(t) t r(t) t r(t) t c(t) t c(t) t c(t) t 1 s - R(s) E(s) C(s) e(t) t e(t) t e(t) t II型系统： r(t) t r(t) t r(t) t c(t) t c(t) t c(t) t - R(s) E(s) 1 s C(s)

例 已知系统的结构如图所示。求系统 的稳态误差。 1 R(s)= + s s2 解： 开环传递函数为 - 5 100×0.5 第六节 控制系统的稳态误差分析 例 已知系统的结构如图所示。求系统 的稳态误差。 + R(s)= s 1 s2 解： 开环传递函数为 0.5 100 s(s+10) - R(s) C(s) G(s)H(s)= 100×0.5 s(s+10) s(0.1s+1) 5 = R(s)= s 1 s2 1 R(s)= ess1=0 ess2=0.2 Kp=lim G(s)H(s) s→0 υ K =lim sG(s)H(s) s→0 =lim s→0 s(0.1s+1) 5 =lim s→0 s(0.1s+1) 5 s =∞ =5 essr=ess1+ess2 =0.2

例 位置随动系统的稳态误差分析。 解： (1) 典型随动系统 开环传递函数为 K s(Tms+1) G(s)= θ r(s)= s 1 第六节 控制系统的稳态误差分析 例 位置随动系统的稳态误差分析。 解： (1) 典型随动系统 K s(Tms+1) - θ r(s) c(s) 开环传递函数为 K s(Tms+1) G(s)= θ r(s)= s 1 essr=0 当输入信号 Kp=∞ s2 θ r(s)= 1 essr= K 1 当输入信号 K υ=K

τ ess=limsE(s) τ τ τ= (2) 随动系统前加入比例微分环节 系统为非典型结构,闭环传递函数 Ф(s)= 第六节 控制系统的稳态误差分析 (2) 随动系统前加入比例微分环节 K s(Tms+1) - θ r(s) c(s) τ s+1 系统为非典型结构,闭环传递函数 Ф(s)= Tms2 +s+K K( τ s+1) E(s)= θ r(s)- c(s) = θ r(s)[1- ] Tms2 +s+K K( τ s+1) s2 θ r(s)= 1 当输入信号 ess=limsE(s) s→0 = Tms2 +s+K Tms2 +s+K-K-K τ s θ r(s) Tms2 +s+K Tms2+s-K τ s 1 =lims s→0 × s2 = K 1-K τ τ= K 1 essr=0

τ (3) 前向通道中加入比例微分环节 s) K(1+ s(Tms+1) G(s)= 开环传递函数为 θ r(s)= s 1 当输入信号 第六节 控制系统的稳态误差分析 (3) 前向通道中加入比例微分环节 K s(Tms+1) - θ r(s) c(s) τ s+1 s) τ K(1+ s(Tms+1) G(s)= 开环传递函数为 θ r(s)= s 1 当输入信号 Kp=∞ essr=0 essr= K 1 s2 θ r(s)= 1 当输入信号 K υ=K 开环零点对稳态误差没有影响

二、扰动信号作用下的稳态误差 R(s)=0 D(s)作用下的系统结构图 Ed(s)= -G2(s)H(s) 1+G1(s)G2(s)H(s) 第六节 控制系统的稳态误差分析 二、扰动信号作用下的稳态误差 R(s)=0 D(s)作用下的系统结构图 + D(s) G1(s) G2(s) -H(s) E(s) Ed(s)= -G2(s)H(s) 1+G1(s)G2(s)H(s) ·D(s) essd= lim s -G2(s)H(s)D(s) 1+G1(s)G2(s)H(s) s→0

例 已知系统的传递函数， 求系统的稳态 误差。 r(t)=2t d(t)=0.51(t) G1(s)= s+5 10 s(3s+1) 5 第六节 控制系统的稳态误差分析 例 已知系统的传递函数， 求系统的稳态 误差。 r(t)=2t d(t)=0.51(t) G1(s)= s+5 10 s(3s+1) 5 G2(s)= s(0.2s+1)(3s+1) s(3s+1) 1+ 20 5×2 s 0.5 s→0 =lim s - · H(s)=2/s =-0.25 解： 系统的开环传递函数为 G1(s)G2(s)H(s)= 50×2 s(s+5)(3s+1) s(0.2s+1)(3s+1) 20 = ess=essr+essd =0.1-0.25=-0.15 R(s)= s2 2 2 essr= K υ 2 K = 2 20 = =0.1 essd= lim s -G2(s)H(s)D(s) 1+G1(s)G2(s)H(s) s→0 D(s)= 0.5 s

第六节 控制系统的稳态误差分析 三、改善系统稳态精度的方法 增加积分环节可提高系统精度等级，增加放大系数可减小有限误差。采用补偿的方法，则可在保证系统稳定的前提下减小稳态误差。

1．引入输入补偿 输入补偿复 合控制系统 系统的稳态误差: E(s)=R(s)-C(s) =R(s)-R(s) 1+G1(s)G2(s) 第六节 控制系统的稳态误差分析 1．引入输入补偿 Gc(s) R(s)Gc(s) 输入补偿复 合控制系统 R(s) - + C(s) E(s) G2(s) G1(s) 系统的稳态误差: E(s)=R(s)-C(s) =R(s)-R(s) 1+G1(s)G2(s) G1(s)G2(s) -R(s)Gc(s) 1+G1(s)G2(s) G2(s) =R(s)[1- 1+G1(s)G2(s) ] G1(s)G2(s)+G2(s)Gc(s) G2(s) Gc(s)= 1 = 1+G1(s)G2(s) 1-Gc(s)G2(s) ·R(s) 1-Gc(s)G2(s)=0 E(s)=0

2．引入扰动补偿 扰动补偿复合控制系统 R(s)=0 E(s)=-C(s) 1+G1(s)G2(s) =-[ G2(s) D(s) 第六节 控制系统的稳态误差分析 2．引入扰动补偿 D(s)Gc(s) D(s) Gc(s) 扰动补偿复合控制系统 R(s) - C(s) + E(s) G1(s) G2(s) R(s)=0 E(s)=-C(s) 1+G1(s)G2(s) =-[ G2(s) D(s) Gc(s)D(s)] 1+G1(s)G2(s) G1(s)G2(s) + 1+G1(s)G2(s) G2(s)[1+Gc(s)G1(s)]D(s) =- 1+Gc(s)G1(s)=0 G1(s) Gc(s)=- 1 即 E(s)=0

第六节 控制系统的稳态误差分析 第三章　总 结 时域法分析系统的性能主要是通过求系统的单位阶跃响应和系统的性能指标。时域分析法是一种直观的、高精度的分析方法。系统性能的分析过程： 系统数学 模型 代数判据 判断系统 稳定性 根据 n ω ζ 、 求系统的单 位阶跃响应 稳 快 ts tp tr σ% 动态指标 求系统的 性能指标 ess 准 稳态指标

t) e 主要内容 一、系统的单位阶跃响应 1.一阶系统 c(t)=1-e-t/T c(t)=A1+A2es1t+A3es2t 2.二阶系统 第六节 控制系统的稳态误差分析 主要内容 一、系统的单位阶跃响应 1.一阶系统 c(t)=1-e-t/T c(t)=A1+A2es1t+A3es2t 2.二阶系统 ζ>1 n ω c(t)=1- e - t (1+ t) ζ=1 c(t)=1- t+ ) e ζ ωnt - 2 1- d ω sin( β ζ<1 ζ=0 n ω c(t)=1-cos t

e 二、系统的性能指标 ts=3T 1.一阶系统 ts=4T 2.二阶系统 T1= s1 -1 ζ≥１ |s1|<|s2| 第六节 控制系统的稳态误差分析 二、系统的性能指标 ts=3T (±5%) 1.一阶系统 ts=4T (±2%) 2.二阶系统 T1= s1 -1 ζ≥１ |s1|<|s2| ts=3T1 (±5%) ts=4T1 (±2%) tr= d ω π β - tp= d ω π σ%= e - ζ π 1- 2 100% ζ<1 ts ζ 3 ω n = ts ζ 4 ω n = (±5%) (±2%)

三、二阶系统的性能改善 Φ(s)= ω n ζ s2+(2 + 2 ) ( τ s+1 )s+ 1.比例微分控制 ζ↑ ts↓ σ%↓ Φ(s)= ω n ζ s2+(2 + 2 τ )s+ 2.微分反馈控制 σ%↓ ess↓ ζ↑ Φ(s)= ω n ζ s2+2 2 ) ( τ s+1 s+ 3.闭环零点控制 ess↓ tr↓ σ%↑

根据闭环传递函数特征方程式的各项系数判断稳定性． 第六节 控制系统的稳态误差分析 四、控制系统的稳定性分析 1.系统稳定的充分与必要条件 系统所有特征根的实部小于零。 2.劳斯稳定判据 根据闭环传递函数特征方程式的各项系数判断稳定性． a0sn +a1sn-1 + …+an-1s+an=0 3.结构不稳定系统的改进 积分环节加反馈 加比例微分控制

五、控制系统的稳态误差分析 1.给定信号作用下的稳态误差 essr R(s) 1+G(s)H(s) =lim s· 2.静态误差系数 第六节 控制系统的稳态误差分析 五、控制系统的稳态误差分析 1.给定信号作用下的稳态误差 essr R(s) 1+G(s)H(s) s→0 =lim s· 2.静态误差系数 Kp=lim G(s)H(s) s→0 υ K =lim sG(s)H(s) s→0 Ka=lim s2G(s)H(s) s→0 3.扰动信号作用下的稳态误差 essd= lim s -G2(s)H(s)D(s) 1+G1(s)G2(s)H(s) s→0 引入输入补偿 4.提高稳态精度的方法 引入扰动补偿

第六节 控制系统的稳态误差分析 3-16 (1) (2) (3) 作业习题： 3-19 3-17 返回