均值不等式
引例 如果a,b∈R, 那么a2+b2≥2ab, 当且仅当a=b时, 等号成立. 证明: (1)作差法 a2 + b2 – 2ab = ( a – b )2 当 a≠ b时, (a – b)2 > 0 ; 当a=b时, (a – b)2 =0 所以( a – b )2≥0, 即 a2 + b2≥2ab (2) 数形结合 在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边的长为a 、b，那么正方形的边长为 .这样，4个直角三角形的面积和小于正方形ABCD的面积,故得 a2+b2≥2ab. 当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有 a2+b2=2ab A B C D E F G H a b
定理 如果a,b是正数, 那么 证明: (1)换元法 分别用 代替引例中的a,b, 即可得 (2)作差法 (3)分析法 要证 ① 只要证 ② 要证②,只要证 ③ 要证③,只要证 ④ 显然,④是成立的.当且仅当a=b时, ④中的等号成立.
如图, AB是圆的直径, 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD. (4)数形结合 如图, AB是圆的直径, 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD. 易证Rt△ACD∽Rt△DCB,则 D A B a C b E 而这个圆的半径为 , 显然会大于或等于CD, 即 其中当且仅当点C与圆心重合,即a=b时, 等号成立.
基本不等式 如果a,b都是正数，则 当且仅当a=b时等号成立 其中 称为正数a,b的算术平均数 称为正数a,b的几何平均数 所以基本不等式也称为均值不等式
另为从数列的角度来看，可以把 看作是正数a,b 这样基本不等式又可以叙述为： 两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项．
2.这两个不等式都是带有等号的不等式． 对于“当且仅当a=b时，等号成立．”这句话应从两方 面来理解： (1)当a=b时，等号成立．其含义为：如果a=b， 那么 (2)仅当a=b时，等号成立．其含义为： 如果 ，那么a=b． 综合起来，“当且仅当a=b时，等号成立．”其含义是： a=b等价于
应用基本不等式求最值 口决：“一正二定三相等” 练习 1. x>0 , 当 x 取什么值时, 的值最小?最小值是多少? 解: 因为x >0 , 所以 当且仅当 时, 即x =1时取等号, 所以当 x =1时, 的值最小, 最小值为2. 变式 x <0 , 当 x 取什么值时, 的值最大? 最大值是多少?
变式 x <0 , 当 x 取什么值时, 的值最大? 最大值是多少?
例 已知x,y都是正数, 求证: (1)如果积 xy 是定值P,那么当x =y时,和 x+y有最小值 (2)如果和 x+y是定值S,那么当x =y时,积 xy 有最大值 证明:∵x, y都是正数, ∴ (1)积xy为定值P时, 有 上式当x=y时取”=”号, 因此,当x=y时,和x+y有最小值 (1)和x+y为定值S时, 有 上式当x=y时取”=”号, 因此,当x=y时,积xy有最大值
题1 (1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园, 问这个矩形的长、宽各为多少时, 所用篱笆最短. 最短的篱笆是多少? 解: (1)设矩形菜园的长为 x m, 宽为y m, 则 xy=100, 篱笆的长为 2(x+y)m. (2)设矩形菜园的长为 x m,宽为 y m, 则 2(x+y)=36, x+y =18,矩形菜园的面积为 xy m2.
题2 某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池, 其容积为4800m3, 深为3m
基本不等式的推广
设AC=a,CB=b 设AC=a,CB=b