教学建议 学习目标 § 6.1 矩阵的概念 § 6.2 矩阵运算 § 6.3 矩阵的初等行变换与矩阵的秩 § 6.4 线性方程组的消元解法 第六章 矩阵与线性方程组 § 6.1 矩阵的概念 § 6.2 矩阵运算 § 6.3 矩阵的初等行变换与矩阵的秩 § 6.4 线性方程组的消元解法

§6.2 矩阵运算 一. 矩阵的加法 二. 数乘矩阵 三. 矩阵的乘法

一. 矩阵的加法 A和矩阵B给定: A B 某种物资(单位:t)从三个产地运往四个城市销售, 2013年第一、第二季度的供应方案分别由矩阵 一. 矩阵的加法 案 例 1 某种物资(单位:t)从三个产地运往四个城市销售, 2013年第一、第二季度的供应方案分别由矩阵 A和矩阵B给定: 同型矩阵 A B 问这两个季度三个产地运往四个城市的供应量各是多少? 表示第一季度由第二个产地运往第个城市的供应量 表示第二季度由第二个产地运往第个城市的供应量 矩阵A的 元记作 矩阵B的 元记作 (未完待续)

A B =A+B C 案例1 分析 相加 表示两个季度第二个产地 运往第三个城市的供应量 因此,矩阵A与矩阵B对应位置的元相加,即用矩阵 (完) C =A+B 便可以表示三个产地两个季度(第一和第二季度)运往四个城市的供应量情况.

矩阵的加法 B A A+B 设有两个m×n矩阵 同型矩阵 m×n m×n 将它们的对应元相加所得到的m×n矩阵,称为矩阵A与矩阵B 即 A+B

练习1 已知两个2×3矩阵 A B A+B 则

矩阵加法 具有性质: A + B = B + A ; ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ; A + O = A . 设矩阵A、B、C和O是同型矩阵, 由于两个矩阵相加就是矩阵的对应元相加,由数字 相加所具有的性质可直接验证矩阵加法具有下述性质: A + B = B + A ; (1)交换律 ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ; (2)结合律 A + O = A . (3)

A m×n 负矩阵 若把矩阵 中的各元变号,则得到矩阵 m×n 称为矩阵A的负矩阵, 记作－A,即若 A -A m×n 则

练习2 B A A－B 设甲、乙两个蔬菜基地分别向Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个城市 供应蔬菜(单位:t), 若全年的供应情况用矩阵A表示,前三 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅰ Ⅱ Ⅲ 同型矩阵 , B A 求第四个季度的供应情况. 解 第四季度的供应情况应是矩阵A减去矩阵B,即 (完) A－B Ⅰ Ⅱ Ⅲ

二. 数乘矩阵 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ A 某产品从甲、乙两个产地运往Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ四个 案例2 二. 数乘矩阵 某产品从甲、乙两个产地运往Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ四个 销地,若每吨产品每千米的运费为100元,运输里程表为下表, 试用矩阵表示从两个产地运往四个地区的运费各为每吨多少元? 案例2分析 里程 (km) 销地 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 运输里程(km) 用矩阵可表示为 产地 甲 550 350 500 350 乙 330 650 700 400 A 由于每吨产品每千米运费为100元,所以, 所以,从甲地到第Ⅱ个销地的运费(元/吨)为 表示甲地到第Ⅱ个销地的里程 即100 100×350, (未完待续)

Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ A 100A 案例2 分析(续) 若每吨产品每千米的运费为100元, 里程 销地 产地 甲 550 350 500 350 (km) 销地 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 产地 A 甲 550 350 500 350 乙 330 650 700 400 从两个产地到四个销地的运费,若用矩阵表示,可写成如下形式: (完) 为了简单,可记作 100A

数乘矩阵 用数k乘矩阵 m×n A 中的每一个元所得 m×n kA 到的矩阵，称为数k与矩阵A的乘积，记作 m×n 即 kA

例如,已知矩阵 A 则数3与矩阵A的乘积, 记作3A,为 3A

数乘矩阵 具有性质: k ( A + B )= k A + k B ; ( k + l ) A= k A + l A ; 定义,可以直接验证数与矩阵相乘具有下述性质: (1)分配律 k ( A + B )= k A + k B ; ( k + l ) A= k A + l A ; k ( l A ) = ( k l ) A ; (2)结合律 1A = A , (3) 0A = O .

练习3 A B 3A 3A－2B 2B , , 设两个3×2矩阵A和B分别为 求3A－2B. 解 先做矩阵的数乘运算3A和2B, 法运算. 因为 , 所以 3A 3A－2B . , 2B (完)

练习4 B X= (B－A). B－A X= (B－A) , , 且A+2X=B, 已知矩阵 A 求矩阵X. 解 由A+2X=B, 得 因为 (完)

三. 矩阵的乘法 A B 某公司采购员到三个装修超市去购买红、黄两种 颜料.三个超市颜料的价格(百元/桶)可用矩阵A表示为 三. 矩阵的乘法 案例3 某公司采购员到三个装修超市去购买红、黄两种 颜料.三个超市颜料的价格(百元/桶)可用矩阵A表示为 红 黄 在每个超市购买两种颜料的 超市一 数量(桶)可用矩阵B表示为 A 3×2 超市二 红 黄 B 2×1 超市三 求在各个超市购买红、黄两种颜料所消费的金额. 依题设,所求金额为 (未完待续) 案例3 分析 超市一 10×6＋15×8＝180(百元); 超市二 12×6＋13×8＝176(百元); 超市三 8×6＋14×8＝160(百元).

B A C 案例3 分析(续) 2×1 3×2 10×6＋15×8＝180(百元); 该消费金额若用矩阵表示,并记作 , 有 红 黄 红 黄 超市一 B 2×1 A 3×2 超市二 超市三 超市一 10×6＋15×8＝180(百元); 该消费金额若用矩阵表示,并记作 , 有 超市二 12×6＋13×8＝176(百元); 超市三 8×6＋14×8＝160(百元). C 3×1 (完)

A B C 这种矩阵的运算称为矩阵的乘法运算.下面来看该运算的要点: 1.矩阵 3×2 2×1 的列数(2列)与矩阵 的行数 3×1 2.所求得的矩阵 是3×1矩阵,其行数恰是矩阵A 的行数,其列数恰是矩阵B的列数,这是矩阵A与矩阵B相乘的结 果.矩阵A与矩阵B相乘记作AB,即AB=C; 3.矩阵C中的元 恰是矩阵A的第 i 行与矩阵B的第 j 列(此 处B只有一列)相对应的元乘积之和.如 即 这是矩阵A与矩阵B进行乘法运算的过程.

矩阵 A是 B是 乘法 A B m×n矩阵,即 C 设 m×s 矩阵, s×n 矩阵, 即 m×s s×n 矩阵A与矩阵B的乘积,记作AB,若令AB=C,则C是一个 m×n矩阵,即 m×n C

A第 i 行上的元 + B + A B第 j 列上的元 (i=1, 2, …, m； j=1,2, …, n) 矩阵C的第i 行第j 列的元是矩阵A的第i 行与矩阵B的第 j 列 的对应元乘积之和 即 (i=1, 2, …, m； j=1,2, …, n)

练习5 A B AB是 3×2 矩阵,且 AB 求乘积AB, 已知 并问BA是否有意义? 由于A的列数 2 与B的行 解 数 2 相同,乘积AB有意义,又 因为A的行数是 3 , B的列数是 2 ,所以, AB是 3×2 矩阵,且 AB 因为矩阵B的列数2与矩阵A的行 数3不相等,故乘积BA无意义. (完)

A 练习6 B AB是 3×3 矩阵,且 AB 求乘积AB和BA. 已知 由于A的列数 2 与B的行 数 2 相同,乘积AB有意义, 解 (未完待续) AB

练习6 (续解) A B BA是 2×2 矩阵,且 BA 结论 AB≠BA 求乘积AB和BA. 已知 由于B的列数 3 解 与 A的行 (完)

A B 练习7 已知 求乘积AB和BA. 解 AB BA AB≠BA 结论 不能推出 AB=O A=O 或 B=O. (完)

练习8 A B C AB AC AB=AC推不出B=C. 已知 求乘积AB和AC. 解 本练习中,B≠C,且A≠O, 但AB=AC. 这说明矩阵 的乘法不满足 消去律: 不能在矩阵等式两边 都 AC 削去同一个矩阵,即由 AB=AC推不出B=C. (完)

练习9 A AI 结论 AI=IA=A IA 求乘积AI和IA. 已知 解 由于A有3列,为了使乘积AI有意义,必须用三阶单位矩阵I 3 2 左乘A,即 AI=IA=A IA (完)

矩阵乘法 具有性质: ( A B ) C = A ( B C ) ; k ( A B )=( k A ) B= A( k B) ; 矩阵乘法(假设运算可以进行)具有下述性质: 设k为数, A、B可乘, 则 (1)结合律 ( A B ) C = A ( B C ) ; k ( A B )=( k A ) B= A( k B) ; (2)分配律 A ( B +C )= A B + A C ; ( B + C ) A = B A + C A.

C B 练习10 A 求 A(2B－3C). 已知 解法1 因 2B－3C (未完待续) 故 A(2B－3C)

练习10 求 A(2B－3C). 已知 A B C 解法2 因 2AB 故 3AC (未完待续)

练习10 A(2B－3C). A(2B－3C) 2AB 3AC A(2B－3C) =2AB－3AC 求 解法1 (结果) 解法2 (续解) 因 故 A(2B－3C) =2AB－3AC (完 )

练习11 由矩阵乘法 用矩阵形式表示线性方程组 解 根据矩阵相等的概念, 所给线性方程组可用矩阵 等式表 示为 (未完待续) 所给线性方程组可用矩阵表示为

练习11 所给线性方程组可用矩阵表示为 系数矩阵 记 常数项矩阵 b X A 未知量矩阵 则所给方程组可用矩阵表示为 AX=b (完)

一般地,对n个未知量m个方程的线性方程组 系数矩阵 记 A X b 未知量矩阵 常数项矩阵 (未完待续)

系数矩阵 未知量矩阵 常数项矩阵 X b A A b 增广矩阵 A ～ (完)