微积分 (Calculus) 2019/4/27

微积分（Calculus）简介 微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支 。它是高等数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学主要包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论，它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论；积分学包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 2019/4/27

微积分（Calculus）的创立 从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。 牛顿在1666年写了《流数简论》，当时虽未正式发表，但在同事中传阅。 《流数简论》是历史上第一篇系统的微积分文献。 1684年，莱布尼茨发表了《一种求极大极小值和求切线的新方法》。这是数学史上第一篇正式发表的微积分文献。 2019/4/27

《微积分》知识体系逻辑结构： 相互依赖关系的函数，研究的工具是极限。 微积分研究的对象是变量以及反映变量之间 相互依赖关系的函数，研究的工具是极限。 利用数学定量分析已成为经济学整个理论体系中的重要组成部分。例如：极限在连续复利问题中的应用、导数在边际和弹性经济变量中的应用、积分在消费者剩余和求总函数中的运用。 更为重要的是：经济学依靠边际方法与思想来进行决策，依靠各种形式的数学模型来推导经济学的基本理论。 《微积分》知识体系逻辑结构： 2019/4/27

导数 微分 级 数 穷 无 重积分 多元 微分 不定 积分 函数极限 函 数 函数性质 反函数 初等函数 分段函数 定积分 中值定理导数应用 方程 导数 微分 不定 积分 函数极限 函 数 函数性质 反函数 初等函数 分段函数 2019/4/27

第一章 函数 §1.1 函数及其性质 §1.2 经济函数介绍 2019/4/27

§1.1 函数及其性质 一、区间与邻域 1、区间：设 a、b都是实数，且a<b （1）以a、b为端点的开区间，记作（a,b）, 即 2019/4/27

（3）以a、b为端点的半开半闭区间，记作(a,b]或[a,b) ,即 以上三类区间为有限区间 有限区间的长度为 除此之外，还有下面几类无限区间： 2019/4/27

（ （4） [ （5） （6） ） ] （7） （8） 即全体实数的集合R 2019/4/27

2、邻域 d + x 2019/4/27

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二、函数的概念 定义1：已知变量 与变量 ，当变量 在非空集合 内任取一个确定的值时，变量 按照一定的对应规则 有唯一确定的值与之对应，则称 是 的函数，记为 其中变量 称为自变量，它的取值范围 称为函数的定义域；变量 称为因变量，它的取值范围称为函数的值域，用 表示，“ ”称为对应规则（或函数关系）. 2019/4/27

函数概念的两个要素 1、函数定义域的求法：（不考虑实际意义） 求定义域 的准则： （1）分式的分母不为零; （2）负数不能开偶次方; 定义域 对应关系 1、函数定义域的求法：（不考虑实际意义） 求定义域 的准则： （1）分式的分母不为零; （2）负数不能开偶次方; 2019/4/27

; 1 arccos arcsin ) 5 ( csc cot 2 sec tan 4 3 £ = Î ¹ + x y z k ， 和反余弦函数 对于反正弦函数 ； 对于 ）对于 （ 零 的正数，真数必须大于 ）对数的底是非 p (6) 若上述若干种情况同时出现在同一个函数表达 式中,则各自变量取值范围的公共部分(即交集)为函 数的定义域. 2019/4/27

例1 求函数 的定义域 解：由题意知： 公共部分为： 即定义域： 2019/4/27

要使不等式组有解，即定义域D不为空集，同时题设 例2 解：由题意知： 要使不等式组有解，即定义域D不为空集，同时题设 此时， 的取值范围是： 2019/4/27

例3 ? 解: 2019/4/27

通常求D都是指求函数的自然定义域(即不考虑 实际意义,只要函数式有意义的自变量的取值范围), 写函数式时D也常不注明；如果函数的定义域不是它 的自然定义域，则其定义域必须与函数式一同写出， 不可省略. 如： 2019/4/27

2、函数值、对应关系的求法 （1）函数值的求法： 例4 当自变量 取某一值 时，函数 对应的值称为函数 在 = 处的函数值，记为 ,即 当自变量 取某一值 时，函数 对应的值称为函数 在 = 处的函数值，记为 ,即 例4 2019/4/27

解: 2019/4/27

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（2）对应关系的求法：换元法，凑变量法. 例5 解一: 2019/4/27

解二: 2019/4/27

例6 已知 2019/4/27

3、两个函数相同 如果两个函数的定义域和对应规则相同， 则称这两个函数是相同的函数，否则它们为 不同的函数. 例7 判断下列各对函数是否相同： 2019/4/27

解: 2019/4/27

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4、函数的表示方法 列表法 图示法 公式法 2019/4/27

三、函数的一些几何特性 1、函数的奇偶性 定义2 2019/4/27

注意 偶函数的图形关于y轴对称， 奇函数的图形关于原点对称. 奇函数和偶函数仅仅是函数中的一类特殊 的函数，多数情形下，函数并不具有奇偶性. 一般地函数按奇偶性分类可为: 奇函数、偶函数、非奇非偶函数. 2019/4/27

判断函数奇偶性的步骤： 2019/4/27

例8 判断下列函数的奇偶性 2019/4/27

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任意一个定义在 内的函数 都可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和. 任意一个定义在 内的函数 都可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和. 证: 令 2019/4/27

2、函数的周期性 定义3 注意 如果这样的正数有多个，则周期T 取其中最小的. 2019/4/27

3、函数的有界性 定义4 2019/4/27

注意 2019/4/27

4、函数的单调性 定义5 2019/4/27

单调增加函数与单调减少函数统称为单调函数； 单调增加区间与单调减少区间统称为单调区间. 注意 2019/4/27

单调增加时函数的图形沿x轴正方向逐渐上升 I x y=f(x) f(x1) f(x2) x1 x2 y 单调减少时函数的图象沿x轴正方向逐渐下降 I x f(x1) f(x2) x1 x2 y 2019/4/27

例9 2019/4/27

四、反函数 定义6 2019/4/27

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反函数存在定理 定理1 定理2 注意 函数单调只是反函数存在的充分条件，并非必要条件，即非单调函数也可以存在反函数. 单增（减）时函数的反函数也必定是单增（减）的. 2019/4/27 （P10例1-11）

思考 2019/4/27

五、初等函数 常量函数 幂函数 指数函数 1、基本初等函数 对数函数 三角函数 反三角函数 2019/4/27

（1）常量函数 （ 为常数） 它的定义域是 ，图形为平行于 轴，截距为 的直线. （2）幂函数 （ 为任意常数） （1）常量函数 （ 为常数） 它的定义域是 ，图形为平行于 轴，截距为 的直线. （2）幂函数 （ 为任意常数） 它的定义域随 而异，但不论 为何值，它在 内总有定义,且图形都经过（1,1）点. x y y=c y x (1,1) 2019/4/27

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（3）指数函数 它的定义域 ，值域 , 图形通过 点，且总在 轴上方. 当 时，函数单调增加. 当 时，函数单调减少. 它的定义域 ，值域 , 图形通过 点，且总在 轴上方. 当 时，函数单调增加. 当 时，函数单调减少. x y e是无理数e=2.71828…

（4）对数函数 它的定义域为（0,+∞），图形都通过 （1，0）点，且总在y轴的右方. （4）对数函数 它的定义域为（0,+∞），图形都通过 （1，0）点，且总在y轴的右方. 当 时，函数单调增加. 当 时，函数单调减少. 对数函数与指数函数 互为反函数. x y (1,0) (a>1) (0<a<1) y=logax 2019/4/27

常用的三角函数有y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx （5）三角函数 常用的三角函数有y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx y=sinx与y=cosx的定义域为（-∞,+∞），且都是以2π 为周期的周期函数,值域为[-1,1], 都是 有界函数. y=sinx为奇函数，y=cosx为偶函数 y=cosx的图象 y=sinx的图象 2019/4/27

y=tanx的图象 2019/4/27

y=cotx的图象 另外，还有两个三角函数 2019/4/27

（6）反三角函数 三角函数在定义域内不是一一对应的， 因此三角函数在定义域内不存在反函数. 如果在定义域内选取一个区间I，使三角函 2019/4/27

因此，y=sinx在 上存在 反函数x=arcsiny，改写y=arcsinx 一一对应. 因此，y=sinx在 上存在 反函数x=arcsiny，改写y=arcsinx 以上为y=sinx在 上图象 称为反正弦函数，其定义域为[-1，1]，值域为 ， 是单调增加函数. y=arcsinx的图象

同理， y=arccosx 是y=cosx x∈ [0,π]上的反函数称为反余弦函数, 定义域 [-1,1], 值域 [0,π], 是单调减少函数. y=arctanx是y=tanx x∈ 的反函数称为反正切函数,定义域为 ,值域 是单调增加函数. y=arccosx图象 y=arctanx图象 2019/4/27

由反三角函数的知识可得，y=arcsinx和y=arctanx为奇函数. y=arccotx是y=cotx x∈ (0,π)内的反函数称为反余切函数,定义域 (-∞,+∞), 值域是（0,π）, 是单调减少函数. y=arccotx图象 由反三角函数的知识可得，y=arcsinx和y=arctanx为奇函数. y=arccosx和y=arccotx为非奇非偶函数，所有的反三角函数均为有界函数 2019/4/27

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复合函数就是在一定条件下将一个函数代入另一个函数得到的新函数.因此不是任意两个函数都能构成复合函数. 2.复合函数 定义7 复合函数就是在一定条件下将一个函数代入另一个函数得到的新函数.因此不是任意两个函数都能构成复合函数. 注意 例如: 2019/4/27

例9 设 复合函数可以复合多次,即在一定条件下可由多个中间变量复合而成. 利用复合函数的概念，可以将一个复合函数看成是由几个简单函数复合而成，即复合函数可以分解成几个简单函数，简单函数是指基本初等函数和有理整函数（多项式函数）. 2019/4/27

例10 解: 2019/4/27

3.初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算 或有限次复合所得到的，且可以用一 个公式表示的函数统称为初等函数. 例11 2019/4/27

解: 本课程讨论的函数绝大多数是初等函数. 2019/4/27

练一练 解 答 2019/4/27

六 、 分段函数 注意 分段函数一般不是初等函数. 2019/4/27

例12 设分段函数 解: 2019/4/27

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思考： 证明： 2019/4/27

§1.2 经济函数介绍 一、需求函数 2019/4/27

注意 由于需求量随价格增加而减少， 所以需求函数是单调减少的. 二、供给函数 2019/4/27

三、市场均衡 当某商品的需求量等于供给量时，我们称该商品处于市场均衡状态，此时的价格称为该商品的均衡价格，此时的需求量（供给量）称为该商品的均衡量. 商品的均衡量和均衡价格相当于需求曲线和供给曲线交点的坐标. 如图(见下页) 一般来说，市场均衡表示此时的需求量、 供给量、产量、销量均相等，因而市场均衡 又称为供求平衡或产销平衡. 2019/4/27

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四、总成本函数 2019/4/27

注意 平均成本函数一般不是单调函数. 2019/4/27

例1 解: 2019/4/27

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五、收益函数 收益函数：生产者出售一定数量的产品所得 到的全部收入. 它是销量与价格的乘积 注 2019/4/27

例2 解: 2019/4/27

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六、总利润函数 由经济理论知：利润=收益-成本 2019/4/27

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例3 解: 2019/4/27

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七、库存函数：全年存货成本与批量的 函数关系 2019/4/27

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例5 解: 2019/4/27

作业 先看书 再做练习 P17: 练习1.1: T6. P22：练习1.2：T3. 2019/4/27