第二节 拉氏变换解线性微分方程 一、拉氏变换的定义 二、常用函数的拉氏变换 三、 拉氏变换的定理 四、拉氏反变换 第二章　自动控制系统的数学模型 第二节 拉氏变换解线性微分方程 一、拉氏变换的定义 二、常用函数的拉氏变换 三、 拉氏变换的定理 四、拉氏反变换 五、用拉氏变换解线性微分方程 上一目录

工程实践中常采用拉氏变换法求解线性常微分方程。 第一节 控制系统的微分方程 工程实践中常采用拉氏变换法求解线性常微分方程。 拉氏变换法求解微分方程的基本思路： 时域t 复数域s 拉氏变换 线性微分方程 代数方程 求解 拉氏反变换 微分方程的解 代数方程的解

(3) ∫ f(t)e <∞ 一、拉氏变换的定义 如果有一函数满足下列条件： (1) t <0 时 f(t)=0 第一节 控制系统的微分方程 一、拉氏变换的定义 如果有一函数满足下列条件： (1) t <0 时 f(t)=0 (2) t≥0 时 f(t)是分段连续的 (3) ∫ f(t)e <∞ -st ∞ f(t)的拉氏变换为： f(t)e-stdt F(s)= ∞ ∫ 记作 F(s)=L[f(t)] 拉氏反变换为： f(t)=L-1[F(s)]

二、常用函数的拉氏变换 1. 单位阶跃函数I(t) t t = s 1 I(t)e-stdt F(s)= ∫ 2. 单位脉冲函数δ(t) δ 第一节 控制系统的微分方程 二、常用函数的拉氏变换 1. 单位阶跃函数I(t) f(t) t f(t) t = s 1 I(t)e-stdt F(s)= ∞ ∫ 1 2. 单位脉冲函数δ(t) δ (t)e-stdt F(s)= ∞ ∫ =1 f(t) t t f(t) 3. 单位斜坡函数t = s2 1 te-stdt F(s)= ∞ ∫ 4. 正弦函数sinωt = s2+ ω ω2 ωte-stdt F(s)= ∞ ∫ sin

5. 余弦函数cosωt = s2+ s ω2 ωte-stdt F(s)= ∫ cos t 6. 指数函数e-at = 1 s+a 第一节 控制系统的微分方程 5. 余弦函数cosωt = s2+ s ω2 ωte-stdt F(s)= ∞ ∫ cos f(t) t 6. 指数函数e-at 1 = 1 s+a e-ate-stdt F(s)= ∞ ∫ t2 1 2 7. 抛物函数 f(t) t 1 2 t2e-stdt F(s)= ∞ ∫ = s3 1

例 求正弦函数f(t)=sinωt的拉氏变换． 第一节 控制系统的微分方程 三、拉氏变换的定理 1. 线性定理 L[af1(t)+bf2(t)] =aF1(s)+bF2(s) 例 求正弦函数f(t)=sinωt的拉氏变换． 2j e sin ωt ω t = j -j -e 解： L[sin 2j 1 s-j [ - ] s+j ωt]= ω = s2 +ω2 ω 2. 微分定理 L[ df(t) dt ] =sF(s)-f(0) L[ d2f(t) dt2 ] =s2F(s)-sf(0)-f'(0)

例 求阶跃函数f(t)=I(t)的拉氏变换． d[t] dt =I(t) L[t]= s2 1 解： 已知 第一节 控制系统的微分方程 例 求阶跃函数f(t)=I(t)的拉氏变换． d[t] dt =I(t) L[t]= s2 1 解： 已知 L[I(t)]= L( d[t] dt ) =s s2 1 -0 = 1 s 3. 积分定理 = 1 s F(s)+ f-1(0) L[ ∫ f(t)dt] 4. 延迟定理 L[ f(t- τ )] - =e F(s) τ s 例 求f(t)= t- τ的拉氏变换。 f(t) t t t- τ F(s)=L[t]e - τ s = s2 1 e - τ s 解： τ

5. 位移定理 L[e-atf(t)]=F(s+a) 例 求f(t)=e sinωt的拉氏变换． ω 解： F(s)= (s+a)2+ ω2 第一节 控制系统的微分方程 5. 位移定理 L[e-atf(t)]=F(s+a) 例 求f(t)=e sinωt的拉氏变换． -at F(s)= (s+a)2+ ω ω2 解： 6. 初值定理 Lim f(t)=lim sF(s) s→∞ t→0 7. 终值定理 Lim f(t)=lim sF(s) t→∞ s→0

课堂练习题： 求下列函数的拉氏变换 f(t)=e-4t cos12t f(t)=t2+3t+2 2-2(1,4) 作业习题： 第一节 控制系统的微分方程 课堂练习题： 求下列函数的拉氏变换 cos12t f(t)=e-4t f(t)=t2+3t+2 作业习题： 2-2(1,4)

b0sm+b1sm-1+···+bm-1s+bm a0 sn+a1sn-1+···+an-1s+an 第一节 控制系统的微分方程 四、拉氏反变换 求解过程 象函数的一般表达式： F(s)= b0sm+b1sm-1+···+bm-1s+bm a0 sn+a1sn-1+···+an-1s+an K(s-z1)(s-z2)···(s-zm) (s-p1)(s-p2)···(s-pn) = 零点 因式分解 极点 = s-p1 A1 + s-p2 A2 +···+ s-pn An 转换为 待定系数 p1t f(t)=A1e p2t +A2e pnt Ane +···+ 则 部分分式法求拉氏反变换

部分分式法待定系数的确定 1. 不相等实数极点 A(s) (s-p1)(s-p2)···(s-pn) F(s)= 分解为 F(s) = 第一节 控制系统的微分方程 部分分式法待定系数的确定 1. 不相等实数极点 A(s) (s-p1)(s-p2)···(s-pn) F(s)= 分解为 F(s) = s-p1 A1 + s-p2 A2 +···+ s-pn An (s-p1 ) ( ) (s-p1 ) s=p1 s=p1 s-p1 A1 + s-p2 A2 +···+ s-pn An (s-p1 ) =[ ] s=p1 A1=F(s)(s-p1) s-=p1 则 同理 A2=F(s)(s-p2) s=p2 ┇ An=F(s)(s-pn) s=pn

s2+4s+3 F(s)= s2+5s+5 例 求拉氏反变换． (s+1)(s+3) F(s)= s2+5s+5 解： =1+ + s+1 第一节 控制系统的微分方程 s2+4s+3 F(s)= s2+5s+5 例 求拉氏反变换． (s+1)(s+3) F(s)= s2+5s+5 解： =1+ + s+1 A1 s+3 A2 (s+1)(s+3) =1+ s+2 s=-1 A1= (s+1)(s+3) (s+2) (s+1) 2 1 = s=-3 A2= (s+1)(s+3) (s+2) (s+3) 2 1 = 2 1 f(t)= e-t+ δ (t)+ e-3t

2. 复数极点 p1 ,p2 共轭 复数极点 A(s) (s-p1)(s -p2)···(s-pn) F(s)= F(s) 第一节 控制系统的微分方程 2. 复数极点 p1 ,p2 共轭 复数极点 A(s) (s-p1)(s -p2)···(s-pn) F(s)= F(s) (s-p1 )(s-p2 ) 分解为 s=p1 = (s-p1 )(s-p2 ) A1 s+A2 + s-p3 A3 +···+ s-pn An [ ] (s-p1)(s-p2) s=p1 F(s)(s-p1)(s-p2) =(A1s+A2) s=p1 得 复数方程可求得待定系数A1 ,A2 。

s(s2+9) F(s)= s+1 例 求拉氏反变换． A1s+A2 + s (s2+9) F(s)= A3 -s/9+1 + s 第一节 控制系统的微分方程 s(s2+9) F(s)= s+1 例 求拉氏反变换． A1s+A2 + s (s2+9) F(s)= A3 -s/9+1 + s (s2+9) = 1/9 解： =A1s+A2 s=j3 F(s)(s2+9) s s+1 =A1s+A2 s=j3 j3 j3+1 =j3A1+A2 1 9 A3= 1 9 A1= - j3+1=-9A1+j3A2 A2=1 s/9 - s (s2+9) F(s)= 1/9 1 + 1 3 9 - f(t)= sin3t cos3t+

第一节 控制系统的微分方程 课堂练习题： 求下列函数的拉氏反变换 F(s)= s(s+1) 1 F(s)= s(s2+4) s+6

(s-p1)r(s-pr+1)···(s-pn) F(s)= 有r个重 极点 第一节 控制系统的微分方程 3. 重极点 A(s) (s-p1)r(s-pr+1)···(s-pn) F(s)= 有r个重 　极点 分解为 = (s-p1 )r A1 + s-pr+1 Ar+1 +···+ s-pn An (s-p1 )r-1 A2 s-p1 Ar dr-1[F(s)(s-p1 )r] Ar= s=p1 1 ( (r-1)! dsr-1 ) 下面举例说明

(s+2) F(s)= s(s+1)2(s+3) 例 求拉氏反变换． 解： F(s)= + s+1 A1 s+3 A2 (s+1)2 s 第一节 控制系统的微分方程 (s+2) F(s)= s(s+1)2(s+3) 例 求拉氏反变换． 解： F(s)= + s+1 A1 s+3 A2 (s+1)2 s A3 A4 分解为 按不相等实数极点确定A1 ,A3 ,A4 得： -1 2 A1= 2 3 A3= 1 12 A4= -3 4 A2= d2-1[F(s)(s-p1 )2] A2= s=p1 1 ( (2-1)! ds2-1 ) 将各待定系数代入上式得： + - 4 3 f(t)= e -t 2 -3t 12 1 d[ = s=-1 ds ] (s+2) s(s+3) -3 4 = 2-3(1,2) 作业习题：

s2C(s)-sc(0)-c'(0)+3sC(s)-3c(0)+2C(s) = 20 s 20 s +5s+30 = 第一节 控制系统的微分方程 五．用拉氏变换解线性微分方程 +2c (t)=r(t) +3 d2c(t) dt2 dc(t) dt 例 求微分方程的解 r(t)=201(t) c(0)=5 c'(0)=15 解： (1) 将微分方程拉氏变换 s2C(s)-sc(0)-c'(0)+3sC(s)-3c(0)+2C(s) = 20 s 20 s +5s+30 = C(s)(s2+3s+2) s(s2+3s+2) C(s)= 5s2+30s+20 s(s+1)(s+2) = 5s2+30s+20 (2) 解代数方程 -10e c(t)=10+5e -t -2t (3) 求拉氏反变换 s + C(s)= s+1 A1 s+2 A2 A3 s + = s+1 10 s+2 5 -10

s2C(s)+2sC(s)+2C(s)=R(s) R(s)=1 第一节 控制系统的微分方程 例 已知系统微分方程，求系统的输出响应。 +2c(t)=r(t) +2 d2c(t) dt2 dc(t) dt c(0)=c'(0)=0 r(t)=δ(t) 解： 将方程两边求拉氏变换得： s2C(s)+2sC(s)+2C(s)=R(s) R(s)=1 C(s)= s2+2s+2 1 = (s+1)2+1 1 c(t)=e-tsint t c(t) 输出响应曲线 c(t) r(t)

课堂练习题： 解下列微分方程 c(0)=c'(0)=0 +3c(t)=I(t) +4 d2c(t) dt2 dc(t) dt 作业习题： 第一节 控制系统的微分方程 课堂练习题： 解下列微分方程 c(0)=c'(0)=0 +3c(t)=I(t) +4 d2c(t) dt2 dc(t) dt 作业习题： 2-4(1) 返回