5-s-05能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。（同5-n-16） 五年級面積教材分析g 面積 5-s-05能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。（同5-n-16） 報告人:陳敏慧

簡報大綱 面積單元學習理論基礎 面積單元學生迷思概念 國小幾何課程內涵 面積單元教材內容

面積單元學習理論基礎 van Hiele的幾何思考層次 皮亞傑的學習理論 訊息處理理論 學習概念表徵

van Hiele的幾何思考層次 演繹 分析 視覺化 嚴密性 非形式演繹 van Hiele的幾何思考層次階層圖 演繹系統的分析 性質的演繹系統 性質間的關係 演繹 非形式演繹 形體的性質 分析 形體的分類 形體 視覺化 van Hiele的幾何思考層次階層圖

皮亞傑的學習理論 基模與同化 面積保留概念 同一論證 可逆性論證 補償作用

口述文字、印刷文字、圖片在雙通道內的運作方式 訊息處理學習理論 口述文字、印刷文字、圖片在雙通道內的運作方式 工作記憶 感官記憶 多媒體呈現方式 長期記憶 口述 選擇 組織 文字 聽覺 聲音 語言 形式 先備知識 印刷/字幕 選擇 組織 圖片 圖像 視覺 影像 圖像 形式 新知識 約1～2秒 約30秒內 (Richart E. Mayer, 2008)

概念表徵 靜態圖像 Static Pictures 數字符號 Written Symbols 語言文字 Spoken Language 生活情境 Real Scripts 操作模型 Manipulative Models 概念表徵 各種概念表徵及內部轉換 可幫助形成新概念。 Lesh, R.& ZAWOJEWSKI, J.S.(1988)

面積概念學習的困境與解決策略 迷思概念的探討 周長與面積產生混淆的迷思概念 面積計算的迷思概念 直觀產生的迷思 單位轉換產生的迷思 估測能力不足的迷思

周長與面積產生混淆的迷思概念 周長相等的兩個圖形，這兩個圖形的面積也必定相等（Dembo & Levin, 1997；許秀蕊，2006）。 邊長放大三倍面積也放大三倍（陳雯貞，2005；陳薇羽，2005）。 利用單位方瓦去覆蓋圖形時，方瓦（單位量）的各邊長縮短一半，與邊長維持原樣的方瓦測量面積所得的結果，會被認定為因方瓦的邊長縮成一半，所需要的單位數就會變成2倍（王選發，2002；許秀蕊，2006）。 面積越大，周長也會越大（許秀蕊，2006）。 對於同底等高的三角形，認為兩腰的邊長較長，三角形的面積較大（王選發，2002）。 面積、周長計算時的混淆（陳光勳、譚寧君，2001；楊美惠，2002）。 將「邊長×4」當作正方形的面積，也有少數將「長×寬」當做長方形的周長（戴政吉，2001）。 誤認「公分×公分＝平方公分」（王勝弘，2002）。

面積計算的迷思概念之一 面積定義的偏誤 圖形內部完整而且有填滿的圖形，才有面積（楊美惠，2002；陳光勳、譚寧君，2001）。 具有規則的圖形，能計算出面積的圖形才算有面積（陳光勳、譚寧君，2001；王選發，2002；楊美惠，2002）。 誤認有底、有高的圖形才有面積，或是有長度、有角度的圖形才有面積（陳鉪逸，1997）。

面積計算的迷思概念之二 公式的不理解 只要題目中出現與面積相關的概念，他們算式中就會出現兩個數相乘，不管算法是否合理（戴政吉，2001；許嵐婷，2003；蘇琬淳，2004；許秀蕊，2006）。 面積一定要套一個公式來完成求法（王選發，2002；楊美惠，2002；陳光勳、譚寧君，2001）。 面積公式的意義不了解，造成公式誤用，提供多餘的訊息，更容易被混淆例如：命一個求梯形面積的圖形題，卻故意給梯形中兩腰的邊長，造成學童使用「長×寬」代替「底×高」（譚寧君，1995，1998）。 圖形要正擺且高在鉛直線上或水平線上才能求面積（許嵐婷，2003）。 面積的高一定在圖形的內部或鉛直線上出現（王選發，2002）。 三角形公式為「底×高÷2」，計算時卻忘了除2，導致計算錯誤（譚寧君，1998）。 知道圓面積的公式是「半徑×半徑×3.14」，但卻不知道圓面積指的是圓內部區域的大小（譚寧君，1995，1998）。

直觀產生的迷思之一 視覺產生的迷思 面積大小會用「視覺」策略以高度或寬度來猜 測，無法做有根據判斷的比較（戴政吉2001；許嵐婷，2003；蘇琬淳，2004）。 學童在畫與原來圖形相同面積的圖形時，會以原來圖形的高度（圖形縱向的長度）為主要的依據（戴政吉，2001）。 圖形切割後重新組合，與原來圖形不同，面積被認定成不同（等積異形）（楊美惠，2002；許秀蕊，2006）。

直觀產生的迷思之二 誤解面積的定義 「面積」，一定是平平的平面，才算是面積，不是平面的不能成為面積（曲面），所以非平面的區域沒有面積（陳光勳、譚寧君，2001；楊美惠，2002；王選發，2002）。 立體的東西沒有面積，只有體積，實體的東西有面積必須壓扁（平），才有面積（楊美惠，2002）。

直觀產生的迷思之三 點數產生的迷思 測量底或高時，將線段的分割點做點數，當做線段的長度（陳鉪逸，1996）。

單位轉換產生的迷思 自訂單位量切割圖形以面積大小時，在切割單位量忽略選取的單位量，僅以切割的單位數來比較（王選發，2002；許秀蕊，2006）。 自訂單位切割時，忽略要選取相同的單位量（王選發，2002）。 作面積切割時，不能自訂合適的單位量來進行面積的切割、覆蓋，僅用視覺做判斷，及對單位量的分割感到困難（譚寧君，1998）。 對於單位格非平方公分為單位，也會將1格視為1平方公分計（陳建誠，1998；許嵐婷，2003；譚寧君，1998；王選發，2002；許秀蕊，2006）。 誤認1平方公尺等於100平方公分（陳建誠，1998；楊美惠，2002；陳光勳、譚寧君，2001；許嵐亭2003）。 3平方公尺誤認為「邊長3公尺的正方形大小」（陳建誠，1996）。

估測能力不足的迷思 對於「公分」、「公尺」的量感不足，無法利用「平方公分」、「平方公尺」的單位量做相關面積的估測（戴政吉，2001）。 估算時，未提供單位量的實物作為估算單位，學童無法做估算（戴政吉，2002）。 對於單位面積的量感不足，估測困難（陳鉪逸，1996；楊美惠，2002；蘇琬淳，2004）。

迷失概念小結

能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形 與梯形的面積公式。 5-n-16 5-s-05 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形 與梯形的面積公式。 三角形公式為底×高÷2卻忘了除2，導致計算錯誤。 同底等高的三角形，兩腰的邊長比較長，三角形的面積比較大。 面積一定要套一個公式來完成求法。 圖形的高一定要在圖形內部或鉛直線上出現。 認為圖形要正擺且高在鉛直線上或是在水平線上才有面積。 認為有高、有底的圖形才有面積，或是有角度、有長度的圖形才有面積。

國小幾何課程內涵 平面圖形: 1.圖形外觀的辨識 2.形狀的構成要素 3.平面圖形元素間的關係與繪製 4.圖形性質的探究與應用

面積單元教材內容 能力指標的解說 平行四邊形面積求法與公式 三角形面積求法與公式

能力指標的解說 5-n-16能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。（同5-s-05） 切割重組與簡單幾何圖形的性質，來推導這些圖 形的面積公式。 三角形的面積公式＝（底×高）÷2。 平行四邊形面積公式＝底×高。 梯形面積公式＝（上底＋下底）×高÷2。

3-s-06能透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形。 本細目的另一重點為練習平面圖形的簡單切割，如將一個長方形切割成兩個三角形，再組合成一個平行四邊形。這可以讓學童同時學習平面的全等操作、面積的保留概念與分數。

1-s-04能依給定圖示，將簡單形體作平面舖設與立體堆疊。 本細目的目標在體驗空間感與全等操作，可整合成一教學活動。 給定的圖示可為圖卡或實物，透過拼圖與堆積木等活動，讓學童進行平移、翻轉、重疊、比對……等全等操作的練習。

平行四邊形面積求法與公式 將平行四邊形分割、拼湊變成長方形的經驗，引出長方形的面積公式。 認識平行四邊形的底和高，導出平行四邊形的面積公式。 理解平行四邊形底上的高有無線多條且長度相等。 指定平行四邊形的任何一邊為底，能畫出相對應的高。

三角形面積求法與公式 複製一個與原三角形全等的三角形，拼成一個平行四邊形，得到此三角形的面積，為此平行四邊形面積的一半。 可經由切割拼湊變成長方形等方式，發展三角形的面積公式。 體會三角形面積公式中「底」和「高」的意義。 指定三角形的任何一邊為底，能畫出相對應的高。

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