第六章 静定桁架的内力分析

第一节 概述 1、理想桁架 理想桁架的假定： 桁架中所有的结点均为理想铰，即光滑无摩擦铰接； (1) 桁架中所有的结点均为理想铰，即光滑无摩擦铰接； (2) 桁架中所有杆的杆轴绝对平直，且通过其两端铰的中心； 荷载和支座均在铰结点上，即桁架上所有外力为结点力。 (3)

理想桁架中的所有杆均是二力杆 理想桁架计算得出的内力（轴力）叫主内力，相应的应力叫主应力。而由于与理想假定偏差而产生的附加内力叫次内力，相应的应力叫次应力。

  2、桁架的各部分名称和分类 斜腹杆 竖腹杆 上弦杆 桁高 返回 下弦杆 节间长度 跨度

1)根据桁架的几何组成分类： 简单桁架： 见图6-1-1 联合桁架： 复杂桁架： (b)复杂桁架 (a)联合桁架

2)根据桁架外形的几何形状分为： 三角形桁架、平行弦桁架、梯形桁架、折线形桁架、抛物线形桁架等。 3)根据桁架支座反力的特点分为： 梁式桁架、拱式桁架（有推力横加）。

3、内力计算方法： 静定桁架的内力计算基本方法分为： 结点法 截面法 实际应用一般是这两种基本方法的灵活选择、联合应用。 在同一坐标中，桁架杆的轴力及投影与杆长及投影有比例关系如下：见图6-1-3

(6-1-1简称： 力与杆长比例式) 图6-1-3 规定 桁架杆轴力以受拉为正。

第二节 桁架内力计算的结点法 1、结点法： 每次取一个结点为隔离体，利用结点平衡条件，求解杆轴力的方法。

例6-2-1 返回 用结点法计算图(a)所示静定桁架。 (a) (b)

解： 要点是 对于简单桁架，可以用结点法求出全部杆件的轴力。 按拆二元体的顺序，依次取结点（每次截断两根未计算的杆件）为隔离体，可不解联立方程。

对本例，用结点法计算如下： 结点A： 见图(c) (c)

(a) (b)

利用比例式(6-1-1)时，结点A的受力图见图(d)，

将斜杆中的待求轴力FNAG用X、Y方向的两个分力FXAG、FYAG代替，计算如下： 由比例关系，得： (a) (b)

结点E：见图(e) (e) (c) (d)

结点G：见图(f) (f)

当两个待求轴力杆都为斜杆时，若要不使结点的两个平衡方程耦联，只要 将直角坐标的一个坐标轴与其中的一个杆轴重合，先建立另一个坐标轴的投影方程即可。

(e) (f)

见图(g) 结点的两个平衡方程有时可以写成力矩的形式。

将力系中的某力沿其作用线上滑移到任一点分解，不影响原力系的平衡状态。 据此，将三根斜杆的轴力，均在各杆相对G点的另一端点处分解。由于此时两个竖向未知力分量在一条竖直线上，可由C、D两点分别为矩心的力矩方程求出两个水平未知力分量。计算如下：

(f)

(e) 结点C：见图(h) (h)

结点D：见图(i) (i)

该结点上的各杆轴力已有前各步计算得出，在此用于校核。用图(j)表示桁架内力计算的最终结果。

  2、结点法的特殊情况 单杆概念 在桁架计算所取的隔离体（结点法中的结点，或截面法中的桁架的一部分）所截断的杆件中，若有一根杆件的位置或方向独立于其它杆件，使该杆的轴力可由该隔离体独立确定，则这个杆件就叫做该隔离体的单杆。

在桁架的内力计算中，利用单杆的概念，先确定出单杆的内力，不仅简捷计算过程，有时是解题的关键路径。 结点单杆的情况： (b) (a) 图6-2-1

例6-2-2 解： 当结点上无荷载作用时，结点上单杆轴力等于零，称为零杆。 先判断图(a)、(b)两图所示桁架中的零杆，然后再说明用结点法计算余下各杆轴力的次序。 解： 图(a)，桁架中的零杆如图(a)右虚线所示。然后可分别由结点D、C计算余

(a) 返回 图(b)，桁架中的零杆如图(b)右虚线所示。然后求支座反力，再依次取结点计算余下各杆轴力。次序可为：A、D、C或 B、C、D，或分别A、B再D或再C。

(b) 返回

例6-2-3 分析图(a)所示静定桁架，试找出用结点法计算时的简单途径。

思路和做法如下： 1） 上部结构是对称的，只有一个水平支座约束不对称，是该桁架的两个特点。一般可利用对称性简化计算过程。 由结构整体在水平方向上的平衡条件，可确定出水平支座反力，见图(b)。

2） (b) 根据叠加原理，可将图(b)示出的已知外力分解成正对称和反对称两组外力后，分别作用在结构上，见图(c)、(d)所示。

(c) (d) 返回 返回

3） 内力分析和解题路径： 图(c)： 在正对称荷载下，桁架应具有正对称的内力分布，即在桁架的对称轴两侧的对称位置上的杆件，应有大小相等、性质相同（拉或压相同）的轴力。 考查结点K，见图(e)

(e) 返回 结点上两斜杆的轴力应满足大小相等、性质相反（一拉一压）。这是K形结点(根据结点的形状，又叫K形结点)上两斜杆在其结点上无结点荷载情况下的典型内力特点。

图(d)： 在反对称荷载下，桁架应具有反对称的内力分布，即在桁架的对称轴两侧的对称位置上的杆件，应有大小相等、性质相反的轴力。 考查结点E：见图(f) (f)

1、截面法：用一个假想的截面，将桁架截成两部分，取其任一部分为隔离体，建立该隔离体的平衡方程，求解杆轴力的方法。 第三节 桁架内力计算的截面法 1、截面法：用一个假想的截面，将桁架截成两部分，取其任一部分为隔离体，建立该隔离体的平衡方程，求解杆轴力的方法。

截面法所截开的杆件中，轴力未知的杆件一般不应超过三根，这样可不解联立方程。 仍以上一节例6-2-1为例，见图6-3-1。 (a)

用截面I—I截开桁架第二节间的三根杆，取左侧部分为隔离体。然后，分别以截断的三根杆中的两两杆的交点为矩心，建立两个力矩平衡方程，再由一个投影方程，可不解联立方程，求出该截面上的三杆的轴力。 (b) 返回

参照图(b)计算如下： 见图(b)，未知杆力在隔离体上的一般表示。 由几何关系得： 代入上式，

见图(c)有时利用未知杆力在隔离体上的分力表示，可避免求斜杆力臂的麻烦。

对于联合桁架，若要求计算出全部杆的轴力，用截面法求简单桁架之间的约束力，是必经之路，也是关键步骤。

例6-3-1试对图(a)所示桁架，1)分析并确定求解整个桁架内力的路径；2)寻找只计算杆a轴力时的简捷方法，并求出杆a轴力

解： 1）求整个桁架内力的一般步骤是，先求出支座反力，见图(b) (b)

利用截面I—I截开两简单桁架的连接处，取截面任一侧为隔离体，见图(c)

2) 方法1： 见图(d) ，由结点H的结点单杆EH上的轴力，再由结点E（当杆EH轴力已知时，杆a既是结点E上的结点单杆）可求出杆a的轴力。

(d)

方法2： 取截面II—II下为隔离体，见图(e) (e)

该隔离体上有5根被截断的杆件，但有4根是交于一点A的，因此利用以铰A为矩心的力矩方程，可直接求出杆a的轴力。 将杆a轴力在B点分解，由

截面法的特殊情况 2. 截面法单杆分两种情况，即在截面上截断的全部杆件中， 1) 除了一根单杆外，其它杆全部交于一点； 2) 除了一根单杆外，其它杆杆轴均相互平行。 见图6-3-2所示

(a) (b) 图6-3-2

例6-3-2 (a)

解： 1)由上部结构的整体平衡条件，求的支座反力如图(b)所示。 (b)

2)取截面I—I右，可求该截面上的单杆AK的轴力（当不利用结构的对称性时，这一步是解题的关键）。计算如下：

2)依次取结点，计算指定杆轴力： 结点A： 图(d) (d)

结点J 图(e) (e) 利用该结点的对称性，且由水平方向的投影方程得： (a)

再取截面II—II右侧，见图(f)，以O点为矩心，列力矩方程： (b)

既有梁式杆又有桁架杆的结构称作组合结构。见图6-4-1所示。 第四节 组合结构的内力分析 既有梁式杆又有桁架杆的结构称作组合结构。见图6-4-1所示。

图6-4-1

组合结构内力计算的一般途径是： 先计算桁架杆，再计算梁式杆。

例6-4-1 计算图(a)所示组合结构，求出二力杆中的轴力，并作梁式杆的弯矩图。 (a)

解： 1) 计算支座反力 见图(b) (b)

2) 取截面I—I右侧，计算杆DE的轴力和铰C处的约束力，见图(e)。

3)求余下二力杆中的轴力 取结点E，计算结果见图(c) (c)

其中斜杆EB（AD）的轴力： 4)作弯矩图 见图(f)，圆括号内的数值为轴力，单位：kN；弯矩单位：kNm。

(f)