2.1 随机过程的基本概念 2.2 平稳随机过程 2.4 高斯过程 2.5 窄带随机过程 2.6 随机过程通过线性系统 第二章 随机信号分析 2.1 随机过程的基本概念 2.2 平稳随机过程 2.4 高斯过程 2.5 窄带随机过程 2.6 随机过程通过线性系统

2.1 随机过程的基本概念 随机过程是时间t的函数 在任意时刻观察，它是一个随机变量 随机过程是全部可能实现的总体

分布函数与概率密度： 设 表示一个随机过程， （t1为任意时刻）是一个随机变量。 F1（x1，t1）=P{ ≤x1} 的一维分布函数 如果存在 则称之为 的一维概率密度函数

的n维分布函数 n维概率密度函数 n越大，Fn，fn描述 的统计特性就越充分

用来衡量任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性 数学期望与方差 E[ ]= D[ ]=E{ -E[ ] }2 =E[ ]2-[E ]2 = 协方差函数与相关函数 用来衡量任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性 协方差 B（t1，t2）=E{[ -a（t1）][ -a（t2）]} =

相关函数 R（t1，t2）=E[ ] = B（t1，t2）=R（t1，t2）-E[ ] E[ ] ， 表示两个随机过程 互协方差函数 互相关函数

2.2 平稳随机过程 任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关 （1） 任意的n和 因此，一维分布与t无关，二维分布只与t1，t2间隔 有关。 均值 （2） 方差 （3） 相关函数 R（t1，t2）= （4）

均值，方差与时间无关 相关函数只与时间间隔有关 满足（2），（3），（4）广义平稳（宽平稳） 满足（1） 狭义平稳 （严平稳） 时间平均：取一固定的样本函数（实现）对时间取平均 x（t）为任意实现

平稳随机过程 ，其实现为x1（t），x2（t）， …xn（t），如其时间平均都相等，且等于统计 平均， 即 a= 则称平稳随机过程 具有各态历经性。 各态历经性可使统计平均转化为时间平均，简化计算。

相关函数与功率谱密度 （1） R（0）=E[ ]=S 的平均功率 （2） R（ ）=R（- ） R（ ）是偶函数 （3） 为实平稳随机过程，其自相关函数性质： （1） R（0）=E[ ]=S 的平均功率 （2） R（ ）=R（- ） R（ ）是偶函数 （3） 证明：

（4） 的直流功率 （5） 的交流功率 任意确定功率信号f（t），功率谱密度 是fT（t）（f（t）截短函数）的频谱函数 （4） 的直流功率 （5） 的交流功率 任意确定功率信号f（t），功率谱密度 是fT（t）（f（t）截短函数）的频谱函数 随机过程的功率谱密度应看作是每一可能实现的功率谱的统计平均， 某一实现之截短函数

你应该知道的： 傅里叶变换 记为： F（jω）=F {f（t）} f（t） =F -1{F（jω）}

的自相关函数与功率谱密度之间互为傅氏变换关系 例：某随机过程自相关函数为R（ ），求功率谱密度。 解：

例 求随机相位正弦波 的自相关函数与功率谱密度， 常数， 在（0，2 ）均匀分布。 例 求随机相位正弦波 的自相关函数与功率谱密度， 常数， 在（0，2 ）均匀分布。 解

2.3高斯过程 任意的n维分布都服从正态分布的随机过程 一维概率密度函数 a 数学期望， 均方差， 方差 f（x）关于 x=a 对称 f（x）在 单调上升， 单调下降 或 且有

分布函数 概率积分函数 误差函数 互补误差函数

2.4 窄带随机过程 窄带：信号频谱被限制在“载波”或某中心频率附近一个窄的频带上，中心频率远离零频

同相分量 正交分量 为零均值，平稳高斯窄带，确定 统计特性

结论1： 推导： 由于 平稳，零均值，即任意t，均有

结论2：同一时刻 不相关，或统计独立。

令 t=0 显然要求 令 同理可得 （1） （2）

由（1），（2）可得 根据互相关函数的性质，应有 是 的奇函数 有 同理可证 即同一时刻 不相关，或统计独立。 （3）

由（1），（2）还可得 平均功率相等 即 方差相等 结论3： ， 是高斯过程 证：当 故： 是高斯随机变量。 是高斯过程

重要结论： 均值为零的窄带平稳高斯过程，其同相分量和正交分量同样是平稳随机过程，均值为零，方差相同，在同一时刻得到的 及 不相关，或统计独立。

统计特性 服从瑞利分布 服从均匀分布

理想的宽带过程—白噪声 n0为常数 白噪声的自相关函数仅在 时才不为零，故白噪声只有在 时才相关，在任意两个时刻上随机变量都不相关。

带限白噪声 对带限白噪声按抽样定理抽样，则各抽样值是互不相关的随机变量

例：限带3400Hz的语音信号和加性噪声，以fs=6800Hz的速率对x（t）进行抽样 X(t)=s(t)+n(t) t

2.5随机过程通过线性系统 线性系统响应v0（t），输入vi（t），冲激响应h（t） 线性系统是物理可实现的，则 或 当输入是随机过程 时，输出为

假定输入 是平稳随机过程，考察 的特性 （平稳性） 1、

2、 的自相关函数 由平稳性 输出过程是广义平稳的。

3、 的功率谱密度 令 则

4、输出过程 的分布 将 改写为和式： 可知：若 为正态随机变量 也为正态随机变量 高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯的。

思考：随机过程 ，A是均值为a，方差为 的高斯随机变量，求： 1、 及 的两个一维概率密度。 2、 是否广义平稳？ 3、 的功率谱 4、平均功率是多少？

解：1、 2、在 t=0 及 t=1 时刻，均值不同，一维特征与时间有关 自相关函数与时间有关， 不是广义平稳过程

3、功率谱并不反映随机信号的相位特征，因此，求功率谱，先对R进行时间平均。 4、