3.3 圆心角(2) 圆心角定理逆定理 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com

温故知新 圆的对称性 垂径定理及其推论 圆的轴对称性 （圆是轴对称图形） 圆的中心对称性 （旋转不变性） 圆心角定理 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com

？ 什么是圆心角定理？ 在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。 ⌒ ⌒ ④AB=CD, B E D A F C O 由 ① ∠AOB=∠COD 可推得 ② OE⊥AB ⑤AB=CD ③ OF⊥CD ⑥OE=OF 1.逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。 ？ 2.逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对弦的弦心距相等。 ⌒ AB=CD, （1）若 则∠AOB=∠COD吗？ （2）若AB=CD, 则∠AOB=∠COD吗？ （3）若OE=OF, 则∠AOB=∠COD吗？ 3.逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弦心距所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弧相等。

圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理 圆心角定理逆定理 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. A B ┓ D A B ┓ D ●O ●O ●O′ A′ B′ D′ ┏ A′ B′ D′ ┏ ∠AOB=∠COD AB=CD OE=OF ⌒

练一练： 已知：如图，AB，CD是⊙O的两条弦， OE，OF为AB、CD的弦心距，根据这 节课所学的定理及推论填空： OE=OF AB=CD AB=CD ⌒ (1)如果∠AOB=∠COD，那么 ， ， ; ∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD ⌒ （2）如果OE=OF，那么 ， ， ； ⌒ （3）如果AB=CD，那么 ， ， ； ∠AOB=∠COD AB=CD OE=OF ∠AOB=∠COD OE=OF AB=CD ⌒ （4）如果AB=CD，那么 ， ， 。

× √ × × √ 练一练 1、判断： （1）等弦所对的弧相等。 （ ） （2）等弧所对的弦相等。 （ ） （1）等弦所对的弧相等。 （ ） （2）等弧所对的弦相等。 （ ） （3）圆心角相等，所对的弦相等。( ） （4）弦相等，所对的圆心角相等。（ ） × √ × 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com × √ （5）在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等（ ）

想一想？ 已知AB和CD是⊙O的两条弦，OE的长和OF的长分别是AB和CD的弦心距，如果AB＞CD,那么OE和OF有什么关系？为什么？ A 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com D B

练一练 1、已知：如图，在⊙Ｏ中，弦ＡＢ＝ＣＤ． 求证：ＡＤ＝ＢＣ · 2、如图M、N为AB、CD的中点,且AB=CD. 求证：ＡＤ＝ＢＣ　 • A B C D M N O Ｏ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ · 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 2、如图M、N为AB、CD的中点,且AB=CD. 求证：∠AMN＝∠CNM

例1、如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC． ⑴ ∠AOB 、∠COB、 ∠AOC分别为多少度？ Ｏ Ｃ Ｂ Ａ ⑵延长AO，分别交BC于点P，BC于点D,连结BD,CD.判断三角形ＯＢＤ是哪一种特殊三角形？ Ｐ ⑶判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由。 Ｄ 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com ⑷若⊙O的半径为r,求等边ABC三角形的边长？ ⑸若等边三角形ABC的边长r,求⊙O的半径为多少？ 当r = 时求圆的半径?

（4）由菱形的性质，可得OP=1/2OD=1/2r 解（3）四边形BDCO是菱形，理由如下： ∵AB=BC=CA ∴∠AOB=∠BOC=∠COA=1200 Ｏ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ Ｐ ∴∠BOD=1800-∠AOB=600 同理：∠COD=600 又∵OB=OD ∴OB=OD=BD 同理：OC=CD ∴OB=OC=BD=CD ∴四边形BDCO是菱形 （4）由菱形的性质，可得OP=1/2OD=1/2r ∴BP= ∴BC=2BP= 答：等边三角形ABC的边长为

Ｏ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ 例2、如图, AB、CD是⊙O的两条直径。 (1)顺次连结点A、C、B、D，所得的四边形是什么特殊四边形？为什么？ (2)若直径为10cm，∠AOD=1200，求四边形ACBD的周长和面积。 (3)四边形ACBD有可能为正方形吗？若有可能,当AB、CD有何位置关系时，四边形ACBD为正方形？为什么？ 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com Ｏ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ

（4）如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？ 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com （5）如果这根原木长15m，问锯出地木材地体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？

C D O B A 解：（1）如图，所得的四边形是矩形，理由如下： ∵AC，BD是⊙O的直径 ∴AO=OC=OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形 又∵AC=BD ∴四边形ABCD是矩形 （3）当AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形 （4）∵AC=BD=30cm ∴AO=BO=15cm 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com ∴S正方形ABCD=15×15÷2×4=450（cm2）=4.5×10-2（m2） （5）∴V=4.5×10-2×15=0.675（m3）

课堂小结： 1.圆心角定理逆定理。 2.运用关于上述逆定理解决应用性问题。

做一做 1、已知：如图, AB、DE是⊙O的两条直径，C是⊙O上一点，且AD=CE。求证：BE=CE ⌒ Ｏ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ E •A •B C D E F G H 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 2、如图⊙A与⊙B是两个等圆,直线CF∥AB,分别交⊙A于点C、D，交⊙B于点E、F。求证：∠CAD=∠EBF

拓展提高 ⌒ 如图，A、B分别为CD和EF的中点，AB分别交CD、EF于点M、N，且AM=BN。求证：CD=EF 证明：连结OA、OB，设分别与CD、EF交于点F、G ∵A为CD中点，B为EF中点 ∴OA⊥CD，OB⊥EF 故∠AFC=∠BGE=90°① 又由OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA ② 且AM=BN ③ ∴△AFM≌△BGN（SAS） ∴AF=BG ∴OF=OG ∴DC=EF 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com F G

1.逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 2.逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，弦的弦心距相等。 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 3.逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弦心距对应弦相等,弦所对的圆心角相等，所对的弧相等。